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1、 第 1 页 共 20 页 人教版高中数学选修 1-1 教学讲义 年 级：高二 上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师 课 题 导数及其应用全章复习与巩固 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 导数及其应用全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】第 2 页 共 20 页 要点一：导数的概念及几何意义 1.导数的概念：函数=()y f x在0 x点的导数，通常用符号 0fx表示，定义为：要点诠释：（1）100010=f xf xf xxf xyxxxx，它表示当自变量x从0 x变1x，函数值从 0f x变到 1f x时，函数值关于x的
2、平均变化率.当x趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x在0 x点的导数.（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义如位移运动中，位移S从时间1t到2t的平均变化率即为1t到2t这段时间的平均速度 2.导数的几何意义：要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.3.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是=s s t，那么该物体在时刻0t的瞬时速度v就是=s s t在0=t t时
3、的导数，即 0=v s t；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv t，那么物体在时刻0t的瞬时加速度a就是 vv t在0=t t时的导数，即 0av t 要点诠释：0()fx表示函数()f x在0 x处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的比如，瞬时角速度是角度 t对时间t的变化率；瞬时电流是电量 Q t对时间t的变化率；瞬时功率是功 W t对时间t的变化率；瞬时电动势是磁通量 t对时间t的变化率最常用的是瞬时速度与瞬时加速度 0fx表示曲线=()y f x在0 xx处的切线的斜率，即 0=tanfx（为切线的倾斜角）00000limlimxxf xxf xyfxxx 第
4、3 页 共 20 页 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数 基本初等函数 导数 特别地 常数函数yc c为常数 0y 0，=0e 幂函数nyxn为有理数 1nyn x 211xx，12xx 指数函数xya lnxyaa xxee 对数函数logayx 1lnyxa 1lnxx 正弦函数sinyx cosyx 2sin1tan=coscosxxxx 2cos1cot=sinsinxxxx 余弦函数cosyx sinyx 要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可 2.和、差、积、商的导数 要点诠释：（1）一个推广：1212()nnuuuuuu （2）两个特例：()cucu
5、（c 为常数）；2211()1()()()0)()()()g xg xg xg xg xgxgx 3.复合函数的导数 设函数()ux在点x处可导，()xux，函数()yf u在点x的对应点u处也可导()uyfu，则复合函数()yfx在点x处可导，并且xuxyyu，或写作 ()()()xfxfux 要点三：导数在研究函数性质中的应用 1.利用导数研究可导函数的单调性 第 4 页 共 20 页 设函数()yf x在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有()0fx，则函数()f x在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有()0fx，则函数()f x在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有()0fx，则函数
6、()f x在（a，b）内为常数函数.要点诠释：（1）在区间(a,b)内，()0fx（或()0fx）是()f x在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件.（2）只有当在某区间上有有限个点使()0fx 时，()0fx（或()0fx）()f x在该区间内是单调递增（或减）.2.利用导数研究可导函数的极值 求函数()yf x在其定义域内极值的基本步骤：确定函数的定义域；求导数)(xf；求方程0)(xf的根；检查()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f x在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f x在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：注意极值与极值点的区别：取得极值
7、的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.可导函数)(xf在点0 x取得极值的充要条件是0()0fx，且在0 x两侧)(xf 的符号相异。可导函数的极值点一定是导函数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点.即0()0fx是可导函数)(xf在点0 x取得极值的必要非充分条件.例如函数 y=x3，在x=0 处，(0)0f，但x=0 不是函数的极值点.3.利用函数研究可导函数的最值 若函数()yf x在闭区间,a b有定义，在开区间(,)a b内有导数，则求函数()yf x在,a b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数()f x在(,)a b内的导数()fx；求方程()0fx在(
