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1、-第 1 页人教版高中数学选人教版高中数学选修修1-1 教学案讲义与课后教学案讲义与课后作业作业-导数的计算导数的计算-第 2 页人教版高中数学选修人教版高中数学选修 1-11-1 教学讲义教学讲义年年级级：上上 课课 次次 数数：学学 员员 姓姓 名名：辅辅 导导 科科 目目：数学：数学学学 科科 教教 师师：课课题题导数的计算课课型型 预习课 同步课 复习课 习题课授课日期及时段授课日期及时段教教学学内内容容导数的计算导数的计算【学习目标】【学习目标】1 知识与技能（1）了解求基本初等函数导函数的基本方法和步骤，掌握计算一般函数=()y f x在0 x处导数的步骤（2）熟练记忆 8 个基本
2、初等函数的导数公式，并能应用公式求简单函数的导数（3）了解两个函数的和、差、积、商的求导公式，会运用上述公式，求含有和差积商综合运算的函数的导数（4）了解函数的复合过程，并能求复合函数的导数2 过程与方法（1）通过求运动物体在某一时刻的速度，抽象概括出计算函数=()y f x在0=x x处的导数的步骤的过程以及由函数=()y f x在0 x处导数与所给区间上导函数的过程，体会由特殊到一般的数学研究方法，领会它们之间的联系与不同，体会算法思想在求导过程中的渗透（2）经历由两个函数的和差积商的运算法则的求导过程，培养推理、演绎、归纳、抽象的数学思维形式；并通过对基本初等函数间进行四则运算和复合后所
3、得函数求导数，培养学生的运算能力3 情感、态度与价值观在本节的学习中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑的关系；提高对导数重要性的认识，利用导数解决与切线的有关问题，体会导数在解决问题中的强大作用【要点梳理】【要点梳理】-第 3 页要点一：要点一：基本初等函数的导数基本初等函数的导数基本初等函数基本初等函数导数导数特别地特别地常数函数yc c为常数0y 0，=0e幂函数nyxn为有理数1nyn x211xx，12xx指数函数xyalnxyaaxxee对数函数logayx1lnyxa1lnxx正弦函数sinyxcosyx2sin1tan=coscosxxxx2cos1cot=si
4、nsinxxxx余弦函数cosyxsinyx 要点诠释：要点诠释：1常数函数的导数为 0，即 c=0（c为常数）其几何意义是曲线()f xc（c为常数）在任意点处的切线平行于x轴2有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n1）次幂的乘积，即1()nnxnxnQ3在数学中，“ln”表示以e e=2.71828为底数的对数；“lg”表示以 10 为底的常用对数4基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可要点二：和、差、积、商的导数要点二：和、差、积、商的导数要点诠释：要点诠释：-第 4 页1 上述法则也可以简记为：（）和（或差）的导数：()uvuv，推广：1212()nnuuuuuu（）
5、积的导数：()u vu vuv，特别地：()cucu（c 为常数）（）商的导数：2(0)uu vuvvvv，两函数商的求导法则的特例2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xgx，当()1f x 时，2211()1()()()0)()()()g xg xg xg xg xgxgx 这是一个函数倒数的求导法则2两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()uvu vuv，2uu vuvvv（v0），注意差异，加以区分（2）注意：uuvv且2uu vuvvv（v0）3求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形
6、将函数化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量例如，要对函数221yxx求导，可先因式分解将该函数化为3-3+2yxx，再利用加法和减法法则求导要点三：复合函数的导数要点三：复合函数的导数1复合函数的概念复合函数的概念对于函数()yfx，令()ux，则()yf u是中间变量u的函数，()ux是自变量x的函数，则函数()yfx是自变量 x 的复合函数例如，函数=ln sinyx是由=lnyu和=sinux复合而成的要点诠释：要点诠释：常把()ux称为“内层”，()yf u称为“外层”2复合函数的导数复合函数的导数-第 5 页设函数()ux在点x处可导，()x
