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1、第五章第五章 定积分定积分第一节第一节1 定定积分的概念和性质积分的概念和性质引引 言言不定积分是微分法逆运算的一个侧面不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面介绍的定积分则是它的另一个侧面.定积分起源定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题于求图形的面积和体积等实际问题.古希腊的阿古希腊的阿基米德用基米德用“穷竭法穷竭法”,我国的刘徽用我国的刘徽用“割圆术割圆术”,计算过一些几何体的面积和体积计算过一些几何体的面积和体积,分的雏形分的雏形.直到直到17世纪中叶世纪中叶,提出了定积分的概念提出了定积分的概念,的内在联系的内在联系,给出了计算定积分的一般方法给
2、出了计算定积分的一般方法,使定积分成为使定积分成为都曾都曾这些均为定积这些均为定积牛顿和莱布尼茨先后牛顿和莱布尼茨先后并发现了积分与微分之间并发现了积分与微分之间从而从而解决有关实际问题的有力工具解决有关实际问题的有力工具,引引 言言直到直到17世纪中叶世纪中叶,分的概念分的概念,给出了计算定积分的一般方法给出了计算定积分的一般方法,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积牛顿和莱布尼茨先后提出了定积并发现了积分与微分之间的内在联系并发现了积分与微分之间的内在联系,从而使定积分成为从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微并使各自独立的微分学与积分学联系在一起分
3、学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系构成完整的理论体系-微积分学微积分学.本章先从几何问题与力学问题本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在几何与经济学中的应用几何与经济学中的应用.abxyo1 1 面积问题面积问题（Area Problem)问题的提出（问题的提出（Introduction)我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了
4、这一问题，并用绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题算问题。abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路解决问题的基本思路：变变“曲曲”为为“直直”观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如
5、图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为例例2 2 路程问题路程问题（Distance Problem)把整段时间分割成若干小时间段，每小段把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值对于匀速运动，我们有公式对于匀速运动，我们有公式路程路程=速度速度X X时间时间解决变速运动的路程的基本思路解决变速运动的路程的基本思路（1 1）分割）分割（
6、3 3）作和）作和（4 4）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值(2)(2)取点取点定积分的定义定积分的定义定义定义设设在在上有界上有界,在在中任意中任意插入若干个分点插入若干个分点把区间把区间分割成分割成个小区间个小区间,区间的长度依次为区间的长度依次为在各小区间上任取一点在各小区间上任取一点作乘积作乘积并求和并求和各小各小记记如果不论对如果不论对怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间上点上点怎样的取法怎样的取法,要当要当时时,只只和和总趋于确定的极限总趋于确定的极限我们称我们称定积分的定义定积分的定义定义定义记记对对怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间点点怎样的
7、取法怎样的取法,要当要当时时,只只和和定的极限定的极限我们称我们称如果不论如果不论上上总趋于确总趋于确这个极限这个极限区间区间上的上的定积分定积分,记为记为为函数为函数在在其中其中叫做叫做被积函数被积函数,叫做叫做被积表达被积表达式式,叫做叫做积分变量积分变量,叫做叫做积分区间积分区间,与与分别叫做分别叫做积分上限积分上限和和积分下限积分下限.定积分的定义定积分的定义定义定义积分和积分和几点说明几点说明:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与而与积分变量的字母无关积分变量的字母无关,即即(2)定义中区间的分法和定义中区间的分法和的取法是任意的的取法是任意的
8、.(3)当函数当函数在区间在区间上的定积分存在时上的定积分存在时,称称在区间在区间上可积上可积.定积分存在定理定积分存在定理定理定理1定理定理2若函数若函数在区间在区间上连续上连续,则则在区间在区间上可积上可积.若函数若函数在区间在区间上有界上有界,且只有有限个间断点且只有有限个间断点,在区间在区间则则上可积上可积.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值定积分的几何意义定积分的几何意义abxyooyabx几何意义几何意义 xyo定积分的物理意义定积分的物理意义变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度是时间是时间间隔
9、间隔上上的一个连续函数的一个连续函数,且且求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程变力沿直线所作功变力沿直线所作功设某物体在变力设某物体在变力作用下作用下设设的方向与位移的方向与位移方向相同方向相同,力力轴由轴由移动到移动到沿沿变力沿直线所作功变力沿直线所作功设某物体在变力设某物体在变力作用下作用下设设的方向与位移的方向与位移方向相同方向相同,力力轴由轴由移动到移动到沿沿的大小随的大小随而变化而变化,且可表为且可表为的连续函数的连续函数定积分的物理意义定积分的物理意义例例1 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分解解 因函数因函数在在上连续，上连续，故可积故可积.
