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1、平面简谐波波动方程第一页，讲稿共二十三页哦1.1.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正轴的正方向传播，波速为方向传播，波速为u。取任意一条波线为。取任意一条波线为x 轴，取轴，取O 作为作为x 轴的原点。轴的原点。O点处质点的振动表式为点处质点的振动表式为)cos()(00tAtyOxyuxP第二页，讲稿共二十三页哦平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 考察波线上任意点考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于点振动的相位将落后于O点。若点。若振动从振动从O 传到传到P所需的时间为所需的时间为t
2、，在时刻在时刻t，P点处质点的位移点处质点的位移就是就是O 点处质点在点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，时刻的位移，从相位来说，P 点将落后点将落后于于O点，其相位差为点，其相位差为 t。P点处质点在时刻点处质点在时刻t 的位移为：的位移为：0cos)(ttAtyPxOyuxP第三页，讲稿共二十三页哦0cos)(uxtAtyP因因uxt 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的轴方向前进的平面简谐波的波动方程波动方程。利用关系式利用关系式 和和 ，得，得22TuT02cos),(xTtA
3、txy02cos),(xtAtxy)cos(),(0 xktAtxy2k其中其中平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第四页，讲稿共二十三页哦波动表式的意义：波动表式的意义：上式代表上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作简作简谐运动。谐运动。12cosxtAy即即x 一定一定。令。令x=x1，则质点位移，则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。tyOAt 一定一定。令。令t=t1，则质点位移，则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第五页，讲稿共二十三页哦xtAy2cos1即即 以以y为纵坐标、为纵坐
4、标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，它是为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线波形曲线(波形图波形图)。xyAu平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第六页，讲稿共二十三页哦沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：xxx221212x、t 都变化都变化。实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线：虚线：t2 时刻波形时刻波形xyux=u t波的传播波的传播平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第七页，讲稿共二十三页哦当当t=t1时时，01co
5、suxtAy当当t=t1+t时，时，01cosuxttAy 在在t1和和t1+t时刻时刻，对应的位移用对应的位移用x(1)和和x(2)表示，则表示，则 0)1(1)(cos1uxtAyt0)2(1)(cos1uxttAytt平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第八页，讲稿共二十三页哦 令令x(2)=x(1)+ut，得得0)1(1)(cos1utuxttAytt)(0)1(11costyuxtA 在在t 时间内时间内,整个波形向波的传播方向移动了整个波形向波的传播方向移动了x=x(2)-x(1)=ut，波速，波速u 是整个波形向前传播的速度。是整个波形向前传播的速度。波速波速u 有时也称有时
6、也称相速度相速度。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第九页，讲稿共二十三页哦 沿沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：y x ouxP00costAyP 点的运动方程为点的运动方程为：00)(cos)cos(uxtAtAy平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式第十页，讲稿共二十三页哦2.2.波动过程中质点的振动速度和加速度波动过程中质点的振动速度和加速度0cosuxtAy 对对 求求t 的偏导数的偏导数,得到得到,cos0222uxtAty 任何物理量任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上式，若它与时间、坐标间的
7、关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。，则这一物理量就按波的形式传播。0sin,yxAttu 速度速度加速度加速度第十一页，讲稿共二十三页哦例题例题 频率为频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为量为Y=1.9 1011N/m2，棒的密度，棒的密度 =7.6 103kg/m3。如以棒上某点取。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A=0.1mm，试求，试求:(1)原点原点处质点的振动表式，处质点的振动表式，(2)波动表式，波动表式，(3)离原点离原点10cm处质点
