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1、 第 1 页 共 15 页 人教版高中数学选修 1-1 教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 定积分的简单应用 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 定积分的简单应用【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1.如图，由三条直线xa，xb()ab，x轴（即直线()0yg x）及一条曲线()yf x()0f x)围成的曲边梯形的面积：()()()bbaaSf x dxf xg x dx 2.
2、如图，由三条直线xa，xb()ab，x轴（即直线()0yg x）及一条曲线()yf x(0)(xf)围成的曲边梯形的面积：()()()()bbbaaaSf x dxf x dxg xf x dx 3由三条直线,(),xa xb acb x轴及一条曲线()yf x（不妨设在区间,a c上()0f x，在区间 第 2 页 共 15 页 ,c b上()0f x）围成的图形的面积：()caSf x dx()bcf x dx()caf x dx()bcf x dx.4.如图，由曲线11()yf x22()yfx12()()f xfx及直线xa，xb()ab围成图形的面积：1212()()()()bbba
3、aaSf xfx dxf x dxfx dx 要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：当平面图形的曲边在x轴上方时，容易转化为定积分求其面积；当平面图形的一部分在x轴下方时，其在x轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。要点三、定积分在物理中的应用 变速直线运动的
4、路程 第 3 页 共 15 页 作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数()()0)vv t v t在时间区间,a b上的定积分，即()baSv t dt.变力作功 物体在变力()F x的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x相同的方向从xa移动到xb()ab，那么变力()F x所作的功W()baF x dx.要点诠释：1.利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。2.求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。【典型例题】类型一、求平面图形的面积 例 1计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的
5、面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。【解析】201yxxxyx及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=11200 xdxx dx，所以131123200021211dd33333Sx xxxxx【总结升华】1.两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。2.在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：作图象；求交点，定积分上、下限；用定积分表示所求的面积；微积分基本定理求定积分。举一反三：【变式】求曲线xy2log与曲线)(logxy42以及x轴所围成的图形面积。【答案】所求图形的面积为
6、 第 4 页 共 15 页 dydyyfygSy1010224)()()(【eeyy210224224log|)log（例 2求抛物线2yx与直线230 xy所围成的图形的面积.【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。【解析】解法一：解方程组2,230,yxxy得11xy 或93xy 即交点(1,1),(9,3)AB.由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。过A点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.1912011()(3)2SSSxx dxxxdx 1999011113222xdxxdxxdxdx 33219992
7、201114233342xxxx 323.【总结升华】从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。解法二：若选y为积分变量，则上限、下限分别为1 和 3，所以要求的面积为：321(23)Syy dy 第 5 页 共 15 页 2233311132333yyy.【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是x，有时根据平面图形的特点，也可选y作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定.举一反三：【变式 1】计算由直线4yx，曲线2yx以及 x 轴所围图形的面积
8、 S.作出直线4yx，曲线2yx的草图，所求面积为【答案】上图阴影部分的面积 解方程组2,4yxyx 得直线4yx与曲线2yx的交点的坐标为（8,4).直线4yx与 x 轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为 S=S1+S2 48804422(4)xdxxdxxdx 33482 8220442 22 2140|(4)|3323xxx.【变式 2】求抛物线22yx与直线4yx围成的平面图形的面积.【答案】由方程组xyxy422解出抛物线和直线的交点为（2,2）及（8,4）解法一:选x作为积分变量，由图可看出 S=A1+A2 在 A1部分：由于抛物线的上半支方程为2yx，下半支方程为2yx，
