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1、1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活 动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？第1页/共19页p2、证明：在ACD和ACB中 AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的 对应角相等）AC平分DAB（角平分线的定义）ADBCE第2页/共19页尺尺规作角的平分作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：观察领悟作法，探索思考证明方法：A A画法：以为圆心，适当长为半径作
2、弧，交于，交于分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于作射线射线即为所求第3页/共19页A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMC ONCOMC ONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB第4页/共19页1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步
3、骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活 动4ABOCD第5页/共19页探究角平分线的性质探究角平分线的性质探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？（已知：OC平分AOB，P是OC上的点，PDOA,PE
4、OB,求证：PD=PE）活 动5 (2)(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.第6页/共19页证明：OC平分 AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）PDO=PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中 PDO=PEO（已证）1=2（已证）OP=OP（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）P PA AO OB BC CE ED D12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究
5、角平分线的性质活 动5(3)验证猜想第7页/共19页角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质：活 动5 利用此性质怎样书写推理过程?1=2,PD OA，PE OB（已知）PD=PE（角平分线角平分线上的点到角两边的距离上的点到角两边的距离相等。相等。）P PA AOOB BC CE ED D12第8页/共19页思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路解：作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5c
6、m,D即为所求。DCs第9页/共19页 反过来，到一个角的两边距离相等的反过来，到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上第10页/共19页证明:QDOA，QEOB，QDO和QEO都是直角，在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边）QD=QE （已知）RtQDO RtQEO（HL）QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点
7、D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上第11页/共19页 角的内部到角的两边距离相等的角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。点在角的平分线上。QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用几何语言表示为：角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE第12页/共19页练习:在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD第13页/共19页活活 如图：在ABC中，C=90 A
8、D是BAC的平分线，DE AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt CDF Rt EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！第14页/共19页一、过程小结：情境观察作图应用探究再应用二、知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？第15页/共19页回味无穷回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.wOCOC是是AOBAOB的
9、平分线的平分线,wP P是是OCOC上任意一点上任意一点PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已已知知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.小结 拓展OCB1A2PDE第16页/共19页 角的内部到角的两边的距离相角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE第17页/共19页作作 业业1 1、课本、课本5151页第页第2 2、3 3题；题；2 2、练习册相应位置；、练习册相应位置；3 3、复习本章所有内容。、复习本章所有内容。第18页/共19页谢谢大家观赏！第19页/共19页