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1、等比数列等比数列(说课说课)平顶山平顶山 张君玲张君玲一、教材分析一、教材分析二、教法与学法分析二、教法与学法分析三、教学程序设计三、教学程序设计内容内容1.1.1.1.教材地位与作用教材地位与作用教材地位与作用教材地位与作用 数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。起数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。起着承前启后的作用着承前启后的作用,一方面一方面,初中数学的许多内容在解决数列的初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中某些问题中,得到充分的应用得到充分的应用,数列与前面学习的函数等知识有数列与前面学习的函数等知识有密切联系密切联系;另一方面学习数列又为进一步学习数列的极
2、限等内容另一方面学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好准备作好准备.而等比数列是数列的重要组成部分，它有着广泛实际而等比数列是数列的重要组成部分，它有着广泛实际的应用，如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理，的应用，如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理，再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到等比数列的一些知识。再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到等比数列的一些知识。掌握了等比数列极其通项公式有利于进一步研究等比数列的性掌握了等比数列极其通项公式有利于进一步研究等比数列的性质及前质及前n n项和公式的推导以及应用，从而极大地提高学生利用数项和公式的推导以及应用，从而极大地提高学生
3、利用数列知识解决实际问题的能力。同时，本节的教学内容和教学过列知识解决实际问题的能力。同时，本节的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要的程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要的意义。意义。一、教材分析一、教材分析2.2.教学目标教学目标 知知识识目目标标:使使学学生生掌掌握握等等比比数数列列的的定定义义及及通通项项公公式式，发发现现等等比比数数列列的的一一些些简简单单性性质质，并并能能运运用用定定义义 及及其其通通项项公公式解决一些实际问题。式解决一些实际问题。能能力力目目标标：培培养养运运用用归归纳纳类类比比的的方方法法发发现现问问题题并并解解决
4、决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。问题的能力及运用方程的思想的计算能力。德德育育目目标标：培培养养学学生生积积极极动动脑脑的的学学习习作作风风，在在数数学学观观念上培养应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。念上培养应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。3.3.教学重点、难点教学重点、难点 本节的重点是等比数列的定义、通项公式本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用。其解决方法是归纳类比。及其简单应用。其解决方法是归纳类比。本节的难点是对等比数列及通项公式的深本节的难点是对等比数列及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义。刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义。另外，灵活应用定义、
5、公式、性质解决一另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。些相关问题也是一个难点。为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法让学生参与学习，将学生分析、类比、归纳的方法让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比的过程，使学生形成过程转化为学生亲自探索类比的过程，使学生获得发现的成就感。在这个过程中力求把握好以下获得发现的成就感。在这个过程中力求把握好以下几点几点:二、二、教法与学法分析教法与学法分析（1 1）通过
6、实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展力求使学生学会用类比的思想去看待经历知识的形成和发展力求使学生学会用类比的思想去看待经历知识的形成和发展力求使学生学会用类比的思想去看待经历知识的形成和发展力求使学生学会用类比的思想去看待问题。问题。问题。问题。（2 2）营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流