9、所以 1122200 2(2)2 2ASxx dxx dx 31632222023x 2824(2)ASxx dx （）8,-4 8（）2,2 第 6 页 共 15 页 328)322214(82232xxx 于是：16381833S.解法二:选y作积分变量，将曲线方程写为22yx 及yx 4 dyyyS2)4(2242432)624(yyy30 1218.类型二、求变速直线运动的路程 例 3汽车以每小时 36 公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度2a 米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？【思路点拨】因为距离速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速
10、度变化函数式成为该题的关键.【解析】因为距离速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当0t 时，汽车速度036v 公里/小时36 10003600米/秒=10 米/秒.刹车后汽车减速行驶，其速度为0()102V tVatt.当汽车停车时，速度()0V t，故从()10V t 到()0V t 用的时间10052t秒.于是在这段时间内，汽车所走过的距离是 5500()(102)SV t dtt dt 2501(102)|252tt（米）即在刹车后，汽车需走过 25.【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物
11、变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.举一反三：【变式】一点在直线上从时刻 t=0（s）开始以速度 v=t24t+3（ms）运动，求：（1）在 t=4 s 时的位置；（2）在 t=4 s 时运动的路程。【答案】（1）在时刻 t=4 时该点的位置为：第 7 页 共 15 页 442320014(43)d2333tttttt（m）。即在 t=4s 时该点距出发点43m。（2）因为 v(t)=t24t+3=(t1)(t3)，所以区间0，1及3，4上的 v（t）0，在区间1，3上，v（t）0，所以在 t=4 s 时的路程为：134222013(43)d(43)d(43)dsttttttttt
12、 134222013(43)d(43)d(43)d4(m)ttttttttt。即在t=4 s 运动的路程为 4 m。类型三、求变力做功 例 4直径为 20cm，高为 80cn 的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？【解析】设上端为活塞，且如图所示取定x轴.另设底面面积为S，活塞压缩至x位置时气体的体积为()V x，压强为()P x，由 于PVk（其中k为常数），则()()()kkP xV xS hx，()kFP x Shx，其中(0)(0)80000()800()kPVN cmJ 故所求的功为22001800 ln2().h
13、hWFdxkdxJhx【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。举一反三：【变式】求证：把质量为m（单位 kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W=G()Mmhk kh，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径【答案】根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f=G122m mr，h x F O 第 8 页 共 15 页 其中G为引力常数 则当质量为m物体距离地面高度为x（0 xh）时，地心对它有引力f(x)=G2()Mmkx故该物体从地面升到h处所做的功为 0()hWf xdx=2
14、0()hMmGkxdx=GMm201()hkxdx=GMm01()|hkx =11()()MnhGMmGkhkk kh 类型四、定积分的综合应用 例 5已知抛物线2ypxqx（其中0,0pq）在第一象限内与直线5xy相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为 S.问p和q为何值时，S 达到最大值？求出此最大值.【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出 S。【解析】依题意知，抛物线如图所示，求得它与x 轴的交点横坐标为120,qxxp 面积20()qpSpxqx dx32.6qp 因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组25,xyypxqx得2(1)50pxqx
15、，其判别式必等于零，因而有21(1)20pq.从而得到32200()2(1)qS qq32200(3)()3(1)qqS qq解得3.q 当03q时，()0;S q当3q 时，()0.S q 于是当3q 时，()S q取得极大值，即最大值.此时45p ，从而最大值为225.32S 【总结升华】这是一道综合了导数与定积分等概念的题目.利用定积分求出 S 的面积(,)S p q，再利用抛物线与直线相切的条件，确定p和q的关系，从而将求(,)S p q的极值化为一元函数极值问题.举一反三：【变式】已知抛物线)0(2aaxy，将以（0，0），（b，0），（b，h），（0，h）为顶点的矩形分成两部分，其
16、面积之比为 1：2，试求抛物线方程中的系数 a 第 9 页 共 15 页 【答案】如图分两种情况讨论：（1）如 图 一：ahahaahhdxaxhS03213)(，ahbahhdxdxaxS022 ahbhaha331，由已知2121SS，解得24bha.（2）如图二：babhbdxaxhS032131)(，babdxaxS032231 由题意知：1221SS，解得2bha。课 后 作 业 第 10 页 共 15 页 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】一、选择题 1若)(xf与)(xg是,b
17、a上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线bxax,所围图形的面积()Abadxxgxf)()(B badxxgxf)()(C badxxfxg)()(D badxxgxf)()(2一辆汽车以速度23tv 的速度行驶，这辆汽车从 t=0 到 t=3 这段时间内所行驶的路程为（）A.31 B.1 C.3 1027 3由2yx与曲线23yx所围成的图形的面积为（）A2 3 B92 3 C325 D353 4将边长 1 米的正方形薄片垂直放于液体密度为的液体中，使其上边缘与液面距离为 2 米，则该正方形薄片所受液压力为（）A32dxx B21(2)dxx C10dxx D32(1)dxx 5由抛物线
