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1、xz y0 l y x zPPz=f(x,y)QM 是曲面在是曲面在点点P处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率，即半切线即半切线方向导数方向导数.方向导数几何意义方向导数几何意义的斜率的斜率N第1页/共21页定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第2页/共21页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对于二元函数对于二元函数为为,)的方向导数为的方向导数为特别特别:当当 l 与与 x 轴同向轴同向 当当 l 与与 x 轴反向轴反向向角向角第3页/共21页例例1.求函数求函
2、数 在点在点 P(1,1,1)沿向量沿向量3)的方向导数的方向导数.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为第4页/共21页例例2.求函求函数数 在点在点P(2,3)沿曲线沿曲线朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为将已知曲线用参数方程表示为它在点它在点 P 的的切向量为切向量为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页/共21页例例3.设设 是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页
3、下页 返回 结束 第6页/共21页二、梯度二、梯度 方向导数公式方向导数公式令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模:f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页/共21页1.定义定义即即同样可定义二元函数同样可定义二元函数称为函数称为函数 f(P)在点在点 P 处的处的梯度梯度记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:函数的函数的方向导数方向导数为梯度在该方向上的投影为梯度在该方向
4、上的投影.向量向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义第8页/共21页函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线或等值线),机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称为函数称为函数 f 的的等值线等值线.则则L*上点上点P 处的法向量为处的法向量为 同样同样,对应函数对应函数有等值面有等值面(等量面等量面)当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时,其上其上 点点P处的法向量为处的法向量为指向函数增大的方向指向函数增大的方向.第9页/共21页3.梯度的基本运算公梯度的基本运算公式式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共21页例例4.证
5、证:试证机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模,第11页/共21页三、物理意义三、物理意义函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场(数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)可微函数可微函数梯度场梯度场(势势)如如:温度场温度场,电位场等电位场等如如:力场力场,速度场等速度场等(向量场向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第12页/共21页内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数三元函数 在点在点沿方向沿方向 l(方向角方向角的方向导数为的方向导数为 二元函
6、数二元函数 在点在点的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向 l(方向角为方向角为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第13页/共21页2.梯度梯度 三元函数三元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为 二元函数二元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为3.关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.第14页/共21页思考与练习思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1
7、)中切线方向切线方向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共21页曲线1.(1)在点解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第16页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共21页备用题备用题 1.函数函数在点在点处的梯度处的梯度解解:则则注意注意 x,y,z 具有轮换对称性具有轮换对称性(92考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第18页/共21页指向指向 B(3,2,2)方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A(1,0,1)处沿点处沿点A2.函数函数提示提示:则则(96考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页/共21页将二元函数将二元函数z=f(x,y)在点在点(x,y)的以下七个命题填入框图：的以下七个命题填入框图：（1 1）有定义）有定义 （2 2）有极限）有极限 （3 3）连续）连续 （4 4）偏导存在）偏导存在 （5 5）方向导数存在）方向导数存在 （6 6）偏导连续）偏导连续 （7 7）可微）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）问题：箭头是否可逆？问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。不可逆的试举出反例。第20页/共21页感谢您的欣赏！第21页/共21页