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1、圆的一般方程圆的方程圆的一般方程教学目标课时小结例题分析新课讲解课后作业课堂练习教学目标教学目标( (二二) )能力目标能力目标 1.1.掌握圆的一般方程掌握圆的一般方程, ,分析一般方程的特点分析一般方程的特点. . 2.2.培养用配方法求圆心和半径培养用配方法求圆心和半径, ,以及用待定系数法由已知以及用待定系数法由已知 条件导出圆的方程的能力条件导出圆的方程的能力. .( (三三) )德育目标德育目标 渗渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法透数形结合、化归与转化等数学思想方法, ,提高学生提高学生 的整体素质激励学生创新、勇于探索的整体素质激励学生创新、勇于探索. .( (一一) )知
2、识目标知识目标 1.1.了解掌握圆的一般方程的结构特征了解掌握圆的一般方程的结构特征. .能熟练掌握一般方能熟练掌握一般方 程与标准方程互化程与标准方程互化. . 2.2.运用待定系数法运用待定系数法, ,由已知条件导出圆的一般方程由已知条件导出圆的一般方程. .圆的一般方程复习圆的标准方程复习圆的标准方程3.3.圆的标准方程的两个基本要素圆的标准方程的两个基本要素: : 是是 和和 . .1.1.圆的标准方程圆的标准方程: :(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. . 其中圆心坐标为其中圆心坐标为C(a,b),C(a,b),半径为半径为r.r.2.2.当圆心
3、在坐标原点上当圆心在坐标原点上, ,这时这时a=b=0,a=b=0, 那么圆的方程为那么圆的方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2. .圆心坐标圆心坐标半径半径圆的一般方程研究圆的标准方程研究圆的标准方程将圆的标准方程展开将圆的标准方程展开, ,化简化简, ,整理整理, ,可得可得 x x2 2+y+y2 2-2ax-2by+(a-2ax-2by+(a2 2+b+b2 2-r-r2 2)=0,)=0,取取D=-2a,E=-2b,F=aD=-2a,E=-2b,F=a2 2+b+b2 2-r-r2 2, ,可写成可写成:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.
4、也就是说也就是说: : 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：的形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 请大家思考一下请大家思考一下,反过来讲反过来讲,形形如的方程的曲线是否一定如的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题入研究这一方面的问题. 圆的一般方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2研究二元二次方程表示的图形研究二元二次方程表示的图形 再将上述方程再将上述方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+E
5、y+F=0 左边运用配方法左边运用配方法, ,得得(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2= = D D2 2E E2 22 22 2D DE E4 4F F4 4 显然是不是圆方程与显然是不是圆方程与 是什么样的数是什么样的数 密切相关密切相关 2 22 2D DE E4 4F F4 4 (1)(1)当当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时, ,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=( )=( )2 2 D D2 2E E2 22222DE4FDE4F2 2方程表示以方程表示以(- ,- )(- ,- )为圆心、以为圆心、以 为
6、半径的圆为半径的圆. .D D2 2E E2 222221 1DE4FDE4F2 2(2)(2)当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时, ,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=0=0 D D2 2E E2 2方程只有实数解方程只有实数解x=- ,y=- ,x=- ,y=- ,表示一个点表示一个点(- ,- ).(- ,- ). D D2 2E E2 2D D2 2E E2 2(3)(3)当当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时, ,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 20 0 D D2 2E E
7、2 2方程没有实数解方程没有实数解, ,因而它不表示任何图形曲线因而它不表示任何图形曲线. . 圆的一般方程得结论、给定义得结论、给定义方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹的轨迹可能是圆、点或无轨迹. . 我们把我们把D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的所表示的圆的方程称为圆的一般方程圆的方程称为圆的一般方程. . 学过两种形式的圆的方学过两种形式的圆的方程程( (标准方程和一般方程标准方程和一般方程) )之后之后, ,谁能指出它们各自谁能指出它
