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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数 学本试卷满分150分.考试时长120分钟.第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共10小题,每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)己知集合 A=-1,0,1,2,B=x Q x x+的解集为(-刃,0)U (1,+8),故选D.(7)B【考查目标】本题主要考查抛物线的定义和几何性质,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.【解析】连接PF,由题意及抛物线的定义可知/网/=/用/,则4 Q 件为等腰三角形,故线段内0 的垂直平分线经过点P.故选B.(8)B【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式，考查的核
2、心素养是逻辑推理与数学运算.【解析】设等差数列 a”的公差为 d,:a i=_9,a s=-l,.：a 5=9*4 d=T,.：d=2,.：a 0=-9+(T)X 2=2/i-l l.令%之T 1 W 0,贝 U W 5.5,W 5 时，a“6 时，a 0.：7 -9 0,北=(-9)X(-7)X(-5)=-3 1 5 0,=(期 X(-7)X(-5)X(-3)X(-1 )-9 4 5 0,当时，a,?0,且 a 2 l,.：裔 7；,A E =0,+z -0,设 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为0,则 s i n =/co s 西,人/就 总(1 7)【考查目标】本题主要考查正、余弦定
3、理，三角形面积公式，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】选条件:(I )利用已知及余弦定理求出a;(H)利用同角三角函数的基本关系求出角力的正弦值，再利用正弦定理求出s i n C进而求出三角形面积.选条件：(I )利用同角三角函数的基本关系求出s i n A,s i n B,然后利用正弦定理求出a;(H)由(I )及已知求得s i n。和b,即可求出三角形面积.解:选(I )由余弦定理 a=l f+c-2b c c o s A,b=1 -a,c=7,得 a?=(1 1-a)2 刊9-2(1 1-a)X 7 X()，.a=8,(I I),co s J-A J s (0,J r),s i n
4、A=-.43由 正 弦 定 理 号 告,得 s i nsin/1 sinC ，了除a 8 2由(/)知 6=(贷=3,:S色ABC=a b s i n C-X 8 X 3 A,-6 3.2 2 2选(I )co s (0,),s i n A-.828/c o s 8 噌,(0,；),s i n由正弦定理仁sirii4 s n B得 金 堂，：a8 16(I I)s i n C=s i n(兀 T-而 m i n(力物 ri n Ac o s B+CQS 4 s i n B.4/a+b-,a=(),/.b=5.SAn c db s i n C=-X X-.2 2 4 4(1 8)【考查目标】本题
5、主要考查古典概型,考查考生的数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查的核心素养是数据分析.解：(I )记“该校男生支持方案一”为事件4 “该校女生支持方案一”为事件B,由于所有学生对活动方案是否支持相互独立,则由表中数据可知抽取的男生总人数为2 0 0 尚0 0 30 0,支持方案一的有2 0 0 人,则估计该校男生支持方案一的概率P(冷4 抽取的女生总人数为3 0 0*1 0 0-1 0 0,支持方案一的有3 0 0 人,故估计该校女生支持方案一的概率P(B)4.4(H)记“从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1 人,估计这3 人中恰有2人支持方案一”为事件C则事件。包 含“
6、一名男生支持,一名男生不支持,一名女生支持”、“两名男生支持，一名女生不支 持 ，由(/)可知(H I)RM(1 9)【考查目标】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值等知识，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.解：(I )函数 f(x)=1 2 d 的定义域为 R,f，(x)=-2x,令 f(x)=-2x=-2,得 x=l,=-2,又 f(l)=1 1,.：曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程为y-l l=-2(1),即 2x+yT 3=0.(I I)由(I )知 f (x)=-2x,则 F (t)=-21,又ft)=1 2-R 所以曲线y=fx)在点(t,A t)
