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1、范例范例6.2 平面简谐波的方程平面简谐波的方程推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。解析解析在波动过程中，振动相位相同的点连成在波动过程中，振动相位相同的点连成的面称为波阵面，最前面的波阵面称为波前。的面称为波阵面，最前面的波阵面称为波前。波阵面是平面的波称为平面波。波阵面是平面的波称为平面波。波的传播方向称为波线，在各向同性波的传播方向称为波线，在各向同性的介质中，波线与波阵面相互垂直。的介质中，波线与波阵面相互垂直。设有一平面余弦行波，在无吸收的均匀设有一平面余弦行波，在无吸收的均匀无限介质中沿无限介质中沿x轴正方向传播，
2、波速为轴正方向传播，波速为v。如图所示，沿平面波中的一条波线建立坐标系，波如图所示，沿平面波中的一条波线建立坐标系，波线上的一个点代表一个过该点的垂直于波线的平面。线上的一个点代表一个过该点的垂直于波线的平面。设波源设波源O处质点的振动方程为处质点的振动方程为u0(t)=Acos(t+)，A是振幅，是振幅，是圆频率，是圆频率，是初相位，是初相位，u0(t)是是O处质点在处质点在t时刻的位移时刻的位移。xAOvxPx0P0波源波源O处质点的振动方程为处质点的振动方程为u0(t)=Acos(t+)，波线上任一点波线上任一点P的坐标为的坐标为x，当振动从，当振动从O点传到点传到P点时，需要的时间为点
3、时，需要的时间为tP=x/v。xAOvxPx0P0在在t时刻时刻P处质点的位移与处质点的位移与t-tP时刻时刻O处质处质点的位移相同，因此点的位移相同，因此P点在点在t时刻的位移为时刻的位移为u(x,t)=Acos(t-tP)+这就是沿这就是沿x轴正方向传播的平面简谐波轴正方向传播的平面简谐波的运动学方程，可称为基本波动方程。的运动学方程，可称为基本波动方程。基本波动方程中基本波动方程中的位移是时间和的位移是时间和坐标的函数。坐标的函数。当坐标一定时，方程就当坐标一定时，方程就表示了该坐标上的质点表示了该坐标上的质点在各时刻的运动曲线；在各时刻的运动曲线；当时刻一定时，当时刻一定时，方程就表示
4、了该方程就表示了该时刻各质点的波时刻各质点的波形曲线形曲线。范例范例6.2 平面简谐波的方程平面简谐波的方程推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。基本波动动方程基本波动动方程利用公式利用公式=2/T和和vT=，波动方程可表示为，波动方程可表示为此式在波的此式在波的干涉中用得干涉中用得比较多。比较多。t是由于时间延长而产生的相位，是由于时间延长而产生的相位，-2x/则是由于则是由于波传播到波传播到x处而滞后的相位。处而滞后的相位。波动方程还可以表示为波动方程还可以表示为此式比较此式比较好记忆。好记忆。xAOvxPx0P0如果波源不
5、在如果波源不在O点而在点而在P0点，点，P0到到O的距离为的距离为x0，P点在点在t时刻的位移为时刻的位移为如果如果x0=n(n为整数为整数)，可得基本波动方程。可得基本波动方程。可见：任何与波源相距为波长整数倍可见：任何与波源相距为波长整数倍的点的点(代表一个平面代表一个平面)都可以当作波源。都可以当作波源。当波向右传播时，就当波向右传播时，就认为波源在左边认为波源在左边。范例范例6.2 平面简谐波的方程平面简谐波的方程推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。基本波动动方程基本波动动方程如图所示，当波向左传播时，波动方程为如图所
6、示，当波向左传播时，波动方程为如果如果x0=n(n为为整数整数)，可得，可得与基本波动方程相与基本波动方程相比，比，x前面是正号。前面是正号。如果波源在原点如果波源在原点O，P点就一点就一定在定在x负轴上，上式可化为负轴上，上式可化为-x就是波从就是波从O点传到点传到P点的距离，点的距离，-x/v就是波传播到就是波传播到P点所需要的时间。点所需要的时间。当波向左传播时，就当波向左传播时，就认为波源在右边认为波源在右边。xuAOvxPx0P0范例范例6.2 平面简谐波的方程平面简谐波的方程推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。推导平面简谐波的运动学方程，说明位移曲线和波形曲线。振幅不妨取振幅不妨取0.2倍波长。倍波长。波线上各个时刻的质点的位移形波线上各个时刻的质点的位移形成一个波动曲面，曲面呈波浪状。成一个波动曲面，曲面呈波浪状。用用t=t0的平面去截，可得的平面去截，可得t0时刻各质点的波形曲线时刻各质点的波形曲线。用用x=x0的平面去截，可得质点在的平面去截，可得质点在x0处的振动曲线；处的振动曲线；