人教版高中数学选修1-1教学案讲义与课后作业-导数的应用.pdf

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1、 第 1 页 共 14 页 人教版高中数学选修 1-1 教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 导数的实际应用 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 导数的实际应用【学习目标】利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.【要点梳理】要点一：最优化问题 现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题 要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤 解决最优化问题的方法很多，如

2、：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的性质等 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值 一般步骤为：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()yf x；(2)求函数的导数()fx，解方程()0fx；(3)比较函数在区间端点和使()0fx的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 要点诠释：第 2 页 共 14

3、页 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0fx的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值 要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路 要点四：最优化问题的常见类型 (1)利润最大问题；(2)用料最省、费用最低问题；(3)面积、体积最大或最小问题【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题 例 1.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分

4、别为多少时用料最省？(精确到 0.001 m)【思路点拨】本题的关键是建立关于变量 x（或 y）的函数.【解析】依题意，有1822xxyx，8(04 2)4xyxx，于是框架用料总长度为 2316222222xLxyxx 231622Lx，令0L，即2316202x，解得184 2x ，24 28x(舍去)当 0 x84 2时，0L；当84 24 2x时，0L 当 x84 2时，L 取得最小值，此时84 22.343mx，y2.828 m 第 3 页 共 14 页 即当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省 【总结升华】本问题中，由0L，得到184 2x ，24 28x

5、，由于 x 表示边框的长度，故 x0，所以舍去24 28x 解决实际问题时，切不可忽视变量的实际意义 举一反三：【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂位于离岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?【答案】依题意设 CDx，则 AC50-x(0 x50)用2240BCx，水管费2223(50)540(150351600)yaxa xaxx 2225353216001600 xxyaaxx ，令

6、0y，得25301600 xx，x30 当 0 x30 时，0y；当 30 x50 时，0y x30 时，y 取得最小值，此时，CD30 km，故 AC50-3020(km)，因此供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处时，可使水管费用最省 类型二：利润最大问题 例 2 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元辆，出厂价为 13 万元辆，年销售量为 5000辆本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价一每辆车的投 第 4 页 共

7、 14 页 入成本)年销售量 (1)若年销售量增加的比例为 0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于 x 的函数为25324023yxx，则当 x 为何值时，本年度的年利润最大?最大利润是多少？【思路分析】（1）由题设分别求出本年度每辆车的投入成本、每辆车的出厂价及年销售量，列出年利润的表达式；（2）由（1）知，每一辆汽车的利润是(3-0.9x)，结合年销售量，从而计算出本年度的年利润，建立关于变量 x 的函数.【解析】(1)由题意得：上年度的利润为(13-10)500015000(万元)；本年度每辆车的投入成本为 10(1+

8、x)；本年度每辆车的出厂价为 13(1+0.7x)；本年度年销售量为 5000(1+0.4x)，因此本年度的利润为 y13(1+0.7x)-10(1+x)5000(1+0.4x)(3-0.9x)5000(1+0.4x)-1800 x2+1500 x+15000(0 x1)由-1800 x2+1500 x+1500015000，解得 0 x56 所以当 0 x56时，本年度的年利润比上年度有所增加(2)本年度的年利润为 25()(30.9)324023f xxxx 323240(0.94.84.55)xxx，则2()3240(2.79.64.5)972(95)(3)fxxxxx，由()0fx，解

9、得59x 或3x(舍去)，当509x，时，()0fx，()f x是增函数；当519x，时，()0fx，()f x是减函数 所以当59x 时，()f x取极大值5200009f(万元)，第 5 页 共 14 页 因为()f x在(0，1)上只有一个极大值，所以 20000 是最大值，所以当59x 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20000 万元【总结升华】实际问题中的最值问题，首先要根据题意，列出相应的函数关系式，再利用均值不等式法或者求导法得出问题的最值一般说来，应用求导法确定函数的单调性，再根据单调性求最值的方法更具有普遍性 举一反三：【变式】已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关

10、系式为 C100+4q(0q100)，价格 p 与产量 q 的函数关系式为1258pq求产量 q 为何值时，利润 L 最大?【答案】收入 Rqp211252588qqqq，利润2125(1004)8LRCqqq 2121100(0100)8qqq，1214Lq ，令0L，即12104q，求得唯一的极值点 q84 故产量 q 为 84 时，利润三最大 类型三：面积、体积最大或最小问题 例 3 做一个无盖的圆柱形桶，要求其体积为定值 V，而用材料要最省，问圆柱的底面半径及高各应为多少？【解析】设圆柱的底面半径为 R，高为 h，则2VR h，2VhR 设圆柱的表面积为 S，第 6 页 共 14 页

11、则22SRRh22(0)VRRR 322222VVSRRRR,令0S，得3VR，从而32VVhR 因为函数在(0，+)内有唯一的极值点，所以它就是最小值点 故当圆柱的底面半径和高均为3V时，用材料最省 【总结升华】解决实际生活中的最值问题，关键是选好自变量，建立目标函数，如果函数在定义域开区间上只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也就是取得最值的点；如果在一个闭区间内讨论，则将此极值与区间端点处的函数值加以比较得出最值 举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为 72 cm3，其底面两邻边的比为 1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?【答案】设底面较短

12、的边长为 x cm，则相邻一边长为 2x cm，又设箱子高为 h，则2272362hxx，设表面积为 S，则223642(2)Sxxxx22164(0)xxx，32221688(27)Sxxxx 令0S，解得 S 在(0，+)内的唯一可能的极值点 x3 当 x3 时，S0当 x3 时，S0 在 x3 时，函数取极小值，即最小值，也就是当底面边长分别为 3 cm，6 cm，高为 4 cm 时，长方体箱子的表面积最小 励 学 国 际 学 生 课 后 作 业 第 7 页 共 14 页 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：宋冰洁 作业内容 作业得

