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1、引言：简谐波引言：简谐波 波源和介质中的各质点都作简谐振动的波波源和介质中的各质点都作简谐振动的波称为称为简谐波简谐波。说明说明 简谐波是理想模型，只能在各向同性、简谐波是理想模型，只能在各向同性、均匀、均匀、无限大、无限大、无吸收的连续弹性介质中传播。无吸收的连续弹性介质中传播。(2)简谐波是最简单、最基本的波动，任何复杂的简谐波是最简单、最基本的波动，任何复杂的波可看作由简谐波叠加而成。波可看作由简谐波叠加而成。9-2 9-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的概念一、平面简谐波的概念 波源作简谐振动，波动所到之处的各个质波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也作简谐
2、振动，且波面是平面的波称为点也作简谐振动，且波面是平面的波称为平面简平面简谐波谐波。说明说明平面简谐波的特点：平面简谐波的特点：参与波动的所有质点振幅都相同；参与波动的所有质点振幅都相同；各质点都作频率相同的谐振动；各质点都作频率相同的谐振动；相位以匀速直线运动沿波的传播相位以匀速直线运动沿波的传播方向传递。方向传递。波线波线波面波面x二、平面简谐波的波动方程（波函数）二、平面简谐波的波动方程（波函数）波动方程波动方程应应是这样一个方程（函数），它既可是这样一个方程（函数），它既可以描述波传到的空间中所有质元的运动状态，以描述波传到的空间中所有质元的运动状态，又能表示波的传播过程。又能表示波的
3、传播过程。1、对平面简谐波的波动方程的说明：、对平面简谐波的波动方程的说明：(2)对平面简谐波，同一波面上对平面简谐波，同一波面上各点的运动状态都相同，因各点的运动状态都相同，因此，可选一条波线来研究。此，可选一条波线来研究。(3)波动方程是介质中任一质元波动方程是介质中任一质元的振动方程的振动方程波线波线波面波面1234567892、平面简谐波的波动方程、平面简谐波的波动方程 波沿波沿x轴轴正向正向传播，波速为传播，波速为 u，原点处质点振动为，原点处质点振动为求这列波的波动方程。求这列波的波动方程。xyopx任意点任意点P 位于位于O点点右侧右侧，任意点任意点P 的振动方程为的振动方程为O
4、点点 时刻的相位时刻的相位P点点t 时刻的相位时刻的相位=分析分析设设P点振动方程为点振动方程为任意点任意点P 位于位于O点点左侧左侧，P点点t 时刻的相位时刻的相位O点点 时刻的相位时刻的相位=xyopx任意点任意点P 的振动方程为的振动方程为结论结论以波速以波速u沿沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方轴正向传播的平面简谐波的波动方程为：程为：设设P点振动方程为点振动方程为 波沿波沿x轴轴负向负向传播，波速为传播，波速为 u，原点处质点振动为，原点处质点振动为求这列波的波动方程。求这列波的波动方程。xyopx任意点任意点P点点位于位于O点点右侧右侧时，时，P点点t 时刻的相位时刻的相位任意点任
5、意点P的振动方程为的振动方程为O点点 时刻的相位时刻的相位=分析分析设设P点振动方程为点振动方程为任意点任意点P点点位于位于O点点左侧左侧，P点点t 时刻的相位时刻的相位O点点 时刻的相位时刻的相位=xyopx任意点任意点P的振动方程为的振动方程为结论结论以波速以波速u沿沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方轴负向传播的平面简谐波的波动方程为：程为：设设P点振动方程为点振动方程为 为原点处质点的振动初相。为原点处质点的振动初相。小结小结 一列沿一列沿x轴传播的平面简谐波，波速为轴传播的平面简谐波，波速为u，原点，原点处质点的振动方程为：处质点的振动方程为：说明：说明：波沿波沿x轴正向传播时，取轴正
6、向传播时，取“-”号，波沿号，波沿x轴负向传播轴负向传播时取时取“+”号；号；波速波速u始终取正值，用箭头表示其方向；始终取正值，用箭头表示其方向；波动方程还可写为多种形式，如：波动方程还可写为多种形式，如：则这列波的波动方程（波函数）为：则这列波的波动方程（波函数）为：例题1：已知一平面简谐波的波动方程为已知一平面简谐波的波动方程为求求解：方程可改写为方程可改写为对照波动方程标准形式，有对照波动方程标准形式，有波沿波沿x轴正向传播轴正向传播 波沿波沿x轴传播，波速为轴传播，波速为u，x=x0处质点振动方程为：处质点振动方程为：求这列波的波动方程。求这列波的波动方程。（举例说明）（举例说明）例