8、,)a b内的根；求在(,)a b内所有使()0fx的的点的函数值和()f x在闭区间端点处的函数值()f a，()f b；比较上面所求的值，其中最大者为函数()yf x在闭区间,a b上的最大值，最小者为函数()yf x在闭区间,a b上的最小值.要点诠释：第 5 页 共 20 页 建立数学模型 求函数的最值时，不需要对导数为 0 的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为 0 的点和端点的函数值进行比较即可.若()f x在开区间(,)a b内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四：导数在解决实际问题中的应用 我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数
9、在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()yf x；(2)求函数的导数()fx，解方程()0fx；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值 要点诠释：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函
10、数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具 利用导数解决优化问题的基本思路：得出变量之间的关系()yf x后，必须由实际意义确定自变量x的取值范围；在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0fx 的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去 【典型例题】类型一：导数的概念与公式的应用 例 1.求下列各函数的导数：（1）12xyx e；解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问
11、题 优化问题的答案 第 6 页 共 20 页（2）ln 25=xyx；（3）5sin cos sinyx；（4）12-5yx.【思路点拨】要求函数的导函数，应遵循一定的顺序：先观察：找出函数中的基本函数（或复合函数）；再确定函数的构成：它是由中的基本函数（或复合函数）由哪种四则运算而成的；最后根据导数的四则运算法则写出导函数.是复合函数的，按照复合函数的求导法则计算.【解析】（1）观察函数结构：该函数是由二次函数2yx与1xye相乘得到的；导数的乘法法则：1122xxyxexe；求出各函数导数：1112212=21xxxyx ex eexx.（2）观察函数结构：该函数是由复合函数=ln 25y
12、x与一次函数=y x相除得到的；导数的除法法则：2ln 25ln 25=xxxxyx；求出各函数导数：222ln 25225 ln 2525=25xxxxxxyxxx .（3）该函数是由函数5sincossinyuuvvttx，复合而成的，由复合函数求导法则，可得：55544555cos cos sinsin sincos5=5cossin sincos cos sinuvtxyy u v txxxxxxxx ；（4）该函数是由1yu，uv和25vx 复合而成，由复合函数求导法则，可得：3112=2-52-5 2 2-5yxxx .【总结升华】（1）在导数的运算中，最复杂、最应引起重视的莫过于
13、符合函数求导，因此应主要复合函数的求导方法。解这类问题的关键是正确分析函数的符合层次，一般由最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定符合过程.第 7 页 共 20 页（2）除了牢固掌握导数的相关公式外，记住两个常用的导数：211xx；12xx.举一反三：【变式 1】函数cos2sinyxx的导数为（）A.2sin2x+xx2cos B.2sin2x+xx2cos C.2sin2x+xx2sin D.2sin2xxx2cos【答案】A【变式 2】函数2=cos 2y xx的导数为 ()A2=2 cos 2sin 2yxxxx B2=2 cos 22 s
14、in 2yxxxx C2=cos 22 sin 2yxxxx D2=2 cos 22 sin 2yxxxx【答案】B 例 2.日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为 5 284=80100100c xxx，求净化到下列纯净度时，所需费用的瞬时变化率(1)90%；(2)98%.【思路点拨】利用导数的概念作答。当净化度为x%时，所需费用的瞬时变化率即为该点处的导数，即 cx.【解析】由导数的概念可知，净化到 90%纯度时，所需费用的瞬时变化率就是 90c；净化到 90%纯度时，所需费用的瞬时变化率就是
15、98c.25 284=100cxx，25 284 90=52.8410090c，25 284 98=132110098c.故纯净度为 90%时，净化费用的瞬时变化率为 52.84 元/t；纯净度为 98%时，净化费用的瞬时变化率为 1 321元/t.【总结升华】会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语，比如功率、降雨强度、边际成本等等，能利用导 第 8 页 共 20 页 学解决一些实际问题中的变化趋势问题，进一步理解导数的概念。举一反三：【变式】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度（单位：C）为 2715 08f xxxx 揶.
