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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷数 学本试卷分为第I 卷(选择题)和第1 卷(非选择题)两部分，共 1 50 分,考试用时1 20 分钟.第I卷本卷共9小题,每小题5 分，共 45分.参考公式：如果事件A 与事件B互斥，那么P(AU B)=P(A)+P(B).如果事件A 与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).球的表面积公式S=4 其中R 表示球的半径.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为-3,-2,-1,0,1,2,3),集合 A=-1,0,1,2，庐 -3,0,2,3，则 4n (。面=(A)-3,3(B)0,2(C)-1
2、,1 (D)-3,-2,-1,1,3)(2)设 aW R,则是“才为”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 函 数 y*的图象大致为(0(4)从一批零件中抽取8 0 个,测量其直径(单位:m m),将所得数据分为9组：5.31,5.33),5.33,5.35),，5.45,5.47),5.47,5.49 ,并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中,直径落在区间5.43,5.47)内的个数为(A)1 0 (B)1 8(0 20 (D)36(5)若棱长为2 g 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(A)1 2 n (B)24 J i(
3、C)36 n (D)1 44 n(6)设 6=(?8,c=l o g。8,贝!a,b,c 的大小关系为(A)a b c(B)b a c(C)*c 3(D)ca0 刈，过抛物线/山的焦点和点(0,6)的直线为，.若。的一条渐近线 与，平行，另一条渐近线与1垂直,则双曲线。的方程为(A)正 乂?/d=14 4 4(D)x2-y 0,bX),且ab=,贝!；+2+的最小值为./(15)如凰在四边形 6/力中，/比 6 0,肥=3,506,且而=/1前,而 历=/,则 实 数 1/RM的值为,若M,N是线段8c上 的 动 点,且 而|=1,则 丽 丽的最小值为.三、解答题:本大题共5 小题,共75分.
4、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分14 分)在/阿中，角 4氏C 所对的边分别为a,b,c.己知a=2a,6=5,g/i W(I)求角 C 的大小；(H)求 s i n 4的值;(III)求 s i n (2小；)的值.4(17)(本小题满分15分)如图,在三棱柱ABC-ABG中，C G _ L平面ABC,ACV BC,AC=BC2 C G 4,点，后分别在棱 皿 和 棱C G上,且AD=1,，材为棱A B的中点.(I)求证：(II)求二面角B-B B D的正弦值；(III)求直线与平面如历所成角的正弦值.(18)(本小题满分15分)已知椭圆4=1(8协 0)的一个顶
5、点为4(0,-3),右焦点为 且|%|二|加，其 中。为原点.(I)求椭圆的方程；(II)已知点C 满足3 元 赤，点 6在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，直 线 与 以 C 为圆心的圆相切于点月且一为线段4?的中点,求直线4 9 的方程.(19)(本小题满分15分)已知&为等差数列，4 为等比数列,a=b=,曲书(4-8),.(I)求 4 和 4 的通项公式;(II)记&的前 项和为S,求证:S3“9+1(W N);(立出,n 为奇数，(III)对任意的正整数n,设以W 求数列 4 的前2 项和.手刀为偶数，(20)(本小题满分16 分)已知函数f(x)4+a i n x U e R),f (x
6、)为数x)的导函数.(I)当心6时:(i)求曲线y=f(x)在点(l,f(l)处的切线方程；(i i)求函数g(x)=f x)-f (x)号的单调区间和极值.(II)当 A2-3 时，求证:对任意的司,用G 1,+8),且击 检有NXA-X2123456789101112131415CAABCDDBD3-2 i1051 26 341 136 2(DC【考查目标】本题主要考查集合的补与交运算，考查的核心素养是数学运算.【解析】解法一 由题知，庆 -2,-1,1 ,所以i n (曲故选c.解法二 易知AH(。而中的元素不在集合6中，则排除选项A,B,D,故选C.(2)A【考查目标】本题主要考查充分
7、必要条件的判断，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】由 a”a 得 a 乂 或 a l”是 a 的充分不必要条件，故选A.【方法总结】充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法:分清哪个是条件,哪个是结论;N断“片(?”及“g p”的真假;根据定义下结论.(2)等价法:将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题.(3)集合法:利用集合之间的包含关系加以判断，用集合法判断时,可借助V e n n 图、数轴、坐标系等.(3)A【考查目标】本题主要考查函数图象的识别及函数的性质，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.【解析】解法一 令 f(x)子，显然F(-*)=-f(x),f(x)为奇函数，排
