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1、一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则有增量u,v,第1页/共21页(全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)第2页/共21页若定理中 说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.第3页/共21页推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,第4页/共21页又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导与不同,口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导第5页/共21
2、页例1.设解:第6页/共21页例2.设解:令则提示：也可看成幂指函数第7页/共21页例3.解:口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导第8页/共21页例4.设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导是一类重要的典型求导问题下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第9页/共21页例5.设可导，求解：题目改为，则令第10页/共21页为简便起见,引入记号例6.设 f 具有二阶连续偏导数,求解:令则第11页/共21页二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为这说明无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.第12页/共21页例1.例 8.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以第13页/共21页解解 例9.已知第14页/共21页例10.计算函数的全微分.解:注意:x,y,具有 轮换对称性 第15页/共21页内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,第16页/共21页思考与练习1.第17页/共21页2.已知求解:由两边对 x 求导,得第18页/共21页3.求在点处可微,且设函数解:由题设(考研)第19页/共21页4:已知解:第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页