7、处的切线方程为y-(1 2-t2)=-2 t(x-t),即 y=-2 t x+1 2.若 t=Q,则围不成三角形，故 岸 0.令x=0,得 产 泊 2,记 4(0,5+1 2),。为坐标原点,则/2/=f泊 2,令尸0,得 x支 萨,记 庾 等,0),则tz+12l OBr 2|t|.：536例 微/里；2)：3(。为偶函数，.：仅考虑亡人即可.当 D 0 时,S(t)3(t3+24 t-f),则 S(t)W(3/+24 楞)Q(d)&。1 2),4 4 一令 S*)=0,得占2,:当t 变化时,s 3 与 s(，)的变化情况如表：5(t)极小值/t(0,2)2+8)s t)-0+.：S(3M
8、=S(2)=3 2.(20)【考查目标】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I )利用已知条件求出仇进而求出椭圆。的方程；(H)根据题意知直线的斜率存在,分直线楸的斜率是否为0 这两种情况进行讨论求解.解：(I )因为a t b,所以椭圆的方程为余吟=1,又因为椭圆过点4(-2,-1),所以有言=1,解 得 所 以 椭 圆。的方程为14=1.4。b 8 2(I I)由题意知直线城V 的斜率存在.当直线，肿的斜率为0 时,不妨设.1/(-2V 2,0),M 2V 2,0),则直线M A:y不 磊(x您 ,直线M:尸 击(2
9、或)，-Z+Z V 2-Z-Z V 2则 y/-W 2,y()=-2,y -1.R Q I当直线网 的斜率不为0 时,设直线M N:x=myY(m*0),与椭圆方程1号=1 联立,化简得(据/-8 勿 川 8 次，/W 4 疗-32(病=3 2(君为,解得希 4.设 M xi,yi),NX2,%)，则/匕二先,Mmz+4?nz+4直线场的方程为户1 岑(x+2),则 以 Y,四 等-1),%1+2%1+2即一(巾 +2)%).my 1-2直线N A的方程为户1 笔(户 2),则 0 1,也 等 一 1),Xz+2 X2+2即0(M,33.my 2-287n 所 以|P B|_/(m+2)为 m
10、 H ；_y1y2-2y1/=/遨五竺/二 产 虫竺生1 ：=BQ my-(m+2)y2 加%、2-2、2 -2 yz yi+y2-2y2,综上，翳L【解后反思】求解此类问题时往往需要设出直线方程,将直线方程与椭圆方程联立,利用一元二次方程根与系数的关系求解.(21)【考查目标】本题主要考查数列的通项公式,指数函数的运算性质，以及等比数列的证明,考查的核心素养是逻辑推理、数学抽象、数学运算.【思维导图】(I )a,=n(n=l,2,)上三匚幺幺 一不满足性质a y 4j =3 j =2 a：Q(I )an=n(n=1,2,)-=-7-不满足性质ai 4,.当1=若 _r-*Oj=2-,_=a2
11、i 2 l _ J 时；-,m -Qj-满足性质一(U)a =2n-*L-*若在 =-t l-k-_-_-_ C2-1 =2O2 i-/-1 n =20A/-/,-当-=-n-l-a,/=n-2 时满足性质-结论-(H I)I。是递增数列，且同时满足性质和性质T 利用数学归纳法证明为等比数列(H l)a,是递增数列,且同时满足性质4 方 1 1 性质f利用数学归纳法证明 a 为等比数列解：(1)解法一 不满足.理由如下：令 片为p(p e N)则 生 旦 血 于 磔 三 当 J%,时,则不存在aA,所以数列 a 不满足性质.a；J J J o-j解法二不满足.理由如下：当 7=3,户2时,立芸
12、,数列 a 中不存在某一项a“芸,所以数列 a 不满足性质.a j 2 2(I I)因为a 包,所以生44 小，因为22-JGN,所以当必之f p,时,a 4所以数列 a,满足性质；a j 2J1 a j当时，要使 a ,贝！需 2 =2 ,即 n d,因为2 3,所以当 k=n-,l=n-2 时，2 A-/=2(T)(/?-2)=n,a i所以数列 a 满足性质综上可知,若a 户 2 1(=1,2,)，则数列&,同时满足性质 口性质(I I I)由 性 质 即 知�,又因为数列 4 是递增数歹U,所以有a,Qa“.若 a为，则 a 说.若 a,0,存 在，GN*使得a,则万时,先3,不妨
13、设ab改,8,a”均为负数，由 性 质 咖,存 在 p GN*,使得备用0,则p G 1,2,3,，T ,所以磷和a,“则 4有且仅有有限个取值,这与无穷数列&是递增数列矛盾，al所 以 若&0,则 a0(N*).令 aiXI=aiaJy 所以 ji,所以2i-Jn.又因为jin+l,所以jWn-l,iW，所以 2 7-y 2/?-(/?-l)=n+l,所以 2i-j=n+1,且 i=n,户 T 时取“二”,此时 为”二 功 成 1若 a i 0,则 a。3 aIX=aiaiy 所以 jin+l,即 所以幻招 二 8和，则aJ ai 1 因为 劣“&,所以 a*a/因为 a 0,0i 7 n.又因为 jin+,所以 jWn-1,i W/7,所以 2i-jW2n-切H,所以 2 i-j=n+1,且 i=n,j=n 时取“二”，此时 为“二品成”由(1)(2)可知,4和/对任意 N*成立,则有皿p(常数)，所以数列&是等比数列.