8、除C,D,由/(D X,排除B,故选A.xz+l解法二 令 f(x)=-,由 A 1)0,A-1)0,故选 A.xz+l(4)B【考查目标】本题主要考查频率分布直方图的性质及应用，考查的核心素养是数学运算、数据分析.解析 由题知 5.4 3,5.4 5)与 5.4 5,5.4 7)所对应的小矩形的高分别为6.2 5,5.0 0,所以 5.4 3,5.4 7)的频率为(6.2 5 抬.0 0)X 0.0 2 4).2 2 5,所以直径落在区间 5.4 3,5.4 7)内的个数为8 0 X 0.2 2 5=1 8,故选B.(5)C【考查目标】本题主要考查正方体的外接球的表面积，考查考生的空间想象能
9、力与运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】设外接球的半径为先易知2 庐乃乂2 百 不 所 以 於=3,于是表面积故选C.【举一反三】多面体与球切、接问题的常见求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题进行求解.(2)若球面上四点P,A,B,C 构成的三条线段PA,PB,P C 两两垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把几何体“补形”成 一 个 球 内 接 长 方 体,根 据 场 2 七2(其中A为外接球的半径)求解.(3)正方体的内切球的直径等于正方体的棱长.(4)球和正方
10、体的棱相切时，球的直径等于正方体的面对角线长.(6)D【考查目标】本题主要考查利用函数性质比较大小，考查考生对所学知识、方法的灵活运用能力以及运算求解能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.【解析】由题知c=l o g。；0,8 l,所以c Q 6,故选 D.(7)1)【考查目标】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一 由题知/士的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,6)的直线方程为吟=1,而盘语=1的 渐 近 线 方 程 为 七 用 力 和 工 由1与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=l=l,
11、故选D.a b a b解法二 由题知双曲线。的两条渐近线互相垂直，则a=b,即渐近线方程为xy=G,排除B,C.又知的焦点坐标为(1,0),7 过点(1,0),(0),所以T,6=1,故选D.0-1(8)B【考查目标】本题主要考查正弦型函数的性质，考查考生对所学知识、方法的灵活运用能力以及运算求解能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.【解析】f(x)r i n(x g)的最小正周期为2门，口正确;s i 吟=1 团?为 f(x)的最大值，那音误;将片s i n x的图象上所有点向左平移!个单位长度得到/U)=s i n(x 号)的图象,正确.故选B.(9)D【考查目标】本题主要考查分段函数
12、图象的应用、函数的零点，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【思维导图】g(x)的零点个数 方程f(x)=/f-2 x/的根的个数一y=f(x)与-2/图象的公共点个数.分A二 一-情 况”分别作出尸打与尸/4 丁-2*/的图象且些如y=F(x)与尸:9-2 才/图象的公共点情况f%的取值范围【解析】由题意知函数g(x)次 x)-/加-2/恰有4个零点等价于方程f(x)-/加-2 x/R,即 f(x)=做-2x1有4个不同的根,即函数y=f B与 尸/加-2 4 的图象有4个不同的公共点.当k小时,在同一平面直角坐标系中,分别作出尸/U)与 尸/2 的图象如图1 所示，由图1 知两图
13、象只有2个不同的公共点,不满足题意.图 1当k Q时，片 W-2 x/=/W x q)2 3/,其图象的对称轴为直线4 2网 此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数尸/U)与片-2 的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点,满足题意.令4 -A2-8 0,得 0 a 0,【解析】依 题 意 得:金 吟 芸 吟 等 吟 22摩然工当且仅当:黑却即时取2a 2b a+b 2ab a+b 2 a+b l 2 a+b +b =4a+匕 _ 8、2-a+b等号.因此,白W 吟;的最小值为4.2a 2b a+b(1 5)；v【考查目标】本题主要考查平面向量的线性运算，考查的核心素养是宜观想象、
14、逻辑推理与o Z数学运算.【思维导图】AD 盛=一AD=XB C A D/B C-ZBAD=12 0 -旗=3 /4 D/=1*4 的值取 研 的 中 点 冬 匹 丽 痂 之 反 画匕两 而=律处 但 曳 丽 丽 的 最 小 值4【解析】依题意得AD/BC,/为=12 0 ,由 而 AB=lAD /荏/c o s/力=悔而/=-1,得/而/=1,因此A 粤 士 取朗V 的中点,连接DE,则 两 面 4方,丽 而 上 (丽 痂 尸-(两 罚)1 百万2 一；丽2班2厂注意到线段腑在线段8 c 上运动时，龙1的最小值等于点到直线式的距离，即AB-s i n Z4 4B吟因此屁2 3的最小值为(当)