8、们各自的优点呢？的优点呢？圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2圆的一般方程圆的一般方程 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点突出了形式上的特点: :(1)x(1)x2 2和和y y2 2的系数相同的系数相同, ,且不等于且不等于0 0(2)(2)没有没有xyxy这样的二次项这样的二次项. . 以上两点是二元二次方程以上两点是二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的表示圆的 条件条件. . 必要不充分条件必要不充分条件充要条
9、件充要条件是什么呢是什么呢? ?明确指出了圆心和半径明确指出了圆心和半径圆的一般方程例题分析例题分析例例1.1.求过三点求过三点O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圆的方程的圆的方程, ,并求并求 出这个圆的圆心坐标和半径出这个圆的圆心坐标和半径. . 分析分析:圆的一般方程需确定三个系数圆的一般方程需确定三个系数, ,用待定系数法用待定系数法. . 解解:设所求的圆的方程为设所求的圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,因为因为O O、M M1 1、M M2 2 三点在圆上三点在圆上, ,所以它
10、们的坐标是方程的解所以它们的坐标是方程的解, , 解此方程组解此方程组, ,可得可得:D=-8,E=6,F=0. :D=-8,E=6,F=0. 所求圆的方程为所求圆的方程为:x:x2 2+y+y2 2-8x+6y=0.-8x+6y=0. F F0 0D DE EF F2 20 04 4D D2 2E EF F2 20 00 0 将此方程左边配方得圆的标准方程将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=5=52 2, ,于是圆心坐标于是圆心坐标(4,-3),(4,-3),半径为半径为r=5.r=5. 方法方法: :待定系数法待定系数法和配方法和配方法圆
11、的一般方程例题分析例题分析圆的一般方程圆的一般方程例例2.2.经过点经过点M(-6,0)M(-6,0)作圆作圆C:xC:x2 2+y+y2 2-6x-4y+9=0-6x-4y+9=0的割线的割线, ,交圆交圆 C C于于A A、B B两点两点, ,求线段求线段ABAB的中点的中点P P的轨迹的轨迹. . 解解: :圆圆C C的方程可化为的方程可化为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圆心为其圆心为C(3,2),C(3,2), 半径为半径为2.2.设设P(P(x,yx,y) )是轨迹上任意一点是轨迹上任意一点.CPMP.CPMP k kCPCPkkMPMP=-1
12、,=-1,即即 =-1.=-1. 化简得化简得x x2 2+y+y2 2+3x-2y-18=0,+3x-2y-18=0, 点点C C在曲线上在曲线上, ,并且曲线为圆并且曲线为圆C C内部的一段圆弧内部的一段圆弧. . y2yy2yx3x6x3x6 1.1.课本第课本第7979页练习页练习1,2.1,2. 2. 2.补充练习补充练习: :课堂练习课堂练习注意注意: :圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2的半径是的半径是|m|.|m|.圆的一般方程圆的一般方程(1)(1)方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以
13、表示的曲线是以(-2,3)(-2,3) 为圆心为圆心,4,4为半径的圆为半径的圆. .求求D D、E E、F F的值的值答案答案:D=4,E=-6,F=-3:D=4,E=-6,F=-3(2)(2)求经过三点求经过三点A(1,-1)A(1,-1)、B(1,4)B(1,4)、C(4,-2)C(4,-2)的的圆圆 的方程的方程. .待定系数法待定系数法,答案答案:x:x2 2+y+y2 2-7x-3y+2=0.-7x-3y+2=0. 课时小结课时小结 通过本节学习通过本节学习, ,首先要掌握圆的一般方程首先要掌握圆的一般方程, ,能能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化进行圆的一般方程与圆的标准方程
14、的互化. . 其次其次, ,还应该根据已知条件与圆的两种形式的还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程方程的不同特点灵活选取恰当的方程, ,再利用待再利用待定系数法和配方法求解定系数法和配方法求解. . 若条件与圆心、半径有关若条件与圆心、半径有关, ,则宜用标准方程则宜用标准方程; ; 若条件主要是圆所经过的点的坐标若条件主要是圆所经过的点的坐标, ,则宜用一则宜用一般方程般方程. .圆的一般方程圆的一般方程作业圆的一般方程作业( (一一) )课本第课本第8282页习题页习题7.6 57.6 5，6 6，7 7，8 8( (二二) )预习内容预习内容: :课本课本P79-P81P79-P81预习提纲预习提纲: :1.1.什么是圆的参数方程什么是圆的参数方程? ?2.2.怎样确定圆的参数方程怎样确定圆的参数方程? ?3.3.圆的参数方程与圆的普通方圆的参数方程与圆的普通方 程如何互化程如何互化? ?圆的一般方程 谢谢 谢谢再再 见见