7、题2：一平面简谐波，沿一平面简谐波，沿x轴正向传播，波速轴正向传播，波速u=225m/s，P点位于点位于 x=3m 处，其振动方程为处，其振动方程为求波动方程。求波动方程。解1：用建立波动方程的方法求解用建立波动方程的方法求解pxyo3Qx在在x轴上任选一点轴上任选一点QQ点点t 时刻的相位时刻的相位P点点 时刻的相位时刻的相位=任意点任意点Q的振动方程为的振动方程为整理得波动方程为整理得波动方程为设设Q点振动方程为点振动方程为解2：xyop3先求原点处振动方程，再写出波动方程先求原点处振动方程，再写出波动方程O点点t 时刻的相位时刻的相位P点点 时刻的相位时刻的相位=原点原点O的振动方程为的
8、振动方程为整理得整理得波动方程为波动方程为可设原点振动方程为可设原点振动方程为解3：xyop3根据波动方程是任根据波动方程是任一质点的振动方程一质点的振动方程这一物理意义来求这一物理意义来求解。解。在在P点，点，x=3，则，则P点的振动方程为点的振动方程为设原点设原点O的初相位为的初相位为 ，则波动方程为，则波动方程为比照已知的比照已知的P点振动方程点振动方程波动方程为波动方程为三、波动方程的物理意义三、波动方程的物理意义波动方程波动方程1、当当x=x1=常数常数说明说明表示表示 x=x1 处质元的振动方程。处质元的振动方程。x1 处质点的振动初相为处质点的振动初相为 x1 相位比原点处相位落
9、后相位比原点处相位落后 ，且，且 x1 越大，相位越大，相位落后越多，故传播方向上各质点的相位依次落落后越多，故传播方向上各质点的相位依次落后。后。这就是波动的基本特征。这就是波动的基本特征。表示介质中各质点在表示介质中各质点在 t1时刻偏离平衡位置的位移分布时刻偏离平衡位置的位移分布2、当当t=t1=常数常数表示介质中各质点在表示介质中各质点在 t1时刻偏离平衡位置的位移分布时刻偏离平衡位置的位移分布2、当当t=t1=常数常数-波形方程波形方程波形曲线（波形图）波形曲线（波形图）t=t1xyo注意区分质点的振动速度与波的传播速度。注意区分质点的振动速度与波的传播速度。表示介质中各质点在表示介
10、质中各质点在 t1时刻偏离平衡位置的位移分布时刻偏离平衡位置的位移分布2、当当t=t1=常数常数-波形方程波形方程讨论讨论1：波线上任意两点间的相位差：波线上任意两点间的相位差-波程差波程差即相差一个波长整数倍距离的质点振动状态完全即相差一个波长整数倍距离的质点振动状态完全相同，相同，说明波长是波在空间上的周期性标志说明波长是波在空间上的周期性标志。x1的相位的相位x2的相位的相位相位差相位差结论结论x1、x2两点的相位差为两点的相位差为xyox1x2则则 若若 （n=0，1，2，）讨论讨论2：同一质点在不同时刻的振动相位差同一质点在不同时刻的振动相位差即质点在经过周期整数倍的时间后振动状即质
11、点在经过周期整数倍的时间后振动状态完全相同，态完全相同，说明说明T 是波在时间上的周期性是波在时间上的周期性的标志的标志若若 则则 （n=0，1，2，）结论结论 同一质点在同一质点在t 时间的相位差为时间的相位差为3 3、当当x,t 均变化均变化描写不同位置质点在不同时刻偏离平衡位置的位描写不同位置质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，即体现了各个不同时刻的波形。移，即体现了各个不同时刻的波形。4、当、当x=x1，t=t1都是常数都是常数=y1=常数常数表示表示 t1时刻，时刻，x1点偏离平衡位置的位移点偏离平衡位置的位移讨论：讨论：波向前传播过程中波形是否发生变化？波向前传播过程中波形是否发生变
12、化？考察考察 t2=t1+t 时刻，时刻，x2=x1+x=x1+u t 处质点的位移处质点的位移=y1波形无畸变地朝前推进，波形无畸变地朝前推进，在在 t 时间内整个波形时间内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离沿波的传播方向平移了一段距离 x=u t，这种，这种波也称为波也称为行波行波。结论结论t1t2=t1+tx1y1yx2u x=u t x.平面简谐波沿平面简谐波沿 ox 轴正向传播，轴正向传播，u=5m/s，已，已知坐标原点的振动曲线如图。求：知坐标原点的振动曲线如图。求：点的振动点的振动方程；方程；x=5/4 处质点的振动方程，处质点的振动方程，t=3s 时其波形曲线。时其波形曲线。
13、解：例题3：由图知由图知振动方程振动方程其其振动曲线图示振动曲线图示给定给定 ，得振动方程，得振动方程u=5m/s波动方程波动方程给定时间给定时间 ，得波形方程，得波形方程波形曲线如图所示波形曲线如图所示0.20mD 已知已知 T=2s，t=1/3 s 时的波形如图时的波形如图(右行右行)，求波函数、求波函数、D点的振动方程。点的振动方程。解：例题5：由图和已知条件由图和已知条件设波函数为设波函数为110.20mD 已知已知 T=2s，t=1/3 s 时的波形如图时的波形如图(右行右行)，求波函数、求波函数、D点的振动方程。点的振动方程。?0.20mD1 已知已知 T=2s，t=1/3 s 时的波形如图时的波形如图(右行右行)，求波函数、求波函数、D点的振动方程。点的振动方程。