16、计算第 2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【答案】2708fxxx，揶 第 2 h 的原油温度的瞬时变化率为 22 2 7=3f ，它表示第 2 h 附近，原油温度以 3C/h的速度下降；第 6 h 的原油温度的瞬时变化率为 62 6 7=5f ，它表示第 6 h 附近，原油温度以 5C/h的速度上升.类型二：导数的简单应用 例 3.已知函数 3239f xxxxa .(1)当=0a时，求曲线 f x在点 11f，处的切线方程；(2)若 f x在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值【解析】(1)=0a时，3239f xxxx，2369fxxx，11
17、1f，112f，所求切线方程为11 121yx，即12-1yx.(2)f(x)3x26x9.f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)在(1,3)上 f(x)0，f x在(1,2上单调递增 又由于 f x在2，1)上单调递减，f(1)是 f x的极小值，且 f(1)a5.f(2)和 f(1)分别是 f x在区间2,2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2.f xx33x29x2.f(1)a57，即函数 f x在区间2,2上的最小值为7.【总结升华】（1）掌握求函数的切点方程的方法和步骤，此类题的解题思路是，先判断点 A 是否在曲线上，若 第 9 页 共
18、20 页 点 A 不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.（2）掌握求函数最值的方法和步骤，解此类问题的关键是，将连续区间上的最值问题转化为有限个数值的大小比较问题.举一反三：【变式 1】函数 32f xxaxb 的图像在点(1 0P，)处的切线与直线3=0 xy平行(1)求a，b；(2)求函数 f x在0 0tt，内的最大值和最小值【答案】(1)232fxxax，由已知条件 1=0 1=3.ff，(2)由(1)知 3232f xxx，则 2363(2)fxxxx x fx与 f x随x变化情况如下：x(，0)0(0，2)2(2，)fx 0 0 f
19、x 2 2 由 0f xf，解得x0，或x3.因此根据 f x图像，当 0t2 时，f x的最大值为 02f，最小值为 3232f ttt；当 23 时，f x的最大值为 3232f ttt，最小值为 22f.【变式 2】设函数 2=+lnf xx axbx，曲线 yf x过1 0P，且在P点处的切线斜率为 2.(1)求 a，b 的值；(2)证明：22f xx.【答案】（1）=1+2+bfxaxx，(2)证明：22f xx恒成立 220f xx恒成立 max 2200fxx恒成立.第 10 页 共 20 页 设 2g=(22)=23ln0 xf xxxxxx ，2133231 2=xxxxgx
20、xxxx 当 0 x1 时，g0 x.所以 g x在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减 maxg=g 1=0 x，maxgg=0 xx，即 f x2x2.例 4.设函数3()1f xaxbx在1x 处取得极值1.()求ab、的值；()求()f x的单调区间.【思路点拨】先根据极值的意义，确定参数ab、的值，再解不等式()0fx（或()0fx），得到()f x的单调增（或减）区间.【解析】（）2()3fxaxb,由已知得(1)30(1)11.fabfab ，解得1a，3b.()由（）知2()333(1)(1)fxxxx，当1x 或1x 时，()0fx，当(1,1)x 时，()0fx.因此
21、()f x的单调增区间是(,1)，(1,)，单调减区间是(1,1).【总结升华】灵活掌握求函数单调区间、极值（最值）的方法和步骤.举一反三：【变式 1】如果函数=y f x的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数=y f x在区间132，内单调递增；函数=y f x在区间132，内单调递减；函数=y f x在区间(4,5)内单调递增；当x2 时，函数=y f x有极小值；当1=2x 时，函数=y f x有极大值 则上述判断正确的是_(填序号)第 11 页 共 20 页【答案】由导函数的图象可以得到原函数=y f x的草图：故只有正确.【变式 2】已知函数cbxxaxxf44ln)(x0)在x
22、=1 处取得极值-3-c，其中 a,b,c 为常数.（1）试确定 a,b 的值；（2）讨论函数 f x的单调区间并求极值；【答案】（1）由题意知(1)3fc ，因此3bcc ，从而3b 又对()f x求导得 3431()4ln4fxaxxaxbxx3(4 ln4)xaxab 由题意(1)0f，因此40ab，解得12,3ab （2）由（1）知3()48lnfxxx（0 x），令()0fx，解得1x 当01x时，()0fx，此时()f x为减函数；当1x 时，()0fx，此时()f x为增函数 所以()f x有极小值(1)3fc .因此()f x的单调递减区间为(01)，而()f x的单调递增区间
