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1、平面简谐波波动方程现在学习的是第1页，共23页1.1.1.1.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 平平面面简简谐谐行行波波，在在无无吸吸收收的的均均匀匀无无限限介介质质中中沿沿x 轴轴的的正正方方向向传传播播，波波速速为为u。取取任任意意一一条条波波线线为为x 轴轴，取取O 作作为为x 轴轴的的原点。原点。O点处质点的振动表式为点处质点的振动表式为现在学习的是第2页，共23页平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 考察波线上任意点考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于点振动的相位将落后于O点。若振点。若
2、振动从动从O 传到传到P所需的时间为所需的时间为t，在时刻在时刻t，P点处质点的位移就点处质点的位移就是是O 点处质点在点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，时刻的位移，从相位来说，P 点将落后点将落后于于O点，其相位差为点，其相位差为 t。P点处质点在时刻点处质点在时刻t 的位移为：的位移为：现在学习的是第3页，共23页因因 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的轴方向前进的平面简谐波的波动方程波动方程。利用关系式利用关系式 和和 ，得，得其中其中平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式
3、平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第4页，共23页波动表式的意义：波动表式的意义：上式代表上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作简作简谐运动。谐运动。即即x 一定一定。令。令x=x1，则质点位移，则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。t 一定一定。令。令t=t1，则质点位移，则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第5页，共23页即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，它是为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1
4、时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线波形曲线(波形图波形图)。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第6页，共23页沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：x、t 都变化都变化。实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线：虚线：t2 时刻波形时刻波形x=u t波的传播波的传播平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第7页，共23页当当t=t1时时，当当t=t1+t时，时，在在
5、t1和和t1+t时刻时刻，对应的位移用对应的位移用x(1)和和x(2)表示，则表示，则 平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第8页，共23页 令令x(2)=x(1)+ut，得得 在在t 时间内时间内,整个波形向波的传播方向移动了整个波形向波的传播方向移动了x=x(2)-x(1)=ut，波速，波速u 是整个波形向前传播的速度。是整个波形向前传播的速度。波速波速u 有时也称有时也称相速度相速度。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第9页，共23页 沿沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式
6、轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：y x oP 点的运动方程为点的运动方程为：平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式现在学习的是第10页，共23页2.2.2.2.波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度 对对 求求t 的偏导数的偏导数,得到得到 任何物理量任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上式，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。则这一物理量就按波的形式传播。速度速度加速度加速度现在学习的是第11
7、页，共23页例例题题 频频率率为为=12.5kHz的的平平面面余余弦弦纵纵波波沿沿细细长长的的金金属属棒棒传传播播，棒棒的的杨杨氏氏模模量量为为Y=1.9 1011N/m2，棒棒的的密密度度 =7.6 103kg/m3。如如以以棒棒上上某某点点取取为为坐坐标标原原点点，已已知知原原点点处处质质点点振振动动的的振振幅幅为为A=0.1mm，试试求求:(1)原原点点处处质质点点的的振振动动表表式式，(2)波波动动表表式式，(3)离离原原点点10cm处处质质点点的的振振动动表表式式，(4)离离原原点点20cm和和30cm两两点点处处质质点点振振动动的的相相位位差差，(5)在在原原点振动点振动0.002
8、1s时的波形。时的波形。解解 棒中的波速棒中的波速 波长波长 波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导现在学习的是第12页，共23页周期周期(1)(1)原点处质点的振动表式原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m(2)(2)波动表式波动表式式中式中x 以以m计计，t 以以s 计计。(3)(3)离原点离原点10cm处质点的振动表式处质点的振动表式 波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导现在学习的是第13页，共23页可见此点的振动相位比原点落后，相位差为可见此点的振动相位比原点落后，
9、相位差为 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。(4)(4)该两点间的距离该两点间的距离 ，相应，相应的相位差为的相位差为 (5)(5)t=0.0021s时的波形为时的波形为 式中式中x以以m计。计。波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导波动方程的推导现在学习的是第14页，共23页5-3 5-3 5-3 5-3 波的能量波的能量波的能量波的能量 能流能流能流能流 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。1.1.1.1.波的能量波的能量波的能量波的能量 考考虑
10、虑棒棒中中的的体体积积V，其其质质量量为为m(m=V)。当当波波动传播到该体积元时，将具有动能动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能和弹性势能Wp。平面简谐波平面简谐波 可以证明可以证明 现在学习的是第15页，共23页波的能量波的能量波的能量波的能量体积元的总机械能体积元的总机械能W 对单个谐振子对单个谐振子 在在波波的的传传播播过过程程中中，任任一一体体积积元元都都在在不不断断地地接接受受和和放放出出能能量量，其其值值是是时时间间的的函函数数。与与振振动动情情形形相相比比，波波动动传传播能量，振动系统并不传播能量。播能量，振动系统并不传播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介质中单位体积
11、的波动能量。介质中单位体积的波动能量。通常取能量密度在一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 现在学习的是第16页，共23页2.2.2.2.波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导位于位于x 处的体积元处的体积元ab 的动能为的动能为 现在学习的是第17页，共23页体积元体积元ab 的振速的振速波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导体积元体积元ab 的胁变的胁变 据杨氏模量定义和胡克定律据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为该积元所受弹性力为 体积元弹性势能体积元弹性势能 现在学习的是第18页，共23页由由V=Sx,，结合波动表达式，结合波
12、动表达式 最后得：最后得：若考虑平面余弦弹性横波若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的只要把上述计算中的 和和 f 分别理解为体积元的切变和切力分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量用切变模量G 代替代替杨氏模量杨氏模量Y，可得到同样的结果。，可得到同样的结果。波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导波动能量的推导现在学习的是第19页，共23页3.3.3.3.波的强度波的强度波的强度波的强度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S，在单位时间，在单位时间内通过内通过S 的能量。的能量。平均能流：平均能流：平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过
13、与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即现在学习的是第20页，共23页波的强度波的强度波的强度波的强度其中介质的特性阻抗其中介质的特性阻抗 。I 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义:若若 ，有，有 。现在学习的是第21页，共23页对于球面波，对于球面波，介质不吸收能量，介质不吸收能量时，通过两个球面的总能流相等时，通过两个球面的总能流相等球面波表达式：球面波表达式：式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。波的强度波的强度波的强度波的强度现在学习的是第22页，共23页 例题例题 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为，液体的密度为1g/cm3，声速为，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的，求这时液体质点振动的振幅。振幅。解解 因因 ，所以，所以 可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。波的强度波的强度波的强度波的强度现在学习的是第23页，共23页