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1、 第 1 页 共 19 页 人教版高中数学选修 1-1 教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 导数的概念及几何意义【学习目标】1知识与技能（1）理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的实际意义（2）通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会求一些简单的初等函数在某点的切线方程 2过程与方法 经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线
2、的理解和认识 3情感、态度与价值观 领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识【要点梳理】要点一：导数的概念 1 导数的概念 设函数=()y f x，当自变量x从0 x变1x时，函数值从 0fx变到 1fx，函数值关于x的平均变化率为 100010=f xf xf xxf xyxxxx，当1x趋于0 x，即x趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么 这 个 值 就 是 函 数=()y f x在0 x点 的 导 数，通 常 用 符 号 0fx表 示，记 作 xxfxxfxyxfxx0
3、0000limlim 第 2 页 共 19 页 要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义如位移运动中，位移S从时间1t到2t的平均变化率即为1t到2t这段时间的平均速度（3）增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于 00 x 的意义：x与 0 之间距离要多近有多近，即|0|x 可以小于给定的任意小的正数（4）0 x 时，y 在变化中都趋于 0，但它们的比值却趋于一个确定的常数即存在一个常数与00()()f xxf xyxx无限接近（5）函数=()y f x在0 x
4、点的导数还可以用符号0|x xy表示 要点二：导数的几何意义 已知点00(,)P xy是曲线=()y f x上一定点，点00(,)Q xx yy是曲线=()y f x上的动点，我们知道平均变化率yx表示割线PQ的斜率如图所示：当点Q无限接近于点P，即0 x 时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线也就是：当0 x 时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率即：0000()()limlim()xxf xxf xykfxxx 要点诠释：0fx表示曲线=()y f x在0 xx处的切线的斜率，即 0=tanfx（为切线的倾斜角）第 3 页 共 19 页（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位
5、置有关（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：曲线在点P处的切线：点P在曲线上，在点P处作曲线的切线（P是切点），此时数量唯一如图 1 曲线经过点P处的切线：点P位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P即可），数量不唯一如图 2，无论点P在曲线上还是曲线外，过点P都可以作两条直线1l、2l与曲线相切 （3）直线与曲线相切直线和曲线有 1 个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l2与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线l2与曲线C相切；而直线l1 第 4 页 共 19 页 尽管与曲线C相切，却有不止一个公共点 这也是我们用割线的
6、极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因 要点三：导数的物理意义 在物理学中，如图物体运动的规律是=s s t，那么该物体在时刻0t的瞬时速度v就是=s s t在0=t t时的导数，即 0=v s t；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv t，那么物体在时刻0t的瞬时加速度a就是 vv t在0=t t时的导数，即 0av t 要点诠释：0()fx表示函数()f x在0 x处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的比如，瞬时角速度是角度 t对时间t的变化率；瞬时电流是电量 Q t对时间t的变化率；瞬时功率是功 W t对时间t的变化率；瞬时电动势是磁
7、通量 t对时间t的变化率最常用的是瞬时速度与瞬时加速度【典型例题】类型一：导数定义的应用 例 1 用导数的定义，求函数1()yf xx在 x=1 处的导数【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值【解析】先求增量：1(1)(1)11yfxfx 111 11(11)1xxxxx (11)1xxx 再求平均变化率：1(11)1yxxx 求极限，得导数：01(1)lim2xyfx 【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：第 5 页 共 19 页（1）求函数的增量：00()()yf xxf x；（2）求平均变化率：00()()f xxf xyxx；（3）求极限，得导数：0