7、，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，教师任导演。生参与教学全过程，让学生唱主角，教师任导演。生参与教学全过程，让学生唱主角，教师任导演。生参与教学全过程，让学生唱主角，教师任导演。（3 3）力求反馈的全面性、及时性，通过精心设计的提问，力求反馈的全面性、及时性，通过精心设计的提问，力求反馈的全面性、及时性，通过精心设计的提问，力求反馈的全面性、及时性，通过精心设计的提问，让学生的思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当让学生的思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当让学生的思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当让学生的思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。的调控。
8、的调控。的调控。（4 4）给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察，分析，类比得出结果，教师点评，逐步让学生自己去观察，分析，类比得出结果，教师点评，逐步让学生自己去观察，分析，类比得出结果，教师点评，逐步让学生自己去观察，分析，类比得出结果，教师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。（5
9、5）启发有度，留有余地，导而弗牵、牵而弗达。这样做启发有度，留有余地，导而弗牵、牵而弗达。这样做启发有度，留有余地，导而弗牵、牵而弗达。这样做启发有度，留有余地，导而弗牵、牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强了学生的参与意识，教给学生增加了学生的参与机会，增强了学生的参与意识，教给学生增加了学生的参与机会，增强了学生的参与意识，教给学生增加了学生的参与机会，增强了学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教
10、学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。（1 1）等差数列的定义等差数列的定义（2 2）等差数列的通项公式）等差数列的通项公式（3 3）等差数列的性质）等差数列的性质（4 4）等差中项：如果）等差中项：如果a A ba A b成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做a a与与b b的的 等差中项。等差中项。三、三、教学程序设计教学程序设计说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习
11、本节课的内容，说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。(常数常数)1 1、知识回顾、知识回顾2 2、导入新课、导入新课本章引言中关于在国际象棋棋盘格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是:1,2,4,8,263再来看两个数列再来看两个数列：5 5，2525，125125，625625，.引导学生通过“观察、分析、归纳”，类比等差数列的定义得出等比数列的定义，为进
12、一步理解定义，给出下面的问题判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。.-1,-2,-4,-8-1,-2,-4,-8-1,2,-4,8-1,2,-4,8-1,-1,-1,-1-1,-1,-1,-1 1,0,1,0 1,0,1,0 提出以下问题提出以下问题 （1 1）公比）公比q q能否为能否为0 0？为什么，首项？为什么，首项a a1 1呢？呢？（2 2）公比）公比q=1q=1时是什么数列？时是什么数列？（3 3）q0q0是是递增数列吗？递增数列吗？q0q0递减吗？递减吗？（4 4）等比数列）等比数列 中，中，是同一常数吗？是同一常数吗？说明：说明：充分调
13、动学生的主动性及学习热情，充分调动学生的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈欲望。数列的定义及其通项公式的强烈欲望。让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推出等比数列的通项公式。出等比数列的通项公式。3 3、尝试推导通项公式、尝试推导通项公式方法一方法一:由此得到由此得到:推导方法推导方法:不完全归纳法不完全
14、归纳法方法二方法二:因为：因为：所以：所以：n-1个所以：所以：由于n=1时,上式成立,所以推导方法:叠乘法叠乘法学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力；回忆等差数列的特点，并类比到察能力；回忆等差数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化为旧知识的能力。方法二是让新知识转化为旧知识的能力。方法二是让学生掌握学生掌握“叠乘叠乘”的思路。的思路。说明说明：等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立等差数列的图像可以看成是直线上