13、分 作 业 内 容【巩固练习】一、选择题 1以长为 10 的线段为直径作半圆，则它的内接矩形的面积最大值为()A10 B15 C25 D50 2要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为()A3cm3 B10 3cm3 C16 3cm3 D20 3cm3 3某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32 16 B30 15 C40 20 D36 18 4内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱的高为()A2 33R B33R C3 32R D32R 5若底面为

14、等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积最小时，底面边长为()A3V B32V C34V D32 V 6某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 与年产量x 的关系是21400(0400)()280000(400)xxxR xx，则总利润最大时，每年生产的产品产量是()A100 B200 C250 D300 二、填空题 7如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定。窗户周长最小时，x 与 h 的比为_ 第 8 页 共 14 页 8设某银行中的总存款与银行付给储户的利率的平方成正比，若银行以 10的年利率把总存款的

15、90贷出，同时能获得最大利润，需要支付给储户的年利率为_ 9.水以 20m3min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深 30 m，底面直径为 12 m，当水深 10 m 时，水面上升的速度是_ 三、解答题 10一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得lABBCCD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b 11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，两桥墩相距 m 米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+x)x 万元假设桥 第

16、 9 页 共 14 页 墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小?12.某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价 【答案与解析】1.【答案】C 【解析】解法一：设内接矩

17、形的宽为 z，则长为22 25x，第 10 页 共 14 页 面积2225Sxx则2250425xSx 令0S，得5 22x 或5 22x(舍)此函数为单峰函数，当5 22x 时，max25S 解法二：如图所示 设NOB02，则矩形的面积5sin2 5cosS 25sin 2，故max25S 2【答案】D 【解析】设高为 x cm，则底面半径为2220 xcm，体积22(20)(020)3Vxxx，则2(4003)3Vx，由0V 得20 33x 或20 33x (舍去)当20 303x，时，0V，当20 3203x，时，0V，所以当20 33时，V 取最大值 3【答案】A 【解析】要求材料最省

18、，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为 x 米，则长为512x米，因此新墙总长为5122(0)Lxxx，则25122Lx，令0L，得 x16又 x0，x16则当 x16 时，长为5123216(米)4【答案】A 【解析】作轴截面如图，设圆柱高为 2h，则底面半径为22Rh，第 11 页 共 14 页 圆柱的体积2223()222VRhhR hh 2226VRh，令0V，得22260Rh，33hR 即当2 323hR时，圆柱的体积最大 5【答案】C 【解析】设此三棱柱底面边长为 a，高为 h，则234Va h，表面积22334 3322VSaahaa 由24 330VSaa 0 得34aV 6【

19、答案】D 【解析】由题意，总成本为 C20000+100 x，所以总利润213002000(0400)260000 100(400)xxxPRCxx，.则300(0400)100(400)xxPx，.令0P，当 0 x400 时，得 x300；当 x400 时，0P恒成立，易知当 x300 时，总利润最大 7【答案】1:1 【解析】设窗户面积为 S，周长为 L，则222Sxhx，24Shxx，所以窗户周长2222SLxxhxxx，第 12 页 共 14 页 222SLx 由0L，得24Sx，204Sx，时，0L，24Sx，时，0L，所以当24Sx时，L 取最小值，此时222224144444h

20、SxSxxx 8【答案】6 【解析】设支付给储户的年利率为 x，银行获得的利润 y 是贷出后的收入与支付给储户利息的差，即220.90.1ykxkxx230.09(0)kxkxx，20.183ykxkx，由0y，得0.06x 或0 x(舍去)当 x(0，0.06)时，0y，当 x(0.06，+)时，0y，故当 x0.06 时，y 取最大值 9【答案】5mmin【解析】设经过 t 分钟水深为 h，则212035hth，3125(018)htt，当水深 10m 时，23t，水面上升速度为235|(m/min)th 10【解析】由梯形面积公式得1()2SADBC h，其中 AD2DE+BC，DE33

21、h，BC6，所以2 33ADhb 所以1 2 332233Shb hhbh 因为2cos303hCDh，ABCD，所以223lhb 由得33Sbhh，代入得，第 13 页 共 14 页 4 33333SSlhhhhh，230Slh，所以43Sh，当 0h43Sh 时，0l，当43Sh 时，0l，所以43Sh 时，l取得最小值，此时42 33bS 11【解析】(1)设需新建 n 个桥墩，则(n+1)xm，即1mnx，所以()256(1)(2)yf xnnx x 2562561(2)2256mmmx xm xmxxx(2)由(1)知，1222561()2mfxmxx 322(512)2mxx 令(

22、)0fx，得32512x，所以 x64 当 0 x64 时，()0fx，()f x在区间(0，64)内为减函数；当 64x640 时，()0fx，()f x在区间(64，640)内为增函数 所以()f x在 x64 处取得最小值，此时64011964mnx 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 12.【解析】设长为 x，则宽为200 x，设总造价为 y 元，根据题意1620016xx，解得25162x 20040022400248200 80yxxx 2592002580016000(16)2xxx，22592008000yx，解得18x 当 x(0，18)时，函数为减函数；当 x(18，+)时，函数为增函数，因此当且仅当长为 16 米，宽为12.5 米，总造价最低，为 45000 元 第 14 页 共 14 页