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1、.分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C；如何用尺规作角的平分线？A A 作法：.以为圆心，适当长为半径作弧，交OA于，交OB于；.作射线OC,则射线OC即为所求（如图）已知：已知：AOB求作：求作：AOB的平分线的平分线第1页/共15页探究角平分线的性质探究角平分线的性质(1)(1)实验实验：画一个：画一个AOB,AOB,用尺规作出用尺规作出AOBAOB的平的平 分线分线OPOP，过，过P P画画PDOAPDOA，PEOBPEOB问题：问题：比较比较PDPD和和PE PE 的大小关系（量一量）。的大小关系（量一量）。PD=PEPD=PE 再换一个新的位置看看情况
2、会怎样？再换一个新的位置看看情况会怎样？(2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两两边边的的距距离离相相等等P PA AO OB BC CE ED D第2页/共15页证明证明：OCOC平分平分 AOB AOB（已知）（已知）1=2 1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OAPD OA，PE OBPE OB（已知）（已知）PDO=PEO=90 PDO=PEO=90（垂直的定（垂直的定义）义）在在PDOPDO和和PEOPEO中中 PDO=PEOPDO=PEO（已证）（已证）1=2 1=2（已证）（已证）OP=OP OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEOPD
3、O PEO（AASAAS）PD=PEPD=PE（全等三角形的对应边相（全等三角形的对应边相等）等）P PA AO OB BC CE ED D12已知已知：如图，：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点D,PEOBD,PEOB于点于点E.E.求证求证:PD=PE.(3)验证猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等.第3页/共15页几何语言：几何语言：OP OP平分平分AOBAOB，PD PD OA OA于点于点D D，PEPEOBOB于点于点E E PD=PE PD=PE（角平分线的性质）（角平分线的性质）P PA AO OB BC CE E
4、DD角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等几何语言也可以写为：几何语言也可以写为：1=21=2PD PD OA OA于点于点D D，PEPEOBOB于点于点E EPD=PEPD=PE（角平分线的性质）（角平分线的性质）12第4页/共15页练习练习1 1、判断正误，并说明理由、判断正误，并说明理由：如图如图1 1，如图如图2 2，P P是是AOBAOB的平分线的平分线 PDOAPDOA于于D D，OCOC上任意一点，上任意一点，PEOBPEOB于于E E，PDPDPEPE PDPDPEPE 图图1 1 图图2 2第5页/共15页练习2、填空：如图，ABC中，C 90，BD平分ABC，CD
5、3cm，则点D到AB的距离为 cm E3第6页/共15页证明：AD平分CABDEAB，C90（已知）CDDE (角平分线的性质)在tCDF和RtEDB中,CD=DE（已证）DF=DB（已知）RtCDFRtEDB (HL)CF=EB（全等三角形对应边相等）ACDEBF例1.已知：如图，ABC中 C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。第7页/共15页证明：证明：CDABCDAB，BEACBEAC，1122，OE=ODOE=OD（角平分线的性质）（角平分线的性质）CDAB CDAB，BEACBEAC，CEO=BDO=90CEO=BDO=90 在在EO
6、CEOC和和DOBDOB中，中，BODBODEOC EOC OE=OD OE=OD CEO=BDO CEO=BDOEOCDOBEOCDOB（ASAASA）OC=OB练习练习1.1.已知已知：如图，：如图，1122，CDABCDAB于于D D，BEACBEAC于于E E，BEBE、CDCD交于点交于点O O 求证求证：OC=OBOC=OB第8页/共15页2.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，BCBCBABA，ADADCDCD，BDBD平分平分ABCABC。求证：。求证：BAEDFC第9页/共15页【变式】【变式】如图：如图：P为为 AOB的平分线上一点，的平分线上一点，PC OA于于C，O
7、AP+OBP=180，若，若OC=4cm，求，求OA+BO的值。的值。D第10页/共15页3 3、如图，在四边形、如图，在四边形ABCDABCD中中,AB=AD,CB=CD,AB=AD,CB=CD,点点 P P是对角线是对角线ACAC上一点，上一点，PEBCPEBC于于E E，PFCDPFCD于于F F，求证：求证：PE=PFPE=PFAPEFDCB第11页/共15页4.如图：在四边形如图：在四边形ABCD中，中，AB CD，1=2，3=4，点，点E恰在恰在AD上，上，EF BC。(1)求证：求证：CE BE；(2)若若 D=90，猜想，猜想CB、CD、AB之间有何数量之间有何数量关系？请证明
8、你的结论。关系？请证明你的结论。第12页/共15页课堂 小结1.尺规作图：角平分线尺规作图：角平分线2.角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等离相等.3.几何语言：几何语言：OC平分AOB，PD OA，PEOB PD=PE（角平分线的性质）P PA AO OB BC CE ED D12第13页/共15页2 2、课本、课本5151页第页第4 4、5 5题题3 3、名校课堂、名校课堂2929、3030两页。两页。1 1、如图，已知在四边形、如图，已知在四边形ABCDABCD中中,B+D=180,B+D=180，ACAC平分平分BAD,CEADBAD,CEAD，E E为垂足。求证：为垂足。求证：AB+AD=2AEAB+AD=2AE第14页/共15页谢谢大家观赏！第15页/共15页