15、2 寺,即 丽 丽的最小值为2 4 2 4 2 2【二级结论】(a+b)=2(寸+6),a .4(16)【考查目标】本题主要考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I )首先由余弦定理求出c o s C 的值,然后结合三角形内角和定理求得角C (I I)利用正弦定理直接求解即可；(I I I)首先由大边对大角结合同角三角函数的基本关系求出c o s 4然后由二倍角公式求出 s i n 2A,c o s 2 力的值，从而利用两角和的正弦公式求得结果.解：(I )在 纪 中，由余弦定理及ay 2,b=5,c W
16、 13,有 c o s c更孚 f.又因为CW(0,n ),所 以C3.2ab 2 4(H)在4 8，中，由正弦定理及弓,a 2/Z c=B,可得s i n 上 誓 誓.(H D 由 aG及 sin可得 c o s -s i/-进而 s i n 2 力 N s i n Acos 力带,c o s 力 T 磊.所以，s i n (2/4)r i n 2 J c o s-c o s 2 As i n X-X 17.4 4 4 13 2 13 2 26【技巧点拨】在解三角形问题中，经常要用到三角形内角和定理，正、余弦定理,三角恒等变换，倍角公式及诱导公式等，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路
17、，同时要注意角的取值范围，注 意“三统一”，即统一角、统一函数、统一结构.(17)【考查目标】本题主要考查空间中两直线垂直的证明、二面角的求解、直线与平面所成角的求解，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】以 C 为原点建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标，(I )求出前与瓦方的坐标,可得两向量的数量积为0,从而问题得证；(H)求出平面8 8 遂与平面如的法向量,利用向量的夹角公式求解即可；(I I I)求出直线4?的方向向量,然后结合(I I)中平面历的法向量,利用向量的夹角公式求解即可.解:依题意，以 C 为原点，分别以方，谦，鬲 的 方 向 为 x 轴,y轴,z 轴的
18、正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得 以0,0,0),4(2,0,0),6(0,2,0),G (0,0,3),4(2,0,3),&(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2),M l,1,3).(I )依题意，的二(1,1,0),瓦方=(2,-2,-2),从 而 铜 瓦 2-28力，所 以G M L B M(I I)依题意,CA=(2,0,0)是平面微的一个法向量,西二(0,2,1),前 二(2,0,-1).设n=(x,y,z)为 平 面 如 的 法 向 量,则,丝】=g|J(2 y +z =0,(n E D =0,(2 久-z =0.不妨设 X=t 可得 7 7-(1,I,2).因此有c
19、 o s CAy n专 品：学,于是s i n CA,n=-.|CA|n|6 6所以,二面角6-8卡-Z?的正弦值为手.6(H D 依题意,AB=(-2,2,0).由(H)知片(1,T,2)为平面的石的一个法向量,于是c o s AB,n 鬻 辞=.所以,直线43 与平面阳 所成角的正弦值为当.【方法总结】利用向量证明空间中的平行与垂直关系、计算空间角时,通常转化为求直线的方向向量、平面的法向量间的关系来处理,如证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可,计算二面角的大小，只需计算两个平面的法向量的夹角即可.（18）【考查目标】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置
20、关系、直线与圆的位置关系,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）首先由顶点/的坐标得到瓦然后由/冰7=/物/求出c,进而由a,6,c之间的关系求出a；最后得到椭圆的方程；（I I）首先由直线A 5与圆相切得到ABL CP,然 后 设 直 线 的 方 程 为y=kxT）,并与椭圆方程联立,求得点6的坐标,从而得到点一的坐标,再由3沆 初 求得点，的坐标,利用斜率公式得到直线CP的斜率,最后根据两直线垂直建立方程,即可求出k,进而求得直线的方程.解：（I ）由已知可得63记半焦距为c,由/m/=/的/可得c=b.又由1 4+1,可得4=应所以,椭圆的方程为立片=1.18
21、9（I I）因为直线4?与以C为圆心的圆相切于点A所 以 依 题 意,直 线1 5和直线h的斜率均存在.设直线4?的方程为y=kxT.由方程组y=kx-3,空 g=1消去必可得（2才叼）x-12kx=0,解 得 内）或x竟券.依题意,.18+9 一 可得点6的坐标为（益,磊.因为一为线段4 6的中点,点A的坐标为（0,-3）,所以点尸的坐标为Z K T1+16 k-32 k 2 +1 2 k 2+1).由3况 京，得 点C的坐标为（1,）,故 直 线 的 斜 率 为 誓，即.又因为ABL CP,所以k 九2乙-1，整理得解得栏或k=.2 k“-6 k+l 2所以,直线四的方程为片3或y=-3.
