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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试全国II卷文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=xx-1,8=x|x0时j/U)=e-l,则当x0)两个相邻的极值点，则co=31A.2 B.-C.l D.-2 29.若抛物线/2 p x(p 0)的焦点是椭圆小：=1 的一个焦点，则p=A.2 B.3 C.4 D.810.曲线y=2sin x+cos冗在点(兀1)处的切线方程为A.X-J-71-1 =0 B.2x-y-27t-l=0C.2x+y-2 冗 +1 =0 D.x+y-7i+1 =011.已知 a e (
2、0,),2sin 2a=cos 2a+1,则 sin a=A.i B.匹C立 D当5 5 3 512.设尸为双曲线C:言|=1(“0力0)的右焦点,0 为坐标原点，以。下为直径的圆与圆/+)-2交于P,Q两点.若|PQI=I。用，则 C 的离心率为A.V2 B.V3 C.2 D.V5二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分，共 20分.2 x+3y-60,13.若变量X,)满足约束条件k+y-3 0,则 Z=3x-y的最大值是_ _ _ _.(y-2 0)的两个焦点,P为C上的点,0为坐标原点.(1)若A 20巳为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P,使得QPF2的面积等于16,求人的
3、值和。的取值范围.21.(12 分)已知函数人x)=(x-1)In x-x-1.证明:(1VU)存在唯一的极值点；（2次x）=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.224选修4-4:坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中,0 为极点，点 MSo,为）So。）在曲线C，=4sin 6 上，直线/过点A（4,0）且与0M 垂直,垂足为P.当为三时，求po及/的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且P 在线段OM上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23 选修4-5:不等式选讲（10分）已知=|x-a|x
4、+|x-2|（x-a）.当a=时，求不等式凡r）0 的解集；若 xG（-oo）时0,求a的取值范围.1 2345678910 11 1213141516CDABADBADCBA 9 0.98 26 V2-14l.C【考查目标】本题主要考查集合的表示方法及交集的概念，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】依题意得ACIB=M-142,选 C【题型风向】从近年来的高考试题来看，对集合的考查涉及集合的基本运算以及集合间的关系，求解过程中需要仔细,否则容易失分.2.D【考查目标】本题主要考查复数的四则运算及共筑复数的概念，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解题思路
5、】利用复数的四则运算及共朝复数的定义即可得出结果.【解析】依题意得z=i2+2i=-l+2i,z=-l-2i,选 D.3.A【考查目标】本题主要考查向量的坐标运算、向量的模等，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】依题意得冰 力|=J（-+/=或,因 此 选 A.4.B【考查目标】本题主要考查古典概型概率的求解，考查的核心素养是数学建模与数学运算.【解题思路】设 3 只 测 量 过 某 项 指 标 的 兔 子 为 另 2 只兔子为0力,采用列举法求出“从 5 只兔子中随机取出3 只”的基本事件个数,再求出“恰 有 2 只测量过该指标”的事件个数，最后根据古典概型的概率计算公
6、式得出结论.【解析】设 3 只测量过某项指标的兔子为A 氏C,另 2 只兔子为a也从这5只兔子中随机取出3 只，则基本事件共有10种，分别为/,（4 8 0）,（4，,。）,（4。,圾（4。/）,（8。,。）,（氏（7,圾（&。,境（；。,。）,其中“恰 有 2 只测量过该指标”的取法有6 种，分别为（4 8,。）,（4,8,力,（4,7,。）00,（3。,。）,（8 0,因此所求的概率为持，选 B.5.A【考查目标】本题主要考查逻辑推理,考查考生的逻辑推理能力.【解题思路】解答本题时紧紧围绕着“只有一个人预测正确”来分析即可，可以先假定甲的预测正确，进行分析，看是否矛盾，依次类推，得出结论.
7、【解析】依题意，若甲预测正确,则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾;若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾.综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选 A.6.D【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.【解析】通 解 依 题 意 得，当 x0时0,所以 2 s i n a=co s a 又 s i da+co s 2 a=1,所以 s i n2a+4s i n2a=1,即 s i n 2 a=.又 a 6(0,1),所以 s i n 选 B.
