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1、如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？ABCDE12根据SSS,可知两个三角形全等1=2从上面的探究你能得出作一个角的从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？角平分线的方法吗？第1页/共26页做一做1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？2 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，边，OAOA与与OBOB为直角边）为直角边）观察两次折出的三条折痕，你能得出观察两次折出的三条折
2、痕，你能得出什么结论？什么结论？第二次折出的两条折痕的长度相等。AOBC将AOB对折AOBPAOBDPE你能说明其中的道理吗？你能说明其中的道理吗？AAS从上面的实验中，你能得到什么结论？从上面的实验中，你能得到什么结论？第2页/共26页角的平分线上的点到角的两边的距离相等你能用三角形全等证明这个性质吗？第3页/共26页AOBCDEP已知：OC是AOB 的平分线，P在OC上，PDOA于D，PEOB于E，求证：PD=PE分析：仔细观察图形，思考证明两条线断相等的方法有哪些？PDO PEO吗？第4页/共26页OABED思考：如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么
3、?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等第5页/共26页已知：AOB求作：AOB的平分线作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N;（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C.(3)作射线OC.射线OC即为所求。你能说明其中的道理吗？你能说明其中的道理吗？AMOBNC做做P108页的练习，并回答问题。页的练习，并回答问题。第6页/共26页已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E求证：PD=PE 定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相
4、等。证明:1=2,OP=OP PDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PD=PE (全等三角形的对应边相等)AOBDPEC12该定理的题设和结论分别是什么？该定理的题设和结论分别是什么？第7页/共26页角平分线的性质定理定理定理 1 在角的平分线上的点到这个角的在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。两边的距离相等。定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。应用定理的书写格式：OP 是 的平分线PD=PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，推理的理由
5、有三个，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个。了任何一个。AOBDPE第8页/共26页如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？逆命题：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E，PD=PE。求证：点P在AOB的平分线上。证明:在Rt ODP和Rt OEP中,ODP=OEP=90OP=OP,PD=PERt OPD Rt OPE (HL)到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。在这个角的平分线
6、上。在这个角的平分线上。定理定理定理定理 2 2第9页/共26页定理 2的应用书写格式：OP 是 的平分线PD=PE （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上）用途：判定一条射线是角平分线第10页/共26页例：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。BACPMN例题展示：第11页/共26页证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMNBM是ABC的角平分线，点P在BM上，PDAB，PEBCPD=PE同理 PE=PFPD=PE=PF即点P到三边
7、AB，BC，CA的距离相等第12页/共26页例1 已知：如图、E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC，B，C分别是垂足。求证：EBCECB证明：E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECACEB=EC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）EBCECB（在一个三角形中，等边对等角）（在一个三角形中，等边对等角）（在一个三角形中，等边对等角）（在一个三角形中，等边对等角）ACEB想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？1234ABEACERt 1 234又EB=EC AE垂直平分BC 第13页/共26页 如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路
8、的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。北比例尺1：20000 到公路的距离与到河岸的距离相等 工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上）以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5则另一点就是工厂的位置。第14页/共26页例.已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）PD=
9、PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。这个交点叫三角形的内心这个交点叫三角形的内心第15页/共26页已知：如图，ABC的B的外角平分线BD和C的外角平分线CE相交于点F。求证：点F在DAE的平分线上。A B做一做FEDC那么点F到ABC三边的距离相等吗？第16页/共26页如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？4 个第17页/共26页2 如图，DEAB，DFBC，垂足分别
10、是E，F，DE=DF，EDB=60，则 EBF=度，BE=。60BF3.3.如图，在ABCABC中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且AC=6cmAC=6cm，那么线段BEBE是ABCABC的，AE+DE=AE+DE=。12A BEDC角平分线6第18页/共26页4.4.如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E。求证：DBE的周长等于AB的长。A BEDC第19页/共26页如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_。A BDC第20页/共26页在V型公路（AOB）内
11、部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？OAB.C.DP第21页/共26页活动与探究:已知：如图，1=2，P为BN上一点，且PD BC于D，AB+BC=2BD求证：BAP+BCP=180EBAPDCN12M第22页/共26页耐心地想一想 如图，EG，FG分别MEF的NFE的平分线，交点是G。PB，PC分别是MBC和NCB的平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果G=68，求P的度数。GENMPFCAB第23页/共26页小 结：3 3 角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理1 1，定理，定理2 2是是证明角证明角相等，线段相等相等，线段相等的新途径。的新途径。定理定理1 1多用于证明多用于证明线段相等线段相等，定理定理2 2多用于多用于证明角相等或点在角证明角相等或点在角平分线上。平分线上。1 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。离相等。2 2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。的平分线上。第24页/共26页 我我 学学 习习 我我 快快 乐乐第25页/共26页谢谢大家观赏！第26页/共26页