18、y=x2x，直线 x=1，x=1 及 x 轴围成的图形面积为（）A23 B1 C43 D53 6在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为 S）从点 a 处推到 b 处，则在移动过程中，气体压力所做的功为（）焦耳。第 11 页 共 15 页 A lnbka B lnba C(lnln)kba Dlnkb 7定积分120(1(1)dxxx等于（）A24 B12 C14 D12 二、填空题 8.由曲线 y=x2+1,x+y=3,及 x 轴,y 轴所围成的区域的面积为:.9如左上图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，则克服弹簧
19、力所做的功为_。（弹簧的劲度系数为 k）10.如右图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则 k=.11.列车以 72 kmh 的速度行驶，制动时列车获得加速度 a=0.4 ms2，问列车应在进站前 _ s,且离车站_m 处开始制动？三、解答题 12求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积 13一物体在变力)(36)(2NxxF作用下沿坐标平面内x轴正方向由8xm 处运动到18xm 处，求力)(xF做的功.第 12 页 共 15 页 14设()yf x是二次函数，方程()0f x 有两个相等的实根，且()22fxx。（1）求()yf x的表达式；（2）求()
20、yf x的图象与两坐标轴所围成图形的面积。（2）依题意，所求面积00321111(221)d33Sxxxxxx。15某电厂冷却塔的外形，是如图所示的双曲线的一部分，是绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中 A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知 AA=14 m，CC=18 m，BB=22 m，塔高 20 m。（1）建立坐标系并写出该双曲线方程；（2）求冷却塔的容积。（精确到 10 m3，塔壁厚度不计，取 3.14）【答案与解析】1.【答案】A 第 13 页 共 15 页【解析】由定积分的几何意义可知：所指图形就是()()f xg x，所
21、以选 A。2.【答案】D【解析】这辆汽车从 t=0 到 t=3 这段时间内所行驶的路程为：33230033270vdtt dtt 3【答案】C 【解析】1123233132(32)d333xxxxxx。4【答案】A 【解析】由物理学知识易得被积函数为()f xx，x2，3。5【答案】B 【解析】012210()d()d1Sxxxxxx。6【答案】A 【解析】由物理学知识易得，压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k，即 pV=k，因为 V=xS（x 指活塞与底的距离），所以kkpVxS，所以作用在活塞上的力kkFp SSxSx，所以气体压力所做的功为 dlnlnbbaakbWxkxkxa。7【答
22、案】A 【解析】本题由于方程过于复杂，因而可采用定积分的几何意义表示，如图 11122000 1(1)d1(1)ddxxxxxx x。1201(1)dxx表示圆(x1)2+y2=1 与 x=0，x=1，y=0 围成的图形面积 14S。10dx x表示 y=x 与 x=0，x=1，y=0 围成的图形面积212S。1224SSS。8.【答案】103【解析】如图,S=310dx)x3(dx)x1(31102。9【答案】21(J)2kl 【解析】在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正比，即()F xkx。由变力做功公式得220011d(J)22llWkx xkxkl。第 1
23、4 页 共 15 页 10.【答案】1-243.【解析】抛物线 y=x-x2与 x 轴所围成图形面积 S=61dx)xx(102,直线 y=kx 与抛物线 y=x-x2的交点的横坐标为 x=0,1-k,S上=6)k1(dx)kxxx(3k102,又 S=2S上6)k1(2613k=1-243.11.【答案】50，500【解析】已知列车速度 v0=72 kmh=20 ms，列车制动时获得加速度 a=0.4 ms2。设列车由开始制动到经过 t s 后的速度为 v，则 v=v0+at=200.4t。令 v=0，得 t=50（s）。设列车由开始制动到停止所走的路程为 s，则 505000d(200.4
24、)d500(m)sv ttt。所以列车应在进站前 50 s，离车站 500 m 处开始制动。12【解析】首先求出函数xxxy223的零点：11x，02x，23x.又易判断出在)0 ,1(内，图形在x轴下方，在)2 ,0(内，图形在x轴上方，所以所求面积为dxxxxA0 1 23)2(dxxxx2 0 23)2(1237 13【解析】由题意知力)(xF做的功为：218181836365()()()8882WF x dxdxJxx 14【解析】（1）设2()(0)f xaxbxc a，则()2fxaxb。又已知()22fxx，a=1，b=2。2()2f xxxc。又方程()0f x 有两个相等的实
25、根，判别式=44c=0，即 c=1。故2()21f xxx。15【解析】（1）如答图 9 所示建立直角坐标系 xOy，AA的中点为坐标原点 O，CC 与 BB平行于 x 轴。设双曲线方程为22221xyab（a0，b0），则172aAA，又设 B（11，y1），C（9，y2），因为点 B、C 在双曲线上，第 15 页 共 15 页 所以有2212222222111 791 7ybyb，由题意知 y2y1=20，由得 y1=12，y2=8，7 2b。故双曲线方程为2214998xy。（2）由双曲线方程得221492xy。设冷却塔的容积为 V m3，则 2188232121211d49 d4926yyVxyyyyy，经计算得 V4.25103（m3）。