15、一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果？它的图像如何？能得出什么结果？它的图像如何？4、探究等比数列的图像教师引导教师引导，分析得出等比数列分析得出等比数列 的图象是函数的图象是函数 的图象上一群孤立的点。的图象上一群孤立的点。例如例如：数列数列 1 1，2 2，4 4，8 8首项首项a a1 1=1,q=2,=1,q=2,它的通项公式是它的通项公式是：表示这个等比数列的各点都在函数表示这个等比数列的各点都在函数 的图象上。如图的图象上。如图：876543211 2 3 4 5 n说明：进一步理解熟悉函数的概念，培养学生数形结合的意识
16、。5.5.尝试应用公式尝试应用公式例例1(见教材例见教材例1)：培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？（保留两位有效数字）说明：这是一道简单的应用题，首先要引导学生从中抽出一个数列，并能判定这个数列是等比数列，写出通项，求出a5例例2(见教材例见教材例2)：一个等比数列第三项与第四项一个等比数列第三项与第四项分别是分别是1212与与1818，求它的第求它的第1 1项和第项和第2 2项。项。（1 1）如何将已知条件与要求的如何将已知条件与要求的a a1 1与与q q联系起来联系起
17、来？分析分析：（2 2）列出方程列出方程：（3 3）思考消元方法思考消元方法：变式变式1.1.等比数列等比数列 中中，求求 变式变式2.2.等比数列等比数列 中中，求求 (学生自己动手解答学生自己动手解答)例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1,q,n,an中的四个量知道任意三个可求出另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。说明：说明：6.6.探究等比数列探究等比数列的性质的性质类比类比等差数列的等差数列的性质性质，猜测等比猜测等比数列的性质，然数列的性质，然后引导推证。后引导推证。等等差差数数列列等等比比数数列列猜猜测测7.7.性质应用性质应
18、用例例3 3：在等比数列在等比数列 中中，求求让学生自己动手，寻找多种解题方法让学生自己动手，寻找多种解题方法方法一：由题意到方程组解得方法一：由题意到方程组解得方法二：利用性质方法二：利用性质2 2方法三：利用性质方法三：利用性质3 3例例4（见教材例（见教材例3）已知数列）已知数列 是项数相同的等比数列，求证是项数相同的等比数列，求证:是等比数列。是等比数列。分析分析:思路思路1 1,利用定义证明，即性质利用定义证明，即性质1 1，只需证明，只需证明为常数即可为常数即可思路思路2 2,引导学生从等比中项去想，类比等差中项引导学生从等比中项去想，类比等差中项运用性质运用性质5 5，只需证明，
19、只需证明(但需强调以上各项均不为零但需强调以上各项均不为零)判定或证明一个数列为等比数列的方法采用定义，即性质1,等比数列从第二项起每一项与前一项的比是同 一常数采用性质5，等比数列从第二项起每一项是它前一项与后一 项的等比中项 说明说明：例例5:5:三个数成等比数列，它们的和等于三个数成等比数列，它们的和等于1414，它们的积等于，它们的积等于6464，求这三个数。，求这三个数。分析：按常规思路，设三个数为分析：按常规思路，设三个数为x,y,zx,y,z 则则x+y+zx+y+z=14=14x.y.zx.y.z=64=64y y2 2=x.zx.z让学生自己去解，体会一下未知数让学生自己去解
20、，体会一下未知数多的复杂运算，然后引导学生，从多的复杂运算，然后引导学生，从等比数列定义出发去设数。等比数列定义出发去设数。设三数为设三数为 a a、aqaq 、aqaq2 2则则a+aq+aqa+aq+aq2 2=14=14a.aq.aqa.aq.aq2 2=64=64易得易得 aqaq=4=4从解法二发现中间数从解法二发现中间数aqaq很快就求出来了，由此启发引导学生。很快就求出来了，由此启发引导学生。解法一解法一解法二解法二解法三解法三设三数为 则说明：说明：让学生体会巧设未知数的重要性，激发学生的学习欲望。让学生体会巧设未知数的重要性，激发学生的学习欲望。思考：思考：思考：思考：若四个
21、数成等比数列，且公比为正时，怎样设对若四个数成等比数列，且公比为正时，怎样设对问题求解比较方便问题求解比较方便?（常设为（常设为 注意，这里公比为注意，这里公比为 ）8.8.小结小结 为了让学生获得的知识进一步条理化，系统化，同时培为了让学生获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生对本节课进行总结。导学生对本节课进行总结。1 1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列2 2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。3 3、等比数列应注意那些问题、等比数列应注意那些问题 4 4、等比数列的图像、等比数列的图像5 5、通项公式的应用、通项公式的应用 (知三求一知三求一)6 6、等比数列的性质、等比数列的性质7 7、等比中项的概念（注意两点、等比中项的概念（注意两点同号两数才有等比中项同号两数才有等比中项 等比中项有两个，他们互为相反数等比中项有两个，他们互为相反数)8 8、本节课采用的主要思想、本节课采用的主要思想类比思想类比思想9.9.布置作业布置作业习题.4.4、.8.9.8.9.10.10.板书设计板书设计感谢各位与会专家和同行！