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1、数学方向数学方向(fngxing)导数与梯导数与梯第一页，共41页。一、方向(fngxing)导数讨论讨论(toln)函数沿某个方向的函数沿某个方向的变化率变化率第1页/共41页第二页，共41页。第2页/共41页第三页，共41页。第3页/共41页第四页，共41页。第4页/共41页第五页，共41页。函数(hnsh)在点 沿方向(fngxing)的方向(fngxing)导数：是函数 z=f(x,y)在点 M0(x0,y0)沿方向对的变化率。或者说它是曲面 z=f(x,y)在点 M0(x0,y0)沿方向l 倾斜程度（坡度）。第5页/共41页第六页，共41页。第6页/共41页第七页，共41页。方向方向
2、(fngxing)导数与导数与偏导数偏导数若偏导数 存在，则其中(qzhng)X轴正向(zhn xin)其中Y轴正向第7页/共41页第八页，共41页。方向导数(do sh)是单向导数(do sh)（因为0）(类似(li s)于一元函数的单侧导数)偏导数是双向导数（因为(yn wi)x 可正负）因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，并不能保证该点的偏导数存在。第8页/共41页第九页，共41页。例 求函数 在原点沿任何(rnh)方向的方向导数。解：设方向(fngxing)向量为即函数 （圆锥面）在原点沿任何方向的方向导数都为1.第9页/共41页第十页，共41页。即函数 （圆锥面）在原点沿任
3、何方向的方向导数都为1.但是函数 在原点的偏导数不存在。第10页/共41页第十一页，共41页。是上半圆(bnyun)锥面圆锥面在顶点(dngdin)无切平面。第11页/共41页第十二页，共41页。证明证明(zhngmng)由于由于(yuy)函数可微，则增量可表函数可微，则增量可表示为示为两边同除以两边同除以得到得到(d do)利用偏导数计算方向导数的公式第12页/共41页第十三页，共41页。故有方向故有方向(fngxing)导导数数第13页/共41页第十四页，共41页。解解第14页/共41页第十五页，共41页。解解由方向由方向(fngxing)导数的计算导数的计算公式知公式知第15页/共41页
4、第十六页，共41页。故故第16页/共41页第十七页，共41页。推广可得三元推广可得三元(sn yun)函数方向导数的函数方向导数的定义定义第17页/共41页第十八页，共41页。例例例例3.3.设设是曲面(qmin)在点 P(1,1,1)处指向外侧(wi c)的法向量,解解:方向(fngxing)余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数第18页/共41页第十九页，共41页。二、梯度(t d)其中(qzhng)称为向量微分(wi fn)算子或 Nabla算子.第19页/共41页第二十页，共41页。因此梯度向量 是使函数在一点的方向导数 达到最大值的方向第20页/共41页第二十一页，共41页
5、。第21页/共41页第二十二页，共41页。第22页/共41页第二十三页，共41页。在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线所得曲线(qxin)在在xoy面上投影如图面上投影如图2梯度的几何梯度的几何(j h)解释解释第23页/共41页第二十四页，共41页。所得所得(su d)曲线在曲线在xoy面上投影为平面上投影为平面曲线面曲线称为称为(chn wi)函数函数 的等值的等值线线方程方程(fngchng)两两边微分：边微分：或者说：或者说：梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。梯度的方向就是等值线在这点的法线方向。第24页/共41页第二十五页，共41页
6、。等值线等值线梯度梯度(t d)为等值线上的为等值线上的法向量法向量第25页/共41页第二十六页，共41页。类似类似(li s)于二元函数，此梯度也是一个向量，于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值向导数的最大值.梯度的概念梯度的概念(ginin)可以推广到可以推广到三元函数三元函数第26页/共41页第二十七页，共41页。三元函数三元函数(hnsh)梯度的几何解释：梯度的几何解释：三元三元(sn yun)函数函数 的等的等值面：值面：由切平面的讨论由切平面的讨论(toln)，知梯度，知梯度是等值面是
7、等值面在点在点(x,y,z)处的法向量。处的法向量。故梯度向量故梯度向量在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值在任何点都垂直于函数的等值面，并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。面指向函数值较大的等值面。第27页/共41页第二十八页，共41页。梯度的运算梯度的运算(yn sun)律律类似于导数的运算类似于导数的运算(yn sun)律律P108，题，题9其中其中(qzhng)C为常数。为常数。第28页/共41页第二十九页，共41页。解解由梯度由梯度(t d)计算公式计算公式得得故故第29页/共41页第三十页，共41页。例例例例5.5.设函数设函数设函数设函数(hnsh)(
8、hnsh)解解:(1)点点P处切平面处切平面(pngmin)的法向的法向量为量为在点在点 P(1,1,1)处的切平面处的切平面(pngmin)方程方程.故所求切平面方程为即(2)求函数求函数 f 在点在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值求等值面面 (2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为思考思考:f 在点P处沿什么方向变化率为0?注意注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多第30页/共41页第三十一页，共41页。向量场 Vector Fields第31页/共41页第三十二页，共41页。第32页/共41页第三十三页，共41页。第3
9、3页/共41页第三十四页，共41页。第34页/共41页第三十五页，共41页。第35页/共41页第三十六页，共41页。1、方向、方向(fngxing)导导数的概念数的概念（注意方向导数（注意方向导数(do sh)与一般所说偏导数与一般所说偏导数(do sh)的区别）的区别）三、小结(xioji)三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为第36页/共41页第三十七页，共41页。2、梯度、梯度(t d)的概念的概念（注意梯度（注意梯度(t d)是一个向量）是一个向量）三元(sn yun)函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值 梯度的特点第37页/共41页第三十八页，共41页。3、方向、方向(fngxing)导数与梯度的关系导数与梯度的关系方向(fngxing)导数存在偏导数(do sh)存在 可微4、可微、可导、方向导数、可微、可导、方向导数 梯度在方向 l 上的投影.第38页/共41页第三十九页，共41页。练习练习练习练习(li(linx)nx)P131 题 16提示提示(tsh):第八节 第39页/共41页第四十页，共41页。P108 1，2，6，7，8，10 作业作业(zuy)第40页/共41页第四十一页，共41页。