10、而定积分的值而定积分的值从从关关.为便于计算为便于计算,将将等分，等分，如图，如图，Oxyyx=21n1n2n3.n.in1n-则则于是，于是，取每个小区间的右端取每个小区间的右端点为点为则则的分法及的分法及的取法无的取法无与对区间与对区间例例1 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分解解 取每个小区间的右端取每个小区间的右端点为点为则则故故例例1 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分解解 取每个小区间的右端取每个小区间的右端点为点为则则故故例例2 利用定积分表示下列极限利用定积分表示下列极限：解解原极限原极限Ox1n1n2.n.in1n-易见，易见，若取若取则则原极限原
11、极限由此可见，由此可见，被积函数应取为被积函数应取为例例2 利用定积分表示以下极限利用定积分表示以下极限.解解由此可见，由此可见，被积函数应取为被积函数应取为注意到注意到在在上连续，上连续，因而是可积的因而是可积的.故有故有原极限原极限原极限原极限注：注：今后可直接计算出上述积分结果为今后可直接计算出上述积分结果为求定积分过程中的辩证思维求定积分过程中的辩证思维恩格斯指出恩格斯指出:“初等数学初等数学,即常数的数学即常数的数学,是在形式是在形式逻辑的范围内活动的逻辑的范围内活动的,至少总的说来是这样至少总的说来是这样;而变而变量数学量数学-其中最主要的部分是微积分其中最主要的部分是微积分-本质
12、本质上不外乎是辩证法在数学方面的应用上不外乎是辩证法在数学方面的应用”.从初等数学到变量数学的过渡从初等数学到变量数学的过渡,反映了人类思维反映了人类思维从形式逻辑向辩证逻辑的跨越从形式逻辑向辩证逻辑的跨越,是人类的认识能是人类的认识能力由低级向高级的发展力由低级向高级的发展.求曲边梯形的面积和求变求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步速直线运动的路程的前两步,即即“分割分割”和和“求和求和”,而且也是初等数学方法中而且也是初等数学方法中是初等数学方法的体现是初等数学方法的体现,求定积分过程中的辩证思维求定积分过程中的辩证思维从初等数学到变量数学的过渡从初等数学到变量数学的过渡,反映了
13、人类思维反映了人类思维从形式逻辑向辩证逻辑的跨越从形式逻辑向辩证逻辑的跨越,是人类的认识能是人类的认识能力由低级向高级的发展力由低级向高级的发展.求曲边梯形的面积和求变求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步速直线运动的路程的前两步,即即“分割分割”和和“求和求和”,而且也是初等数学方法中而且也是初等数学方法中是初等数学方法的体现是初等数学方法的体现,形式逻辑思维的体现形式逻辑思维的体现.只有第三步只有第三步“取极限取极限”这种蕴这种蕴含于变量数学中丰富的辩证逻辑思维含于变量数学中丰富的辩证逻辑思维,才使得微积才使得微积分巧妙地、有效地分巧妙地、有效地问题问题!解决了初等数学所不能解决的
14、解决了初等数学所不能解决的求定积分过程中的辩证思维求定积分过程中的辩证思维体现了对立统一法则体现了对立统一法则.定积分中的极限方法定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、可以使有关常量与变量、近似与精确、近似与精确、变与不变等变与不变等矛盾的对立双方相互矛盾的对立双方相互转化转化,从而化未知为已知从而化未知为已知,定积分的近似计算定积分的近似计算若函数若函数在区间在区间上连续上连续,则定积分则定积分存在存在.如同上例如同上例,将区间将区间分成分成个长度相等的小区间个长度相等的小区间:每个小区间的长度为每个小区间的长度为取取则则定积分的近似计算定积分的近似计算根据根据在小区间上的取法不同在小区间
15、上的取法不同得到下列常得到下列常用近似计算方法用近似计算方法:矩形法矩形法梯形法梯形法定积分的近似计算法很多定积分的近似计算法很多,这里不再作介绍这里不再作介绍,随着计算机应用的普及随着计算机应用的普及,利用现成的数学软件利用现成的数学软件计算定积分的近似值已变得非常方便计算定积分的近似值已变得非常方便,若本章若本章的数学实验中将具体进行实践的数学实验中将具体进行实践.例例3 用矩形法和梯形法计算积分用矩形法和梯形法计算积分的近似值的近似值.解解 把区间十等分，把区间十等分，设分点为设分点为相应的函数值为相应的函数值为设设列表如下列表如下iixiy01234501.02.03.04.05.00
16、0000.199005.096079.091393.085214.077880.010678916.07.08.09.069768.061263.052729.044486.036788.0iixiy例例3 用矩形法和梯形法计算积分用矩形法和梯形法计算积分的近似值的近似值.解解 利用利用左矩形公式左矩形公式，得得利用利用右矩形公式右矩形公式，得得利用利用梯形法公式梯形法公式，得得例例3 用矩形法和梯形法计算积分用矩形法和梯形法计算积分的近似值的近似值.解解利用利用梯形法公式梯形法公式，得得例例3 用矩形法和梯形法计算积分用矩形法和梯形法计算积分的近似值的近似值.解解利用利用梯形法公式梯形法公式
17、，得得实际上是前面两值的平均值，实际上是前面两值的平均值，1.将和式极限将和式极限表示成定积分表示成定积分.2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：课堂练习课堂练习1.将和式极限将和式极限表示成定积分表示成定积分.解解原式原式完完2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：解解根据积分的几何意义，根据积分的几何意义，被积函数被积函数是上半圆是上半圆表示在表示在上上由该半圆周与由该半圆周与轴轴及及轴轴所围成图形的面积，所围成图形的面积，即在第一即在第一象限的四分之一圆的面积，象限的四分之一圆的面积，其面积等于其面积等于此即为等式
18、右端此即为等式右端.内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义定积分是特殊和式的极限定积分是特殊和式的极限分割分割求和求和取极限取极限分割、求和、取极限三个步骤，分割、求和、取极限三个步骤，反映了无反映了无限分割与无限求和的思想限分割与无限求和的思想.定积分的值完全定积分的值完全由被积函数和积分区间确定，由被积函数和积分区间确定，而与积分变量而与积分变量内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义分割、求和、取极限三个步骤，分割、求和、取极限三个步骤，反映了无反映了无限分割与无限求和的思想限分割与无限求和的思想.定积分的值完全定积分的值完全由被积函数和积分区间确定，由被积函数和积分区间确定，而与积分变量而与积分变量的记法无关，的记法无关，即即定积分在几何上表示某曲边梯形的面积定积分在几何上表示某曲边梯形的面积.内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义2.定积分的可积性定积分的可积性(1)有限区间上的连续函数一定可积；有限区间上的连续函数一定可积；(2)有限区间上有界且只有有限个间断点有限区间上有界且只有有限个间断点的函数也可积的函数也可积.