8、优 解 依 题 意 得 染 急=|,BP t a n a 4所以s i n a=J 悬 粤=J黑 言 卷 选B.i k 同 2a、人 Y c 2tana-1 tan2a sin2a l-cos2a【拓展结论】s i n 2 =iT,c o s 2 a=rf,t a n =T T=12.A【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质、圆与圆的位置关系等知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，考有的核心素养是数学运算、直观想象.【解题思路】在解答本题的过程中，可以先写出以OF为直径的圆的方程，再将两圆的方程相减,得出其公共弦所在直线的方程，最后利用弦长的一半、半径与弦心距三者之间的关系得到a,4c之间
9、的关系，由此得出结论;也可以充分利用圆的性质，借助平面几何知识求解.【解析】通解 依题意，记 F(c,0),则以。尸为直径的圆的方程为岭”=今 将 圆(砂+产 9 与圆产+丫?的方程相减得3=2,即 x=3 尸 器 所 以/=2 的 即/+户 2 必=3 匕)2=0,所以a 二也因此C的离心率e-1 +(，)2=鱼，故选 A.优解一 记 尸(c,0).连接O P,P F,则 O P _ LP E所以SA。什4 0外 附 局 西 3 P Q I，即 夕,小/李 上，即 修 二 2 必 即a2+b2-2 ab=(a-6)2=0,所以=力,因此C的离心率e=Jl+1)2=&，故选A.优解二 记 F(
10、c,0).依题意,P Q 是以O 尸为直径的圆的一条弦，因此。尸垂直平分P Q.又|P Q=|。凡因此PQ是该圆的与。尸垂直的直径，所以NF O P=45。,点 P的 横 坐 标 为*纵 坐 标 的 绝 对 值 为*于 是 有 四 即 e二=/，即 C的离心率为女，故选A.22 2 a13.9【考查目标】本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域和线性规划问题，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象.【解题思路】先作出不等式组所表示的平面区域，再判断目标函数的最值即可.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3 片)=0,并平移，当直线经过点(3,0)时,直线在y 轴
11、上的截距最小，此时Z=3 x-y 取得最大值，且 Z m a x=9.【易错警示】在处理此类问题时,往往需要画图，且所画的图形要尽可能准确,否则容易判断错误.1 4.0.9 8【考查目标】本题主要考查概率与统计的相关知识，考查考生的运算求解能力与应用所学知识解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解析】依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10 x0.97+20 x0.98+10 x0.9940=0.9 8.【易错警示】解决本题时，除了要正确列式,还需要注意计算的准确性.1 5.午【考查目标】本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，考查考生的运算求解能力与
12、化归与转化能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】先根据条件与正弦定理，得tan B=-l,再由0Bn即可得解.【解析】解法一 依题意与正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,则tan B=-l.又08兀,所以B岑解法二 由正弦定理得 Z?sin A=asin B,又 Z?sin A+acos 8=0,所以 sin 8+qcos 8=0,即 sin A?=-cos 8,则 tan 8=-l.又 00,故cos B2=%,又由知广告,故b=4.2_由得/二-/4 2),所以c?泌2,从而故a42.CL当b=4,近4金时，存在满足条件的点
13、P.所以6=4,。的取值范围为4鱼,+8).2】.【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、函数的单调性以及方程的根，考查考生灵活运用导数分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】对于(1),利用导数的运算法则求得F(x),并研究/(X)在(0,+8)上的单调性,再根据零点存在性定理确定.(X)在(0,+8)上有唯一零点，从而得到大X)存在唯一的极值点;对于(2),借助(1)的结论与零点存在性定理即可得出结论.解：(1次X)的定义域为(0,+8).V-11f*(x)=+l n x-1 =l n x-.因为y=l
14、nx单调递增,y=g单调递减,所以尸(x)单调递增.又一(l)=-l 0,故存在唯一x(e(1,2),使得/5)=0.又 当 时/。)(V W单调递增.因此次幻存在唯一的极值点.(2)由知人沏)勺(1 )=2又代2)=2-3 0,所以y(x)=0在(xo,+8)内存在唯一根x=a.由 axo 得：vl xo.又犬=等=。，故方是K 0=。在(0田)的唯一根，综上次x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.2 2.【考查目标】本题主要考查极坐标的儿何意义、动点的轨迹方程的求法等知识，考查数形结合思想的运用，考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.解:因 为%
15、)在C上,所以当a=1时g)=4si q=2 6.由已知得|0尸|=|。4|尹2.设 劭 为/上 除P的任意一点.连接O Q,在R tA O P Q中,p c o sS?)=|O P|=2.经检验，点P(2,在曲线p c o s(仇=2上.所以 的极坐标方程为p c o s(0-m=2.设 P(p,0),在 R tA OAP 中，。户|=|0 4|c o s 6=4c o s。，即 p=4c o s 0.因为P在线段OM上，且A P J _ O M,故e的取值范围是职.所以,P点轨迹的极坐标方程为p=4c o s仇。e职 .【方法总结】在处理此类问题时，要注意正确利用极坐标与直角坐标间的互化公
16、式,如果对极坐标不熟悉，可以考虑将相关点的坐标转化为直角坐标或将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程来处理，同时注意极坐标的几何意义在解题过程中的应用.2 3.【考杳口标】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】对于，分x l和忘1两种情况讨论即可求解;对于(2),先根据题意得加)=0,由此得到位1,再结合位1内1时加0 0,即可求得的范围.解:当 a=时4x)=k-W+|x-2|(x-l).当x时於)=-2(x-l)2 时府巨0.所以,不等式兀0 0的解集为(-8,1).因为加)=0,所以色1.当 a Z 1 k e (-8,1)时 J x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1 )0.所以,a的取值范围是 1,+8).【解后反思】在解决有关绝对值不等式问题时,通常采用零点分段法来处理，有时也可以作出相关函数的图象，借助图象解决问题.如果采用作图的方式来处理,则图象要规范，否则容易失分.