7、ux，函数()yf u在点x的对应点u处也可导()uyfu，则复合函数()yfx在点x处可导，并且xuxyyu，或写作 ()()()xfxfux3复合函数求导一般步骤复合函数求导一般步骤（1）分层：将复合函数()yfx分出内层、外层（2）各层求导：对内层()ux，外层()yf u分别求导得到(),()xfu（3）求积并回代：求出两导数的积：()()fux，然后将()ux用替换，即可得到()yfx的导数要点诠释：要点诠释：1 整个过程可简记为：分层求导回代，熟练以后，可以省略中间过程若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量2 选择中间变量是复合函数求导的关键求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏
8、求导后，要把中间变量转换成自变量的函数【典型例题】【典型例题】类型一：类型一：导数的计算导数的计算例例 1 求下列各函数的导数：（1）3521+2logyxx；（2）531yxx；（3）2()(1)(23)f xxx；（4）1ln=1lnxyx【思路点拨】先将各函数写出初等函数的和、差、积、商的形式，再利用求导法则展开，最后代入各初等函数的导数值【解析】（1）27553352122+2 log+2 log+5ln3yxxxxxx（2）32552131=+5yxxxx（3）法一：法一：去掉括号后求导232()=(1)(23)=2323f xxxxxx，-第 6 页322()2 3 2=3662f
9、xxxxxx法二：法二：利用两个函数乘积的求导法则22()(1)(23)(1)(23)fxxxxx22 2(23)12662.xxxxx（4）21ln1ln1ln1ln=1lnxxxxyx211(1ln)(1ln)=(1ln)xxxxx22=(1ln)xx【总结升华】（1）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简；（2）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心（3）如果遇到求多个积的导数，可以逐层分组进行；举一反三：举一反三：【变式 1】求下列函数的导数：（1）322354yxxx；（2）2(23)(32)yxx；（3）233xyx；（4）()tanf xx【答案】（1
10、）32322(2354)(2)(3)(5)4665yxxxxxxxx（2）法一：直接求导（利用乘法法则）：22(23)(32)+(23)(32)yxxxx2=4(32)3(23)xxx21889xx法二：展开后求导（利用加法和减法法则）：232(23)(32)6496yxxxxx，-第 7 页32322(6496)(6)(4)(9)61889yxxxxxxxx；（3）2222222222(3)(3)(3)(3)(3)(3)263(3)(3)(3)xxxxxxxxxyxxx（4）222sin(sin)cossin(cos)coscossin(sin)1()()cos(cos)coscosxxxx
11、xxxxxfxxxxx【变式 2】求下列函数的导数：（1）12sincosyxxxx；（2）42logaxyx；（3）1111yxx；（4）=sin lny xxx【答案】（1）1(2sin)cosyxxxx12211sin2coscos(sin)xxxxxxxx 111222()sin(2)cosxxxxxx（2）4324(2log)ln(2log)aaxxxxayx333284logln(2log)aaxxxxax32184loglg(2log)aaxaxx（3）112111yxxx，222(1)2(1)(1)xyxx（4）=sinlnsinlnyxxxxxx=sin+sin lnsinx
12、x xxxx=sincoslnsinxxxxx例例 2求下列复合函数的导数：（1）=ln 8yx；（2）2+1=5exy；-第 8 页（3）=sin2cos2.yxx【思路点拨】利用复合函数的求导步骤，按照分层求导回代的顺序逐步进行【解析】（1）第一步：分层：令8ux，则lnyu第二步：求导：8xu，1uyu第三步：回代：111=888uxyyuuxx （2）第一步：分层：设5e21uyux，第二步：求导：5e2uuxyu，第三步：回代：=uxyyu2110e=10eux（3）法一：(sin2cos2)sin2cos22cos22sin22 2yxxxxxxsin(2)4x法二：2ysin(2
13、)4x)，2ycos(2)4x222 sin(2)4x【思路点拨】（1）复合函数求导的本质是逐层求导，在求导的过程中把一部分量或式子暂时当作一个整体，即中间变量，求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数（2）通过恒等变换，将复合函数化简为初等函数和、差、积、商的形式，再通过四则运算求导法则计算导数，从而简化步骤，减少失误比如，本题第（1）题的另一解法：因为2+12=5e=5eexxy，所以2222+1=5ee5eelne10exxxy（3）在熟悉复合函数的求导步骤后，可省略中间步骤，如第（2）题，可写成如下形式：2510=5 log(2+1)=(21)=(21)ln2(21)ln2yxxxx举