8、0000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 举一反三：【变式 1】已知函数 2=f xxx的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB，则xy ，1=f 【解析】)1()1(22xxy，2(1)(1)23yxxxxx ，1=f00(1)limlim 3=3xxyfxx 【变式 2】求函数 2()3f xx在 x=1 处的导数【解析】22(1)(1)3(1)363()yfxfxxx ，263()63yxxxxx ，0lim(63)6xx ，即(1)6f 函数2()3f xx在1x 处的导数为 6 【变式 3】求函数 2f xxx 在1x 附近的平均变化率，并求出在该点处
9、的导数【解析】2200()()(1)(1)23()yf xxf xxxxx ，23()3yxxxxx ，00(1)limlim(3)3xxyfxx 例 2 已知函数 24f xx，求()fx【解析】先求增量：2222444(2)()()xxxyxxxxxx ，第 6 页 共 19 页 再求平均变化率：224(2)()yxxxxxx 求极限，得导数：23004(2)8limlim()xxyxxyxxxxx 【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导 举一反三：【变式 1】求函数1yx在(0,)内的导函数【解析】11xxxyxxxxxx ，()()()yxxxxxxxxxxxxxx
10、xxxxxxx ()xxxxxxxx 1()xxxxxx 320111lim2()2xyxxxxxxxxx 【变式 2】已知()2f xx，求()fx，(2)f【解析】22yxxx ，所以 22yxxxxx (2)(2)(22)122xxxxxxxxxx 011()lim=2222xfxyxxxx 当2x 时，11(2)42 22f 例 3 若0()2fx，则000()()lim2kf xkf xk_ 第 7 页 共 19 页【思路点拨】【解析】根据导数定义：0000()()()limkf xkf xfxk（这时增量xk），所以000()()lim2kf xkf xk 000()()1lim2
11、kf xkf xk 000()()1lim21221.kf xkf xk 【思路点拨】（1）有一种错误的解法：根据导数的定义：0000()()()limkf xkf xfxk（这时增量xk），所以 000000()()()()11limlim21222kkf xkf xf xkf xkk（2）在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择与之相对应的形式利用函数()f x在0 xx处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题 举一反三：【变式 1】函数)
12、(xf满足2)1(f，则当x无限趋近于 0 时，（1）xfxf2)1()1(；（2）xfxf)1()21(【答案】（1）00(1)(1)1(1)(1)1limlim(1)1222xxfxffxffxx 第 8 页 共 19 页 （2）00(12)(1)(12)(1)lim2lim2(1)42xxfxffxffxx【变式 2】若0()fxa（1）求 xxfxxfx000lim的值；（2）求000()()limxf xxf xxx 的值【答案】00000000000000000()()lim()()lim()()lim21 lim2lim1()2()22()2xxxxxf xxf xxxf xxf
13、 xxf xxf xxxf xxf xxf xxf xxxxfxafxa 【变式 3】设函数()f x在点 x0处可导，则000()()lim2hf xhf xhh_【答案】原式0000()()()()lim2hf xhf xf xf xhh 000000()()()()1limlim2hhf xhf xf xhf xhh 0000()()1()lim2hf xhf xfxh 0001()()()2fxfxfx 类型二：求曲线的切线方程 例 4求曲线21yx在点1 2P，处的切线方程【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点 P（1，2）处的切线的斜率等于函数21yx在1x 处的导数值，再利用直
14、线的点斜式方程写出切线方程【解析】先求切线的斜率 1f：第 9 页 共 19 页 22001+111limlimxxxyxx 0lim+2=2xx，由条件可知 1=2f，由点斜式可得，过点P的切线方程为：22(1)yx，即2yx 【总结升华】求曲线 yf x在0 xx处切线的步骤：（1）先求 0 fx，即曲线 yf x在)(00 xfxP，处切线的斜率（2）再求 0f x，则切线过点 00 xf x，；（2）最后由点斜式写出直线方程：000=()()yf xfxxx 特别的，如果 yf x在点00()xf x，处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0 xx 举一反三
15、：【变式】求曲线215yxx上一点2x 处的切线方程【答案】先求2|xy：22211(2)2+4222(2)xyxxxxx ，142(2)yxxx，001115limlim(4)4=2(2)44xxyyxxx 再求2|xy：22119|=25=22xy 由点斜式得切线方程：915-224yx，即15480 xy 例 5求曲线 3f xx经过点(1,1)P的切线方程【思路点拨】本题要分点(1,1)P是切点和(1,1)P不是切点两类进行求解 第 10 页 共 19 页【解析】第一步：先求导函数 00()()limlimxxf xxf xxyyx 3303223302202()lim3+3+=lim
16、=lim 3+3+3=3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 第二步：验证点(1,1)P是否在曲线上 由于 11f，所以P在曲线上 第三步：分类讨论 若点P是切点，则切线的斜率为 13f，于是切线方程为13(1)yx，即32yx；若点P不是切点，设切点为3000,1x xx 则切线的斜率为 2003fxx，于是切线方程为：320003()yxxxx 由于切线经过点(1,1)P，于是有3200013(1)xxx，整理得：32322322200000000000023+1=22+1=221=21+11xxxxxxxxxxxx 2000=121xxx 200=12+1=0 xx，解得012x 或