8、的振动表式处质点的振动表式，(4)离原点离原点20cm和和30cm两点处质点振动的相位差，两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动在原点振动0.0021s时的波形。时的波形。解解 棒中的波速棒中的波速 m/s100.5mkg106.7mN109.1333211Yu波长波长 m40.0s105.12sm100.51313vu波动方程的推导波动方程的推导第十二页，讲稿共二十三页哦周期周期s10815vT(1)(1)原点处质点的振动表式原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m(2)(2)波动表式波动表式式中式中x 以以
9、m计计，t 以以s 计计。uxtAycosm1051025cos101.0333xt(3)(3)离原点离原点10cm处质点的振动表式处质点的振动表式 m10511025cos01.0433ty波动方程的推导波动方程的推导第十三页，讲稿共二十三页哦m21025cos101.033ty可见此点的振动相位比原点落后，相位差为可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，或，或落后落后 ，即，即210-5s。24T4m10.0cm10 x(4)(4)该两点间的距离该两点间的距离 ，相应，相应的相位差为的相位差为 2(5)(5)t=0.0021s时的波形为时的波形为 m1050021.01025cos101
10、.0333xym5sin101.03x式中式中x以以m计。计。波动方程的推导波动方程的推导第十四页，讲稿共二十三页哦5-3 5-3 波的能量波的能量 能流能流 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。1.1.波的能量波的能量 考虑棒中的体积考虑棒中的体积V，其质量为其质量为m(m=V)。当波当波动传播到该体积元时，将具有动能动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能和弹性势能Wp。uxtAtxycos),(平面简谐波平面简谐波 uxtVAWWpk222sin)(
11、21可以证明可以证明 第十五页，讲稿共二十三页哦波的能量波的能量体积元的总机械能体积元的总机械能W uxtVAWWWpk222sin)(对单个谐振子对单个谐振子pkWW 在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和放出在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。量，振动系统并不传播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介质中单位体积的波动能量。介质中单位体积的波动能量。wuxtAVWw222sin通常取能量密度在一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 w2
12、22Aw 第十六页，讲稿共二十三页哦2.2.波动能量的推导波动能量的推导位于位于x 处的体积元处的体积元ab 的动能为的动能为 22)(21)(21vVvmWkOxabxxxOx a byyy第十七页，讲稿共二十三页哦体积元体积元ab 的振速的振速波动能量的推导波动能量的推导uxtAtyvsinuxtAVWk222sin)(21体积元体积元ab 的胁变的胁变xy 据杨氏模量定义和胡克定律据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为该积元所受弹性力为 ykxyYSf体积元弹性势能体积元弹性势能 22221)(21)(21xyxYSyXYSykWp第十八页，讲稿共二十三页哦由由V=Sx,，结合波动
13、表达式，结合波动表达式 Yu uxtuAxysin最后得：最后得：uxtAVuxtuAVpuWp22222222sin)(21sin)(21若考虑平面余弦弹性横波若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的只要把上述计算中的 和和 f 分别理解为体积元的切变和切力分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量用切变模量G 代替代替杨氏模量杨氏模量Y，可得到同样的结果。，可得到同样的结果。xy 波动能量的推导波动能量的推导第十九页，讲稿共二十三页哦3.3.波的强度波的强度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S，在单位时间内，在单位时间内通过通过S 的能量。的能量。uSu
14、wSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流：平均能流：2221AuSSuwP平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即222222AzAuuwI第二十页，讲稿共二十三页哦波的强度波的强度其中介质的特性阻抗其中介质的特性阻抗 。uzI 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义:)(cosuxtAyuS1AS2AuSAuSwP2211121uSAuSwP2222221若若 ，有，有 。21PP 21AA
15、 第二十一页，讲稿共二十三页哦2222221221421421ruAruA对于球面波，对于球面波，介质不吸收能量，介质不吸收能量2114 rS2224 rS时，通过两个球面的总能流相等时，通过两个球面的总能流相等1221rrAA球面波表达式：球面波表达式：)(cosurtra式中式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。为波在离原点单位距离处振幅的数值。波的强度波的强度第二十二页，讲稿共二十三页哦 例题例题 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为，液体的密度为1g/cm3，声速为，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的振，求这时液体质点振动的振幅。幅。解解 因因 ，所以，所以 222uAI m1027.1m105.1101101202105212153375puIA可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。波的强度波的强度第二十三页，讲稿共二十三页哦