14、一反三：举一反三：【变式 1】求下列函数导数（1）ln(2)yx；-第 9 页（2）21exy；（3）2cos(21)yx；（4）22cossinxyxsin0 x）【答案】（1）令lnyu，2ux，(ln)(2)xuxyyuux1112ux（2）令euy，21ux，(e)(21)uxuxyyux212e2eux（3）令cosyu，221ux，2(cos)(21)xuxyyuux24 sin4 sin(21)xuxx （4）方法一：222226coscos2cos(cos)sincos(sin)2sinsinsinsinxxxxxxxyxxxx323352cos(sin2cossin)2cos
15、4cossin6sinsinxxxxxxxxx 方法二：24cossinxyx，24248(cos)sincos(sin)sinxxxxyx42338352cos(sin)sincos4sincos2cos4cossinsinsinxxxxxxxxxxx【变式 2】求下列函数导数：（1）2cos(2)3yx；（2）()(cossin)xf xexx；-第 10 页（3）2ln1yxx【答案】（1）设2y，cosv，32xv，则2sin2xVxyyvv 2cos(2)sin(2)23322sin(4)3xxx 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：2cos(2)2cos(2)cos(2)3
16、33yxxx2cos(2)sin(2)(2)33322sin(4)3xxxx （2）()()(cossin)(cossin)xxfxexxxexx(cossin)(sincos)xxexxexx(sincoscossin)xexxxx(2sin)xex2sinxex（3）221(1)1yxxxx=221(1)11xxxx211x【变式 3】函数2(1)(1)yxx在1x 处的导数等于()A1B2C3D4【答案】D-第 11 页法一：法一：22(1)(1)(1)(1)yxxxx222(1)(1)(1)321xxxxx=1|4xy法二：法二：22(1)(1)(1)(1)yxxxx321xxx322
17、()()1321yxxxxx=1|4xy类型二：曲线的切线问题类型二：曲线的切线问题例例 3 曲线12xye在点2(4,)e处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A292eB24eC22eD2e【思路点拨】通过求导，求出切线斜率，进而得到切线方程，再求切线方程与坐标轴的交点，即可求出三角形的面积【答案】D【解析】12211()()()ln()22xxxxxyeeeeee，曲线在点2(4,)e处的切线斜率为2412x=y=e，所以切线方程为221(4)2yeex，令0 x 得2ye；令0y 得2x，所以22122See【总结升华】本题考查导数的知识以及切线方程的求法，关键是求切线的斜率，而1
18、2xye的导数采用将解析式利用指数幂运算法则变形为12()()xxyee，从而由导数公式求解举一反三：举一反三：【变式】已知直线ykx是曲线lnyx的切线，则 k 的值为（）A eBeC1eD1e-第 12 页【答案】C【解析】设切点00(,)P xy，lnyx的导数为1(ln)yxx，001,x xykx显然0010,xxk，代入ykx中得01y，再代入lnyx中得0ln1x，0011,xekxe，故选 C类型三：类型三：利用导数求解析式中的参数利用导数求解析式中的参数例例 4 设函数()bf xaxx，曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为74120 xy，（1）求()f x的解
19、析式；（2）证明：曲线()yf x上任一点处的切线与直线0 x 和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值【解析】（1）方程74120 xy可化为734yx，当2x 时，12y，又2()bfxax，故7(2)44bfa，所以12,227.44baba，解得1,3.ab故3().f xxx（2）证明：设点00(,)P xy为曲线上任一点由23()1fxx 知，曲线()yf x在点00(,)P xy处的切线方程为：00203(1)()yyxxx，即0020033()(1)()yxxxxx，令0 x 得06yx，从而得切线与直线0 x 的交点坐标为06(0,)x令yx得02yxx，从而得切线与直
20、线yx的交点坐标为00(2,2)xx，-第 13 页所以点00(,)P xy处的切线与直线0 x、yx所围成的三角形面积为0016262xx 故曲线()yf x上任一点处的切线与直线0 x 和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6【总结升华】本题主要考查导数的几何意义，导数的运算法则以及方程思想举一反三：举一反三：【变式 1】若函数 42f xaxbxc满足 12f，则(1)f （）A1B2C2D0【答案】B【解析】由题意知 342fxaxbx，若 12f，即 1422fab ，故(1)422fab 【变式 2】已知()f x是关于x的多项式函数（1）若2()2(1)f xxxf，求(0
