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1、定积分的概念定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题二类基本问题定积分，它是微分（求局部量）定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和的逆运算（微分的无限求和求总量），然后求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。中有着极其广泛的应用。重点重点定积分的概念和性质，微积分基本公定积分的概
2、念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法式，定积分的换元法和分部积分法难点难点定义及换元法和分部法的运用定义及换元法和分部法的运用基本要求基本要求正确理解定积分的概念及其实际背景正确理解定积分的概念及其实际背景记住定积分的性质并能正确地运用记住定积分的性质并能正确地运用掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，并会用并会用N-L公式公式计算定积分，计算定积分，能正确熟练地运用换元法和分部积分法能正确熟练地运用换元法和分部积分法正确理解两类广义积分概念，正确理解两类广义积分概念，并会用定义并会用定义 计算一些较简单的广义积分。计算一些较简单的广义积
3、分。计计 算定积分算定积分实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）求面积问题由来已久，对于由直线所围成的求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积如何求面积将其置于直角将其置于直角坐标系下考察坐标系下考察oxyabABmn问题归结为问题归结为AmBbaA与与AnBbaA的面积之差的面积之差曲边梯形曲边梯形一、问题的提出一、问题的提出abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyo（四个小矩形）（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越
4、多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系是越来越接近面积的关系是越来越接近曲边梯形如图所示曲边梯形如图所示曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的
5、无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值 （1）分割）分割问题问题 以上两个例子，一个是以上两个例子，一个是几何几何问题，求的问题，求的是以曲线是以曲线 y=f(x)为曲边，以为曲边，以 a,b 为底边的为底边的曲边梯形的面积。一个是曲边梯形的面积。一个是物理物理问题，求的是问题，求的是速度函数为速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时的变速直线运动的物体在时间区间间区间 a,b 所走过的路程所走过的路程归纳归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总它们求的都是展布在某个区间上的总量
6、（总面积或总路程）量（总面积或总路程）解决方法：解决方法：通过通过局部取近似局部取近似（求微分求微分），），求和取极限求和取极限（微分的无限求和微分的无限求和）的方法，把总量归结为）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限求一种特定和式的极限 类似的例子还可以举出很多（几何、物类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）理的，在下一章定积分应用中即可见到）这些问题虽然研究的对象不同，但解决这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体地解决这类问题，就有必要撇开它们
7、的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义定义 二、定积分的定义二、定积分的定义记为记为被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义 几何意义：几何意义：解解例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分例例2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解在在 0,1上连续，故上连续，故f(x)在在0,1上可积上可积为方便计，将为
8、方便计，将 0,1n 等分，左侧取点等分，左侧取点等比数列等比数列证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故对定积分的对定积分的补充规定补充规定:在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小说明说明定积分的性质定积分的性质一、基本内容一、基本内容证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1性质性质2 2证证性质性质1+性质性质2 得得：推广：推广：即线性组合的定积分等于定积分的线性组合即线性组合的定积分等于定积分的线
9、性组合说明定积分也具有说明定积分也具有线性运算性质线性运算性质补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若则则（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）性质性质3 3性质性质5 5（非负性）（非负性）证证 性质性质4 4令令于是于是性质性质5 5的推论：（比较定理）的推论：（比较定理）（1）（2）说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.解解证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）解解性质性质6 6（估值定理）（估值定理）积分中值公式积分中值公式证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数
10、的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：解解 由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使例例4 设设 f(x),g(x)在在 a,b 上连续，证明上连续，证明若在若在 a,b 上上则在则在 a,b 上上若在若在 a,b 上上若在若在 a,b 上上则在则在 a,b 上上证明证明 反证法反证法必有一点必有一点 不妨设不妨设 a x0 b （端点处的情况类似）端点处的情况类似）由由 f(x)的连续性的连续性由非负性由非负性由积分中值定理由积分中值定理与题设矛盾与题设矛盾 已知已知由比较定理由比较定理则由则由得得而假设而假设 已知已知由比较定理由比较定理由由得得定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小思考题思考题二、小结二、小结例例思考题解答思考题解答