22、【举一反三】解决直线与椭圆的位置关系问题,如果直线与椭圆有两个不同的交点,可将直线方程y=kx+m使户就代入椭圆方程,整理出关于x（或力的-元二次方程Ax+Bx+C=Q（或Dy+Ey+F=（）,然后利用根与系数的关系并结合根的判别式处理相关问题.（19）【考查目标】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的求和公式、错位相减法的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】（I）设等差数列 a的公差为d等比数列 4 的公比为g,然后根据条件建立方程分别求出d,q,从而求得4,4;（II）首先由（I ）求出S,由此求出S 5%S +i，然后利用作差法证明即可；（III）首先分n
23、nn为奇数与为偶数求出c“,然后求出E如T,利用错位相减法求出E Q*,最后相加求得结果.k=l k=l解：（I）设等差数列 a的公差为d,等比数列 4 的公比为q.由d=1,a s巧（aa），可 得d=l,从而 a“的通项公式为a-n.由b=l,公gWO,可 得q-4 7+4=0,解 得q=2,从而&,的 通 项 公 式 为.（II）由（I ）可得S型 手,故（篇 多（1）（2）（3）高+1三（/1）2（1）2,从而S S+2司+1=-(2)切线方程(ii)求出函数g(x)的解析式与导函数g(x)f 判断g(X)的正负情况f 函数g(x)的单调区间f 极值()求出 f (x)f 令f (小
24、2)(F (x+f (人 2)-2(汨)(热)也热(-3/+3匕-1)%(1 二-21 n t)x2tf 令力(x)中二-21 n x,1,+8)-求导研究力3的单调性-当t时，力(方)力f的最小值的表达X式 为 八 3r 与I n 吟 T 加 结 合(/)(ii)求出当 小 时 g()g 一 -3干柏I n 3-3f26 1n *-IX)f问题得证解：(/)当 公 6时,/1与与in%故 F (入)如号.可得/(1)=1,/=9,所以曲线尸f(x)在点(1,/)处的切线方程为尸I R(x-l),即产9 x 6(ii)依题意,g(x)=x -3x%l n x 足,x G(0,+).从而可得Xg
25、 (x)=3?出 号 ,整理可得g(x)-3(再尸1)令 屋(X)4 解得x=l当/变化时,g (x),g(x)的变化情况如表：Xg (x)g(x)(0,1)10极小值(1,+)+7所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)；g(x)的极小值为g(i)=i,无极大值.(I D由fkx中3,“in%得/，(%)六七X对任意的%1,王 2仁 1,+吟,且X X 2,令=力(口1),则(X i-%2)(/(x】)(/)-2 (的)-f(x2)=x-X 2)(3x f 上+3底 之)-2(冗：-%2 l n)X1 x2 x2=xf%2-3x f 23%I%2 _)-2Al
26、 n%2 42m孑(d _3#+3LI)%(1-21n t).令方(x)=;r 121n 1,+8).当%1时,力，3=1 巧二=(1_1)2为，由此可得力(x)在 1,+2 单调递增，所x xz X X以当 少1 时，力(力)力，即t-21n1为.因为弱2 1,1 3/+3L1=(L 1)3；0,4 2-3,所以球(/-3/+3L1)”(方 一 21n 2)2 (/-3 r+3 L 1)-3(2一 一 21n t)-fi_3 f26 1n 1卡 一 1.(2)由(/)(ii)可知，当 t 时,g(8)g(l),即 4I n 故-3v6 1n 由宴 J 得(矛 生)(F T (%)-2 (汨)-六照)刀.所以，当 4 2 -3时，对任意的%i,e l,+吟,且X X 2,有rs】)+r a 2)y(%)-f(%2)2%1-%2.【方法总结】（1）当所证不等式不易证明时，通常转化为证明其等价不等式,且需掌握比较法来证明不等式；（2）换元法是整体思想的应用，如本题将卫视为整体,是构造新函数的前提.X2