23、为(1)，,当1x 时，()f x取极小值3 c.类型三：分类讨论思想在导数中的应用 例 5.已知函数 fx=2ln(1)2kxxx(k0)，求 fx的单调区间.【思路点拨】先求导(1)()1x kxkfxx，再根据(1)x kxk的首项系数与两根大小进行分类讨论，注意函 第 12 页 共 20 页 数的定义域.【解析】(1)()1x kxkfxx，(1,)x .当0k 时，()1xfxx.所以，在区间(1,0)上，()0fx；在区间(0,)上，()0fx.故()f x得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当0k 时，由(1)()01x kxkfxx，得10 x，21 kxk.当
24、01k时，21xx，此时在区间(1,0)和1(,)kk上，()0fx；在区间1(0,)kk上，()0fx，故()f x得单调递增区间是(1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.当1k 时，12=0 xx2()01xfxx 故()f x得单调递增区间是(1,)，无减区间.当1k 时，12xx，此时，在区间1(1,)kk和(0,)上，()0fx；在区间1(,0)kk上，()0fx，故()f x得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk.综上所述，当0k 时，x得单调递增区间是()fx，单调递减区间是x；当01k时，()f x得单调递增区间是(1,0)和1(
25、,)kk，单调递减区间是1(0,)kk；当1k 时，()f x得单调递增区间是(1,)，无减区间；当1k 时，()f x得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk.【总结升华】（1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于 0 或恒小于 0；（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定()fx的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力；（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不
26、确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.举一反三：第 13 页 共 20 页【变式 1】设函数2()()f xx xa（xR），其中aR（）当1a 时，求曲线()yf x在点(2(2)f，处的切线方程；（）当0a 时，求函数()f x的极大值和极小值.【解析】（）当1a 时，232()(1)2f xx xxxx ，得(2)2f，且 2()341fxxx，(2)5f 所以，曲线2(1)yx x 在点(22)，处的切线方程是25(2)yx，整理得 580 xy（）2322()()2f xx xaxaxa x 22()34(3)()fxxaxaxa xa 令()0
27、fx，解得3ax 或xa 由于0a，以下分两种情况讨论 （1）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：x 3a，3a 3aa，a()a，()fx 0 0 因此，函数()f x在3ax 处取得极小值3af，且34327afa；函数()f x在xa处取得极大值()f a，且()0f a （2）若0a，当x变化时，()fx的正负如下表：x a，a 3aa，3a 3a，第 14 页 共 20 页()fx 0 0 因此，函数()f x在xa处取得极小值()f a，且()0f a；函数()f x在3ax 处取得极大值3af，且34327afa 注意：1.导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负
28、是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.2.列表能比较清楚的看清极值点.3.写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.【变式 2】已知函数()lnf xaxx(a为常数).（）当1a时，求函数()f x的单调区间；（）求函数()f x在,1上的最值.【解析】（）当1a 时，函数()f x=lnxx，函数的定义域为(0,)x 由 011xxf得1x，函数()f x的单调增区间为(1,)；由 011xxf得10 x，函数()f x的单调减区间为(0,1)；（）1()fxax,若0a，则对任意的1,)x都有()0fx，函数()f x在1,)上为减函数，()f x在1,)上有最大值，没有最小值，(
29、)(1)f xfa最大值；若0a，令()0fx 得1xa，当01a时，11a，当1(1,)xa时()0fx，函数()f x在1(1,)a上为减函数，当1(,)xa时()0fx，函数()f x在1(,)a上为增函数；1xa时，函数()f x有最小值，11()()1 lnf xfaa 最小值，当1a 时，11a，在1,)恒有()0fx，函数()f x在1,)上为增函数，()f x在1,)有最小值，()(1)f xfa最小值；类型四：转化与化归思想在导数中的应用 例 6.若函数 2=(+)e()xf xxaxaR，在(1,1)上单调递增，求 a 的取值范围【思路点拨】将问题转化为：0,11fxx 恒
