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1、一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积由连续曲线及两直线所围成的图形称为曲边梯形。如何求其面积 A？、x轴、第1页/共23页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第2页/共23页解决步骤解决步骤:1)分割分割.在区间 a,b 中任意添加 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;把a,b 分成n个小区间长度依次为：曲边梯形的面积每个小曲边梯形的面积为第3页/共23页在第i 个小曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得2)取近似
2、.第4页/共23页3)求和求和.4)取极限取极限.令则曲边梯形面积将n个小矩形的面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值第5页/共23页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在这段时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)分割分割.在第i个小段上物体经2)取近似取近似.得已知速度将T1,T2它分成n 个小段过的路程为i0T1t0 t1tn=T2ttiti1第6页/共23页3)求和求和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性上述两个问题的共性:所求量为同一类和式极限所求量为同一类和式极限:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限第7页/共23页二、定积分的概念二、定积分的
3、概念在在a,b之间任意添加分点之间任意添加分点任取任取即即记作记作此时也称此时也称 f(x)在在 a,b 上上可积可积.若极限若极限存在存在，且唯一在区间在区间上的上的定积分定积分,则称之则称之 为函数为函数1.定积分的定义第8页/共23页积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和（1）定积分仅与被积函数及积分区间有关）定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关,即即（2）规定）规定第9页/共23页2.定积分的几何意定积分的几何意义义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的负值曲边梯形面积
4、的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和y=f(x)a 0bxyf(x)00 xbf(x)0 a yy=f(x)第10页/共23页定理定理.定理定理.且只有有限个间断点且只有有限个间断点 3、可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)第11页/共23页例例2.利用定积分的几何意义计算利用定积分的几何意义计算（1）（2）例例1.利用定义计算定积分利用定义计算定积分第12页/共23页三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)(k 为常数)1.方向性方向性3.线性线性4.线性线性5.可加性第13页/共23页6.保号性保号性 若在若在 a,b 上上则推论推论1.（保序性（
5、保序性）若在若在 a,b 上上则则推论推论2.(绝对可积性）绝对可积性）第14页/共23页7.估值定理：若估值定理：若则8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使第15页/共23页 积分中值定理的几何意义积分中值定理的几何意义-称为函数称为函数f(x)在在a,b上的平上的平均值均值第16页/共23页例3：比较和例4：估计的值第17页/共23页1.定积分定义定积分定义2.定积分的几何意义定积分的几何意义3.可积的充分条件可积的充分条件4.定积分的性质定积分的性质小结：定积分的概念及性质 第18页/共23页(k 为常数)1.方向性方向性3.线性线性4.线性线性定积分的性质定积分的性质第19页/共23页6.保号性 若在 a,b 上则推论推论1.（保序性（保序性）若在若在 a,b 上上则则5.可加性推论推论2.(绝对可积性）绝对可积性）第20页/共23页7.估值定理：若估值定理：若则8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使第21页/共23页一、牛顿一、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 二、积分上限函数二、积分上限函数 5.2 微积分基本定理第22页/共23页谢谢大家观赏！第23页/共23页