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1、第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 角的平分线第2课时 角平分线的性质及判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和 掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性 质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理 证明意识和能力学习目标回顾与思考 角平分线的作法问题：怎样作AOB的平分线呢？折纸法度量法尺规作图OBA导入新课导入新课 问题：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为12000
2、0）?sO学习了本节后，我们就能解决这个问题讲授新课讲授新课角平分线的性质与判定1.折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？PD和PE相等吗？2.两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？3.由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论.COBAPDE将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?证明:OC平分AOB,P是OC上一点，（已知）DOP=BOP.（角平分线定义）PDOA,PEOB，（已知）ODP=OEP=90.（垂直的定义）在OPD和OPE 中，DOP=EOP，（已证）ODP=OEP，（已证）OP=OP，（已知
3、）已知:OC平分AOB,P是OC上一点,PDOA,PEOB.求证:PD=PE.EDOABPC OPDOPE,(AAS)PDPE.（全等三角形对应边相等）由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等逆命题角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.你能证明吗？如图，PDOA、PEOB,垂足分别是 D、E，PD=PE求证：点P在AOB的角平分线上证明：作射线OP,PDOA,PEOB,PDO=PEO=90.在RtPDO和RtPEO中，OP=OP,PD=PE,RtPDORtPEO(HL).BADOPEAOP=BOP ,点P在AOB角平分线上.所以该逆命题成立定理：角的内部到
4、角两边距离相等的点在角的平分线上 问题：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）?sO解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.DCSO例1.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 典例精析ABCP例 2.如图，A
5、BC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P也在A的平分线上.NM证明：过点P作PDAB，PEBC，PFAC,垂足分别为D、E、F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上,（已知）PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PF,（等量代换）点P在A的平分线上,即点P到AB、BC、CA三边的距离相等.ABCPEDFMN当堂练习当堂练习1.如图,DEAB,DFBC,垂足分别是E,F,DE=DF,EDB=60,则 EBF=，BE=60BFABCDEF2.如图,ABC中,C=90,DEAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=.C12A BE
6、D角平分线6cm3.如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：AD平分CAB,DEAB，C90,（已知）CDDE.(角平分线的性质)在RtCDF和RtEDB中,CD=DE,（已证）DF=DB,（已知）RtCDFRtEDB ,(HL)CF=EB.（全等三角形对应边相等）CFAEDB4.4.已知：如图所示，ADDE,BEDE,AC,BC分别平分DAB,ABE,点在线段DE上。求证：AB=AD+BE过过C作作CPABABCEDP证明（1)：证明（2)：ABCED在在AB上截取上截取AF=AD,再再证明证明BF=BEF角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.课堂小结课堂小结判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.