17、01x（舍去）所以切线方程是131+(+)842yx，即3144yx 综上所述，所求切线方程为32yx或3144yx【思路点拨】求曲线 f x经过点00P xy，的切线方程的一般步骤：（1）求导函数 fx；（2）验证点P是否在曲线上：计算 0f x，观察 00=f xy是否成立；（3）分类讨论：若 00=f xy，则P是切点，切线唯一，方程为 000=()()yf xfxxx：第 11 页 共 19 页 若 00f xy，则P不是切点，求切点：设切点坐标为 af a，则切线方程=()()yf af a xa，代入点00P xy，坐标，求出a的值（注意0ax），可得切线方程 举一反三：【变式 1
18、】已知函数3()3f xxx，过点(2,2)作函数图象的切线 求切线方程【解析】先求导函数：20()lim33xyfxxx 再验证：3(2)23 2=2f，所以点(2,2)在函数()f x图象上 最后讨论：（1）当点(2,2)是切点时，切线的斜率为(2)9f，则切线方程为：9160 xy（2）当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为3000(,3)xxx 则切线的斜率为200()33fxx（02x），所以切线方程为320000(3)=33()yxxxxx 代入点(2,2)得：3200002(3)=33(2)xxxx 整理得：0432030 xx0)2)(1(200 xx10 x，此时切线方程为2
19、y 综上所述，所求的切线方程为9160 xy或2y 【变式 2】已知曲线1yx（1）求曲线过点1 0A，的切线方程；（2）求满足斜率为13的曲线的切线方程【解析】200()()11=limlim=xxf xxf xyxx xxx （1）由于点A不在曲线上，设切点坐标为1,aa，第 12 页 共 19 页 则切线的斜率为21|=x aya，切线方程为211()yxaaa，将1 0A，代入，得12a 所以所求的切线方程为44yx （2）令2113x，解得3x 所以斜率为13的切线的切点为33,3或33,3 所以所求的切线方程为12 333yx 或12 333yx 【变式 3】设函数32()2f x
20、xaxbxa，2()32g xxx（其中xR，,a b为常数）已知曲线()yf x与()yg x在点（2，0）处有相同的切线l求,a b的值，并写出切线l的方程【答案】0(2+)(2)(2)limxfxffx 3230(2)2(2)(2)(282)=limxxaxbxaabax 20lim 1286()128xabxxab 0g(2+)g(2)g(2)limxxx 220(2)3(2)2(23 22)=limxxxx 0lim(1)1xx 由条件可知：(2)0f且(2)(2)fg2,5ab，所以切线l的方程：2yx 类型三：导数的实际应用 例 6蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 12015
21、5T tt，其中 T t为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)计算 2T，并解释它的实际意义【思路点拨】【解析】0(2)(2)2limtTtTTt 第 13 页 共 19 页 0012012015152+57=lim120=lim7 7+120=49ttttt 1202=C/min49T 表示太阳落山后 2 分钟蜥蜴的体温以120C/min49 的速度下降【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢 举一反三：【变式 1】设一个物体的运动方程是：2021)(attvts，其中0v是初速度（单位：m），t是时间（单位：s）求：2st 时的
22、瞬时速度（函数 s(t)的瞬时变化率）【解析】00()()s tts tstt 220000 000011()()2212v tta ttv tattvata t 2st 的瞬时速度是02va【变式 2】质点按规律 21s tat做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）若质点在2 st 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数a的值【答案】质点2 st 时的瞬时速度为 28s 222(2)2(2)1214()sst sataa tat ，4saa tt 0 2lim4tssat，所以48a，即a=2 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科
23、教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容 第 14 页 共 19 页【巩固练习】一、选择题 1已知函数)(xfy，下列说法错误的是（）A)()(00 xfxxfy叫函数增量 Bxxfxxfxy)()(00叫函数在xxx00,上的平均变化率 C)(xf在点0 x处的导数记为y D)(xf在点0 x处的导数记为)(0 xf 2设()4f xax，若(1)2f，则a=（）A2 B2 C3 D3 3曲线2122yx在点3(1,)2处切线的倾斜角为（）A1 B 4 C 54 D4 4已知曲线 yf(x)在 x5 处的切线方程是 yx8，则(5)f及(5)f分别为()A3，3 B3，1 C1，3 D1，
24、1 5已知函数3()f xx的切线的斜率等于 1，则其切线方程有（）A1 条 B2 条 C多于 2 条 D不确定 6在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离212Sgt其中t为经历的时间，29.8 m/sg，若 0(1)(1)limtStSVt 9.8 m/s，则下列说法正确的是（）A 01 s 时间段内的速率为9.8 m/s B 在 11+t s 时间段内的速率为9.8 m/s C 在 1 s 末的速率为9.8 m/s D若t0，则9.8 m/s是 11+t s 时段的速率；若t0，则9.8 m/s是 1+t s1 时段的速率 二、填空题 7曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线方
