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1、圆的一般方程（一）教学目标1知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2过程与方法通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方
2、程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点 A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x a)2+(y b)2=r2，圆心(a，b)，半径 r.把圆的标准方程展开，并整理：x2+y2 2ax 2 by
3、+a2+b2 r2=0.取 D=2a，E=2b，F=a2+b2 r2得 x2+y2+Dx+Ey+F=0 这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得22224()()224DEDEFxy(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当 D2+E2 4 F0 时，方程表示以(,)22DE为圆心，整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）x2和 y2的系数相同，不等于 0.没有 xy 这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数 D
4、、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22142DEF为半径的圆；（2）当D2+E2 4F=0 时，方程只有实数解,22DExy，即只表示一个点(,)22DE；（3）当 D2+E2 4 F0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一定是圆.只有当 D2+E2 4 F0 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 的表示圆的方程称为圆的一般方程.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代
5、数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.应用举例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2+4 y2 4 x+12 y+9=0（2）4x2+4 y2 4 x+12 y+11=0解析：（1）将原方程变为x2+y2 x+3 y+94=0D=1，E=3，F=94.D2+E2 4 F=1 0学生自己分析探求解决途径：用配方法将其变形化成圆的标准形式.运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2+4y2 4x+12y+9=0 来说，这里的D=1，E=3，94F通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程
6、的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决此方程表示圆，圆心（12，32），半径r =12.（2）将原方程化为x2+y2 x+3 y+114=0D=1，E=3，F=114.D2+E2 4 F=10此方程不表示圆.而不是 D=4，E=12，F=9.问题的能力.例 2 求过三点 A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐
7、标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F 的三元一次方程组：即02042200FDEFDEF例 2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1根据题设，选择标准方程或一般方程.2根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F的方程组；3解出 a、b、r 或D、E、F，代入标准方程或一般方程.解此方程组，可得：D=8，E=6，F=0所求圆的方程为：x2+y2 8x+6y=0221452rDEF；4,322DF.得圆心坐标为(4，3).或将 x2+y2 8 x+6 y=0 左边配方化为圆的标准方程，(x 4)2+(y+3)2=25，从而求出圆的半径r=5，圆心坐
8、标为(4，3).例 3 已知线段 AB的端点 B的坐标是(4，3)，端点 A在圆上(x+1)2+y2=4 运动，求线段 AB的中点 M的轨迹方程.解：设点 M的坐标是(x，y)，点 A的坐标是(x0，y0)由于点 B的坐标是(4，3)且 M是线段 AB中重点，所以0043,22xyxy，于是有 x0=2 x 4，y0=2 y 3 因为点 A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，所以点 A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+y02=4 把代入，得(2 x 4+1)2+(2 y 3)2=4，教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点 A运动引起点 M运动，而点A在已知
9、圆上运动，点 A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4.建立点 M与点 A坐标之间的关系，就可以建立点 M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.整理得2233()()122xy所以，点 M的轨迹是以33(,)22为圆心，半径长为 1 的圆.课堂练习：课堂练习P130第 1、2、3 题.归纳总结1圆的一般方程的特征2与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.课后作业布置作业：见习案4.1 的第二课时学生独立完成巩固深化备选例题例 1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2+y2+x+
10、1=0；（2）x2+y2+2ac+a2=0(a0)；（3）2x2+2 y2+2 ax 2 ay=0(a0).【解析】（1）因为 D 1，E 0，F 1，所以 D2+E2 4 F0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为 D 2 a，E 0，F a2，所以 D2+E2 4 F 4 a2 4 a2=0，所以方程（2）表示点(a，0)；M A x y O B（3）两边同时除以2，得 x2+y2+ax ay=0，所以 D=a，E=a，F=0.所以 D2+E2 4 F0，所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22aa，半径22124|22rDEFa.点评：也可以先将方程配方再判断.例 2 已知一圆过 P(4，
11、2)、Q(1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为4 3，求圆的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0 将 P、Q的坐标分别代入得4220310DEFDEF令 x=0，由，得 y2+Ey+F=0 由已知|y1 y2|=4 3，其中 y1，y2是方程的两根.(y1 y2)2=(y1+y2)4 y1y2=E2 4 F=48 解联立成的方程组，得2012DEFD=-10或E=-8F=4故所求方程为：x2+y2 2 x 12=0或 x2+y2 10 x 8 y+4=
12、0.法二：求得 PQ的中垂线方程为 x y 1=0 所求圆的圆心C在直线上，故设其坐标为(a，a 1)，又圆 C的半径22|(4)(1)rCPaa由已知圆 C截 y 轴所得的线段长为4 3，而圆 C到 y 轴的距离为|a|.2224(3)2ra代入并将两端平方，得a2 5 a+5=0，解得 a1=1，a2=5.1213,37rr故所求的圆的方程为：(x 1)2+y2=13 或(x 5)2+(y 4)2=37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例 3 已知方程 x2+y2 2(t +3)x+2(1 t2)y+16 t4+9=0表示一个圆，求（1）t 的取值范围；（2）该圆半径 r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D2+E2 4F=4(t+3)2+4(1 t2)2 4(16t 4+9)0 即 7t2 6 t 1 0，117t（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77DEFrtttttt2164 70,077rr