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1、1第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 第五五章 第1页/共22页2一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积第2页/共22页3解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第3页/共22页43)近似和近似和.4)取极限取极限
2、.令则曲边梯形面积第4页/共22页52.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1)大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变常代变.得已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为第5页/共22页63)近似和近似和.4)取极限取极限.上述两个问题的共性共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第6页/共22页7二、定积分定义二、定积分定义(P88)任一种分法任取总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时
3、称 f(x)在 a,b 上可积可积.记作第7页/共22页8积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即第8页/共22页9规定规定规定规定2.2.曲边梯形的面积是曲边方程曲边梯形的面积是曲边方程 在区间在区间 上的定积分，即上的定积分，即注意注意注意注意第9页/共22页103.定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和第10页/共22页11定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点 4.可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)5.5.若已知若已知f f(x x)可积可积，则说明积分值与
4、，则说明积分值与 a,ba,b 的分法和的分法和 的取法无关，故的取法无关，故可取一种易于可取一种易于运算的特殊分法与特殊的来求定积分。运算的特殊分法与特殊的来求定积分。第11页/共22页12例例1.利用定义计算定积分解解:将 0,1 n 等分,分点为取第12页/共22页13注注第13页/共22页14三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)(k 为常数)证证:=右端第14页/共22页15证证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是第15页/共22页16当当 a,b,c 的相对位置任意时的相对位置任意时,例如例如则有第16页/共22页175.若在若在 a,b 上上则证证:推论推论1.若在 a,b 上则第17页/共22页18推论推论2.证证:即7.设则第18页/共22页198.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.第19页/共22页20说明说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因第20页/共22页21例例3.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解解:已知自由落体速度为故所求平均速度第21页/共22页22谢谢您的观看！第22页/共22页