30、成立，再转化为求函数的最值问题。第 15 页 共 20 页【解析】【总结升华】转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将含参不等式的恒成立问题转化为求函数最值的问题 举一反三：【变式 1】已知函数2()ln20)f xaxax(.若对于(0,)x 都有()2(1)f xa成立，试求a的取值范围.【解析】对于(0,)x，不等式()2(1)f xa成立min()2(1)fxa，0 x 下面求在=()y f x，0 x 的最小值：2222()aaxfxxxx，由()0fx解得2xa；由()0fx解得20 xa.所以()f x在区间2(,)a上单调递增，在区间2(0,)a
31、上单调递减.所以当2xa时，函数()f x取得最小值，min2()yfa.因为对于(0,)x 都有()2(1)f xa成立，所以2()2(1)faa即可.第 16 页 共 20 页 则22ln22(1)2aaaa.由2lnaaa解得20ae.所以a的取值范围是2(0,)e.【变式 2】已知函数2()ln,()xxf xxx g xee 证明：对任意,(0,)m n，都有()()f mg n成立【解析】要证明对任意,(0,)m n，都有()()f mg n，即证明minmax()g()fmn，,(0,)m n.下面进行证明：易知()ln(0,)f xxx x在1xe时取得最小值，又11()fee
32、，可知1()f me 由2()xxg xee，可得1()xxg xe 所以当(0,1),()0,()xg xg x单调递增，当(1,),()0,()xg xg x单调递减.所以函数()(0)g x x 在1x 时取得最大值，又1(1)ge，可知1()g ne，所以对任意,(0,)m n，都有()()f mg n成立 类型五：数形结合思想在导数中的应用 例 7.求函数 332f xxax 的极值，并说明关于x的方程332 0 xax 何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中 a0)？【解析】函数的定义域为 R，其导函数为 233.fxxa 由 0fx可得xa，列表讨论如下：x(，a)a(a，
33、a)a(a，)第 17 页 共 20 页 f(x)0 0 f x 极大值 极小值 由此可得，函数在xa处取得极大值32()2+2faa；在xa处取得极小值32()22faa.根据列表讨论，可作函数的草图(如图)：因为极大值32()2+2faa0，故当极小值32()22faa 1 时，方程332 0 xax 有三个不同的实根；当极小值32()22faa 0，即 0a0，b0 Ba0，b0 Ca0 Da0，b0【答案】B 由 f x的图象易知 f x有两个极值点12xx、，且1xx时有极小值，因此 2321fxaxbx的图象如图所示，第 19 页 共 20 页 因此 a0.又12xx，12xx，1
34、2+0 xx，即122+=03bxxa，b0.类型六：导数的实际应用 例 8.某商场预计 2010 年从 1 月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份x的近似关系是 p(x)12x(x1)(392x)(xN*，且x12)该商品的进价 q(x)元与月份x的近似关系是 q(x)1502x(xN*，且x12)，(1)写出今年第x月的需求量 f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？【解析】(1)当x1 时，f(1)p(1)37；当 2x12 时，f(x)p(x)p(x1
35、)12x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x(xN*，且 2x12)验证x1 符合 f(x)3x240 x，f(x)3x240 x(xN*，且 1x12)(2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)(3x240 x)(1851502x)6x3185x21 400 x(xN*,1x12)，g(x)18x2370 x1 400，令 g(x)0，解得x5，x1409(舍去)当 1x0；当 5x12 时，g(x)0，当x5 时，g(x)maxg(5)3 125(元)综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元【总结升华】生活中的优化问题，大多可以建立目标函数.本题的目标函数为高次多项式函数，采用导数法可解.同时要格外注意实际意义对定义域的影响.举一反三：【变式】一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高速度为 100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城 第 20 页 共 20 页 开往乙城的总费用最少？【解析】