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1、定理定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,证明:由函数且有在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第1页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数为,)的方向导数为特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角第2页/共21页例例1.求函数求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:向量 l 的方向余弦为第3页/共21页例例2.求函求函数数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共21页
2、例例3.设设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共21页二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共21页1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义第7页/共21页函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线)
3、,机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.第8页/共21页3.梯度的基本运算公梯度的基本运算公式式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共21页例例4.证:试证机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模,第10页/共21页三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 第11页/共21页例例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共21页内容小结内容小结1.方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共21页2.梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.第14页/共21页思考与练习思考与练习1.设函数(1)
5、求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .2.P73 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共21页曲线1.(1)在点解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第16页/共21页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.P73 题题 16第17页/共21页P51 2，3，6，7，8，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共21页备用题备用题 1.函数在点处的梯度解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共21页指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数函数提示:则(96考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共21页感谢您的欣赏！第21页/共21页