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1、一、多元复合函数求导的链式法一、多元复合函数求导的链式法则则定理.若函数处可微,在点 t 可导,则复合函数且有链式法则偏导数连续(全导数公式)第1页/共31页若定理中 说明说明:例如:易知:但复合函数可微(偏导连续)减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.第2页/共31页推广推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,第3页/共31页又如又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示 f(x,(x,y)固定 y 对 x 求导表示f(x,v)固定 v 对 x 求导口诀:与不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导第4页/共31页例例1.
2、设设解:第5页/共31页例例2.解:第6页/共31页例例3 设设 求全导数解:第7页/共31页解:例4.设第8页/共31页为简便起见,引入记号例例5.设设 f 具有二阶连续偏导数,求解:令则第9页/共31页二、多元复合函数的全微二、多元复合函数的全微分分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.第10页/共31页例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以第11页/共31页一个方程所确定的隐函数及其导数.三 隐函数的求导方法 1)方程在什么条件下才能确定隐函数.2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,
3、可微性及求导方法问题.讨论:第12页/共31页1、一个方程所确定的隐函数及其导数、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续导数(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件第13页/共31页两边对 x 求导若则简记为第14页/共31页则有推导公式推广第15页/共31页,求导解例7x=0 时，第16页/共31页两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数方程求导,求导第17页/共31页例例8.设设解法1 利用隐函数方程求
4、导再对 x 求导第18页/共31页解法解法2 利用公利用公式式设则两边对 x 求偏导第19页/共31页例例9.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用公式.确定的隐函数,则已知方程故第20页/共31页对方程两边求微分:解法2 微分法.第21页/共31页解:例10 设求第22页/共31页法二：求设第23页/共31页内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是中间变量,第24页/共31页3.隐函数存在定理(了解)4.隐函数求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.第25页/共31页作业作业P265 22(4)(5)(6)(8)(9)23(2)(4)(6);24；25 第26页/共31页思考题思考题1.已知求解:由两边对 x 求导,得第27页/共31页2.求在点处可微,且设函数解:由题设(考研)第28页/共31页定理.若函数处可微,在点 t 可导,则复合函数证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则有增量u,v,第29页/共31页(全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页