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1、复习圆的标准方程3.3.圆的标准方程的两个基本要素:是 和 .1.1.圆的标准方程:(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.其中圆心坐标为C(a,b),C(a,b),半径为r.r.2.2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0,a=b=0,那么圆的方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2.圆心坐标半径圆的一般方程第1页/共9页研究圆的标准方程将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x x2 2+y+y2 2-2ax-2by+(a-2ax-2by+(a2 2+b+b2 2-r-r2 2)=0,)=0,取D=-2a,E=-2b,F=aD=-2a,E=-2b,F=a2
2、 2+b+b2 2-r-r2 2,可写成:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.也就是说:任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 请大家思考一下,反过来讲,形如的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题.圆的一般方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2第2页/共9页研究二元二次方程表示的图研究二元二次方程表示的图形形 再将上述方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 左边运用配方法,得(x+)(x
3、+)2 2+(y+)+(y+)2 2=显然是不是圆方程与 是什么样的数 密切相关(1)(1)当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时,式可化为(x+)(x+)2 2+(y+)+(y+)2 2=()=()2 2 方程表示以(-,-)(-,-)为圆心、以 为半径的圆.(2)(2)当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时,式可化为(x+)(x+)2 2+(y+)+(y+)2 2=0=0 方程只有实数解x=-,y=-,x=-,y=-,表示一个点(-,-).(-,-).(3)(3)当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时,式可化为(x+)(x+)2 2+(y+)+(y+)2 2
4、0 0 方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.圆的一般方程第3页/共9页得结论、给定义方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.我们把D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程.学过两种形式的圆的方程(标准方程和一般方程)之后,谁能指出它们各自的优点呢？圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2圆的一般方程 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点:(
5、1)x(1)x2 2和y y2 2的系数相同,且不等于0 0(2)(2)没有xyxy这样的二次项.以上两点是二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的 条件.必要不充分条件充要条件是什么呢?明确指出了圆心和半径圆的一般方程第4页/共9页例题分析例1.1.求过三点O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圆的方程,并求 出这个圆的圆心坐标和半径.分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法.解:设所求的圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=
6、0,因为O O、M M1 1、M M2 2 三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解,解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.:D=-8,E=6,F=0.所求圆的方程为:x:x2 2+y+y2 2-8x+6y=0.-8x+6y=0.将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=5=52 2,于是圆心坐标(4,-3),(4,-3),半径为r=5.r=5.方法:待定系数法和配方法圆的一般方程第5页/共9页例题分析圆的一般方程圆的一般方程例2.2.经过点M(-6,0)M(-6,0)作圆C:xC:x2 2+y+y2 2-6x-4y+9=0-6x-4y+9=0的
7、割线,交圆 C C于A A、B B两点,求线段ABAB的中点P P的轨迹.解:圆C C的方程可化为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圆心为C(3,2),C(3,2),半径为2.2.设P(x,y)P(x,y)是轨迹上任意一点.CPMP.CPMP k kCPCPkkMPMP=-1,=-1,即 =-1.=-1.化简得x x2 2+y+y2 2+3x-2y-18=0,+3x-2y-18=0,点C C在曲线上,并且曲线为圆C C内部的一段圆弧.第6页/共9页 1.1.补充练习:课堂练习注意:圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2的半径
8、是|m|.|m|.圆的一般方程(1)(1)方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-(-2,3)2,3)为圆心,4,4为半径的圆.求D D、E E、F F的值答案:D=4,E=-6,F=-3:D=4,E=-6,F=-3(2)(2)求经过三点A(1,-1)A(1,-1)、B(1,4)B(1,4)、C(4,-2)C(4,-2)的圆 的方程.待定系数法,答案:x:x2 2+y+y2 2-7x-3y+2=0.-7x-3y+2=0.第7页/共9页课时小结 通过本节学习,首先要掌握圆的一般方程,能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化.其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待定系数法和配方法求解.若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.圆的一般方程第8页/共9页感谢您的观看！第9页/共9页