25、程为 3x+y+3=0，则0()fx_0（填“”“”“”“”或“”）第 15 页 共 19 页 8 如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则(0)f f=；0(1)(1)limxfxfx=9已知函数()yf x在 x=x0处的导数为 11，则000()()limxf xxf xx _ 10在曲线323610yxxx的切线中，斜率最小的切线的方程为_ 11若抛物线 y=x2x+c 上一点 P 的横坐标是2，抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点，则 c 的值为_ 三、解答题 12如果曲线 y=x2+x3 的某一条切线与直线 y
26、=3x+4 平行，求切点坐标与切线方程 13曲线24yxx 上有两点 A（4，0）、B（2，4）求：（1）割线 AB 的斜率 kAB及 AB 所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在点 C，使过 C 点的切线与 AB 所在直线平行？若存在，求出 C 点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由 14将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第 x（单位：h）时，第 16 页 共 19 页 原油温度（单位：C）为 801572xxxxf计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 15已知函数 f(x)x33x 及 yf(x)上一点 P(1，
27、2)，过点 P 作直线 l(1)求使直线 l 和 yf(x)相切且以 P 为切点的直线方程；(2)求使直线 l 和 yf(x)相切且切点异于点 P 的直线方程 yg(x)【答案与解析】1【答案】C 【解析】正确的写法应该是0|x xy 2【答案】A 【解析】00(1)(1)(1)limlim2xxfxfa xfaxx ，a=2，故选 A 3【答案】B【解析】y220011()2(2)122limlim()2xxxxxxxxx 切线的斜率1|xky1 切线的倾斜角为4，故应选 B 4【答案】B 第 17 页 共 19 页【解析】由题意易得：f(5)583，f(5)1，故应选 B 5【答案】B 【
28、解析】由定义求得 y=3x2，设切点为300(,)xx，由2031x，得033x ，即在点33,39和点33,39处有斜率为 1 的切线，故有两条 6【答案】C 【解析】0(1)(1)lim(1)tstsvst，即 s（t）在 t=1 s 时的导数值由导数的物理意义，得 98 m/s 是物体在 t=1 s 这一时刻的速率故选 C 7【答案】【解析】由题知0()fx就是切线方程的斜率，即0()3fx，故0()0fx 8【答案】2，2 【解析】由图可知：f(0)=4，f(4)=2;f(x)=-2x+4，带入可得 9【答案】11 【解析】0000()()()lim11xf xxf xfxx，0000
29、()()lim()11xf xxf xfxx 10【答案】3xy11=0 【解析】由导数的定义知 y=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3，所以 当 x=1 时，斜率有最小值为 3又因为当 x=1 时，y=14，所以切线方程为 y+14=3(x+1)，即 y=3x11 11【答案】4 【解析】y=2x1，2|5xy 又 P（2，6+c），652c，即 c=4 12【解析】切线与直线 y=3x+4 平行，切线的斜率为 3 设切点坐标为（x0，y0），则0|3x xy 又22000000()()()()33f xxf xxxxxxxyxxx 200()221xxxxxxx
30、 第 18 页 共 19 页 当 x0 时，021yxx，2x0+1=3 从而 x0=1 代入20003yxx得 y0=1 切点坐标为（1，1）切线方程为 y+1=3(x1)，即 3xy4=0 13【解析】（1）40224ABk，割线 AB 所在直线方程是 y=2(x4)，即 2x+y8=0（2）由导数定义可知 y=2x+4，2x+4=2，x=3，y=32+34=3 在曲线上存在点 C，使过 C 点的切线与 AB 所在直线平行，C 点坐标为（3，3），所求切线方程为 2x+y9=0 14【解析】在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是(2)f和(6)f 根据导数定义0(2)()fxf x
31、fxx 22(2)7(2)15(272 15)3xxxx 所以00(2)limlim(3)3xxffxx 同理可得:(6)5f 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在第2h附近，原油温度大约以3/C h的速率下降 在第6h附近，原油温度大约以5/C h的速率上升 15【解析】(1)32320()3()33()lim33xxxxxxxyfxxx 则过点 P 且以 P(1，2)为切点的直线的斜率 1(1)0kf，所求直线方程为 y2(2)设切点坐标为3000(,3)xxx，则直线 l 的斜率20()kfx2033x 第 19 页 共 19 页 直线 l 的方程为320000(3)(33)()yxxxxx 又直线 l 过点 P(1，2)，3200002(3)(33)(1),xxxx 32000032(33)(1),xxxx 解得 x01(舍去)或012x 故所求直线斜率209334kx，于是：9(2)(1)4yx ，即9144yx