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1、一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积第1页/共25页解决步骤解决步骤:1)大化小.用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)常代变.作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得在区间 a,b 中 插入 n 1 个分点任意在第i 个窄曲边梯形上任取第2页/共25页3)近似和近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积第3页/共25页2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已
2、知速度n 个小段过的路程为第4页/共25页3)近似和近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第5页/共25页二、定积分定义二、定积分定义任取一点总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数在区间即记作任意一种分法上的 ,定积分此时称 f(x)在 a,b 上 .可积(P194)第6页/共25页积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即第7页/共25页定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代
3、数和第8页/共25页可积的充分条件可积的充分条件:取定理1 定理2 且只有有限个间断点(证明略)例1解 将 0,1 n 等分,分点为利用定义计算定积分第9页/共25页注 当n 较大时,此值可作 为的近似值注：第10页/共25页例例2解 用定积分表示下列极限:第12页/共25页三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)证=右端规定定积分的线性性质第13页/共25页证时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是当积分对积分区间具有可加性第14页/共25页当当 a,b,c 的相对位置任意时的相对位置任意时,例如例如则有综上可得,对任意位置的 c，都有第15
4、页/共25页5.则证 推论1则若在 a,b 上若在 a,b 上证 推论2 即第16页/共25页例例3证则在上,有即故即试证:设6.则设第17页/共25页7.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证 则由性质6 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.第18页/共25页说明说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因第19页/共25页例例4 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解故所求平均速度已知自由落体速度为第20页/共25页内容小结内容小结1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式线性性质不等式性质积分对区间的可加性测度性质第21页/共25页思考与练习思考与练习1.用定积分表示下述极限:解 或第22页/共25页思考思考:如何用定积分表示下述极限 提示:极限为 0!第23页/共25页2.P202 题题3，4，53.证 设则即证明第24页/共25页感谢您的欣赏！第25页/共25页