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1、复习回复习回顾顾v 一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则微分法则微分法则v 二元复合函数二元复合函数求导法则求导法则微分法则微分法则若多元复合函数的若多元复合函数的中间变量不止一个中间变量不止一个,结果如何结果如何?第1页/共19页一、多元复合函数的求导法一、多元复合函数的求导法则则定理定理 处处偏导数连续偏导数连续,在点 t 可导,则复合函数证明证明:则相应中间变量且有增量u,v,（全导数）（全导数）若函数设 t 取得增量t,由题设知可微则则第2页/共19页(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)第3页/共19页推广推广:(1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.设
2、下面所涉及的函数都可微(2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.如如如如第4页/共19页(3)中间变量既有一元函数又有多元函数的情形中间变量既有一元函数又有多元函数的情形.如如第5页/共19页又如又如当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有注意注意:这里这里表示表示 f(x,(x,y)固定固定 y 对对 x 求导求导表示表示f(x,v)固定固定 v 对对 x 求求导导与与不同不同第6页/共19页例例1 设设解解:第7页/共19页例例2 解解:第8页/共19页例例3 设设 求全导数解解:(4)多元抽象复合函数求导多元抽象复合函数求导下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导下
3、列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号技巧与常用导数符号.推广推广:第9页/共19页为简便起见为简便起见,引入记号引入记号例例4 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:则则令令第10页/共19页例例5 设设 全微分全微分其中其中f偏导数，求偏导数，求解解:具具有二阶连续的有二阶连续的第11页/共19页二、多元复合函数的全微二、多元复合函数的全微分分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不
4、变性全微分形式不变性.第12页/共19页例例1 例例 6 利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1解解:所以所以 练习练习例1 第13页/共19页内容小结内容小结1 复合函数的求导法则复合函数的求导法则如如2 全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,第14页/共19页思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题题7P31 题题7;8(2)第15页/共19页P31 题题8(2)第16页/共19页1 已知求解解:两边对 x 求导,得由第17页/共19页2 求在点处可微,且设函数解解:(2001考研考研)小结由题设第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页