21、)f；（2）若2()36fxxx且(0)4f，解不等式()0f x【答案】（1）显然(1)f 是一个常数，所以()22(1)fxxf，所以(1)2 12(1)ff ，即(1)2f，所以(0)2 02(1)4ff （2）2()36fxxx，可设32()3f xxxc，(0)4fc322()34(1)(2)f xxxxx，由()0f x，解得|12x xx 且课课后后作作业业-第 14 页年年级级：上上 课课 次次 数数：作业上交时间：作业上交时间：学学 员员 姓姓 名名：辅辅 导导 科科 目目：数学数学学学 科科 教教 师：师：作业内容作业内容作业得分作业得分作作业业内内容容【巩固练习】【巩固练
22、习】一、选择题一、选择题1下列运算中正确的是（）A22()()()axbxca xb xB22(sin2)(sin)2()xxxxC222sin(sin)()()xxxxx D(cossin)(sin)cos(cos)cosxxxxxx2质点做直线运动的方程是4st（位移单位：m 时间单位：s），则质点在 t=3 时的速度是（）A41m/s4 3B31m/s4 3C31m/s2 3D431m/s3 43下列结论：若 y=cos x，则sinyx；若1yx，则12yx x；若21yx，则=32|27xy 中，正确的个数为（）A0B1C2D34已知曲线2ln(0)4xyx x的一条切线的斜率为12
23、，则切点的横坐标为（）A3B2C1D125函数4538yxx的导数是（）A3543x B3425(43)(38)xxxC0D3425(43)(38)xxx6 已知函数1)(2axxf且 12f，则实数a的值为（）-第 15 页A=1aB=2aC2aD0a 7设曲线1(1)1xyxx在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（）A2B12C12D2二、填空题二、填空题831sinxx_，2 sin 25xx_9曲线sinyx在点,12处的切线方程为_10在曲线y24x上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135，则P点坐标为_11 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线
24、3103Cyx x：上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为 2，则点P的坐标为_三、解答题三、解答题12求函数的导数（1）1111yxx（2）tanyxx；（3）42logaxyx13已知()cosf xx，()g xx，求适合()()0fxg x的x的值-第 16 页14 求曲线22)3(1xxy在点)161,1(处的切线方程15有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 2525-9ss tt，求函数在7s15t时的导数，并解释它的实际意义【答案与解析】【答案与解析】1【答案】A【解析】由求导的四则运算法则可以判断2【答
25、案】A【解析】144stt，则3414st，当 t=3 时，343411344 3s-第 17 页3【答案】D【解析】正确4【答案】D【解析】由12111xyxx，求导得22(1)yx，所以切线斜率31|2xky，则直线 ax+y+1=0 的斜率为 2，所以a=2，即 a=25【答案】D【解析】4538yxx，则3425(43)(38)xyxx 6【答案】B【解析】222()211axaxfxaxax，(1)21afa，所以 a=2 7【答案】D【解析】由12111xyxx，求导得22(1)yx，所以切线斜率31|2xky，则直线 ax+y+1=0 的斜率为 2，所以a=2，即 a=28【答案
26、】2323sin(1)cossinxxxxx，2sin(25)4 cos(25)xxx【解析】323213sin(1)cossinsinxxxxxxx；2 sin 252sin(25)4 cos(25)xxxxx；9【答案】y=1【解析】(sin)cosxx，2|0 xky，从而切线方程为 y=110【答案】(2，1)【解析】设P(x0，y0)，y24()x(4x2)8x3，tan1351830 x-第 18 页x02，y0111【答案】（2，15）【解析】2310yx，令224yx，P 在第二象限x=2P（2，15）12【解析】（1）112111yxxx，222(1)2(1)(1)xyxx（2）sin()tan(tan)tancosxyxxxxxxx2222cossintantan(cos0)coscosxxxxxxxxx（3）4324(2log)ln(2log)aaxxxxayx333284logln(2log)aaxxxxax32184loglg(2log)aaxaxx13【解析】()sinfxx，()1g x，则sin10 x，sin1x，即sin1x 2()2xkkZ14【解析】22)3(xxy，则32)3(232xxxy325452|31xy切线方程为)1(325161xy即53270 xy15【解析】-第 19 页