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1、会计学1梯与方向梯与方向(fngxing)导数导数第一页，共19页。 设函数zf (x，y)在点P (x，y)的某一邻域U(P)内有定义自点P引射线 l 设 x 轴正向(zhn xin)到射线 l 的转角为j ，并设P (xx，yy) 为 l 上的另一点且P U(P)若此极限(jxin)存在， 则称此极限(jxin)为函数 f (x，y)在点P 沿方向 l 的方向导数，记作 ，即22)()(yx其中r OxyPljPxyrr),(),(lim0yxfyyxxf考虑，r 第1页/共19页第二页，共19页。 定理 如果函数zf (x，y)在点P (x，y)是可微分的，那么(n me)函数在该点沿任
2、一方向l 的方向导数都存在，且有方向(fngxing)导数与偏导数的关系： = cos j sin j ，其中(qzhng)j为x 轴到方向l 的转角 简要证明： f(xx，yy)f(x，y)第2页/共19页第三页，共19页。lf 定理 如果函数zf (x，y)在点P (x，y)是可微分(wi fn)的，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有方向导数(do sh)与偏导数(do sh)的关系： = cos j sin j ，其中j为x 轴到方向(fngxing)l 的转角)(royyfxxf 简要证明： f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxflf第3页/共19页
3、第四页，共19页。讨论函数(hnsh) zf (x，y)在点P 沿x 轴正向和负向， 沿 y 轴正向和负向的方向导数如何?讨论(toln)： 根据公式lf = cos j sin j 提示(tsh)： 沿x 轴正向时， cos j =1， sin j =0， 沿x 轴负向时，cos j 1， sin j 0，xf；lf = cos j sin j xflf = cos j sin j ，第4页/共19页第五页，共19页。 例1 求函数zx e 2y在点P (1，0)沿从点P (1，0)到点Q(2，1)的方向(fngxing)的方向(fngxing)导数因此(ync) x 轴到方向因为(yn w
4、i)l 的转角为j 4 e 2y，2x e 2y故所求方向导数为在点(1，0)处， 1， 2xz4 1cos( )2sin( )4 22 xyO-112PQ第5页/共19页第六页，共19页。x轴到射线(shxin)l 的转角为j ，rx 轴到 的转角为q ，2 讨论：jq 和j q 时的方向导数 解 因为(yn wi)sin q cos q ，所以(suy)cos q cos j sin q sin j cos(qj)Oxylj第6页/共19页第七页，共19页。222)()()(zyx其中r ，xr cos a ，yr cos b ， 对于三元(sn yun)函数uf (x，y，z) ，定义它
5、在空间一点P (x，y，z)着方向(设方向的方向角为a 、b 、g )的方向导数如下lfrr),(),(lim0zyxfzzyyxxf，zr cos g 如果(rgu)函数在所考虑的点处可微分， 有zf= cos a sin b cos g lf三元函数(hnsh)的方向导数：第7页/共19页第八页，共19页。 设函数(hnsh)zf (x，y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P (x，y) D 及任一方向l ，有称为函数(hnsh)f (x，y) 在点P 的梯度，记作grad f (x，y)，即grad f (x，y) lf cos j sin j ， cos j ，sin
6、j ，其中向量第8页/共19页第九页，共19页。梯度与方向(fngxing)导数：lf cos j sin j ， cos j ，sin j 第9页/共19页第十页，共19页。 函数在某点的梯度是这样(zhyng)一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值讨论： 已知方向(fngxing)导数为lf的最大值是什么？结论(jiln)：梯度的模：| grad f (x，y)|22yfxflf cos j sin jeyxf),(| grad f (x，y)| cos ( grad ) 第10页/共19页第十一页，共19页。 曲面(qmin)z f (x，y)上的曲线
7、等高线：在xOy面上的投影(tuyng)曲线f (x，y)c称为函数zf (x，y)的等高线第11页/共19页第十二页，共19页。梯度(t d)与等高线的关系： 等高线 f (x，y)c上任一点(y din)P (x，y)处的法线的斜率为yxOgrad f (x，y) fy fxgrad f (x, y)法线的方向(fngxing)向量是什么？PyxO f (x，y)c f (x，y)c1(c1c)第12页/共19页第十三页，共19页。 函数zf (x，y)在点P (x，y)的梯度的方向与过点P的等高线 f (x，y)c在这点的法线的一个(y )方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高
8、线， 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向xyyxffffdxdy)(11梯度(t d)与等高线的关系： 等高线 f (x，y)c上任一点P (x，y)处的法线(f xin)的斜率为所以梯度 + 为等高线上点P 处的法向量xfiyfj第13页/共19页第十四页，共19页。三元函数(hnsh)的梯度： 设函数(hnsh)uf (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数，对于每一点P (x，y，z) G ，函数(hnsh) uf (x，y，z)在该点的梯度grad f (x，y，z) 定义为：结论结论(jiln)：三元函数的梯度是这样(zhyng
9、)一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值第14页/共19页第十五页，共19页。等量面： 曲面 f (x，y，z)c为函数uf (x，y，z)的等量面 函数uf (x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P 的等量面 f (x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向(zh xin)数值较高的等量面， 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数第15页/共19页第十六页，共19页。221yx 例3 求grad 221yx 解 这里 f(x，y) 因为(yn wi)222)(2yxx，222)(2yxy，222)(2yxxi221
10、yx 所以 grad222)(2yxyj 例4 设f (x，y，z)x2y2z2 ， 求grad f (1，1，2) 解 grad f fx，fy，fz 2x，2y，2z，于是(ysh) grad f (1，1，2)2，2，4第16页/共19页第十七页，共19页。 如果与点M相对应的是一个向量 (M)，则称在这空间区域GF 如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量 f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如(lr)温度场、密度场等)一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定数量(shling)场与向量场：内确定了一个(y )向量场(例如力场、速度场等)一个(y )向量场可用一个向量函数 (M)来确定，而F其中P(M)，Q(M)，R(M)是点M的数量函数第17页/共19页第十八页，共19页。 利用场的概念，我们可以(ky)说向量函数grad f(M)确定了一个向量场梯度场，它是由数量场f(M)产生的通常称函数f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场势与势场：第18页/共19页第十九页，共19页。