数学建模第一讲.pdf

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1、 第 1 讲 第 1 页（共 12 页）内 容 备 注 数学建模 课程教案 讲课题目：第一讲 数学建模引论 目的要求：了解数学建模的定义、数学建模论文写作的基本步骤 重点难点：数学建模的含义 方法步骤：理论讲授 仪器设备保障：多媒体设备 教学内容与时间安排:一、什么是数学建模竞赛 50分钟 (1)、数学建模竞赛 一提起数学竞赛，同学们的脑海里就会联想到这样一个场面：考场里鸦雀无声，监考老师用警惕的目光扫视全场，年轻的数学尖子们坐在各自的座位前，奋笔疾书，苦思冥想，希望找到每一个数学难题的正确答案，而那所谓的正确答案早已经由出题专家们做好，正放在某一个保险柜里了。那么数学建模竞赛是不是也是这样的

2、场面呢？让我们先去它的考场里见识一下吧。那么它的考场在哪里呢？你可能找遍整个教学大楼所有教室都找不到它的考场，那么到哪里去找参赛队员呢？你可以到图书馆去试试看，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海里找到自己所需要的宝贝；你也可以去计算机机房看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机的屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界杯足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，旁边居然还有一位选手在睡觉，小心别吵醒他，他已经建模熬了两个通宵了！那边谁在吵架？不，那是另一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的

3、主见，要把这些互相冲突的意见统一在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，只有打印机均匀的嚓嚓声在响，这些声音在选手们听来是世界上最美好的音乐，当他们打着哈欠查看打印机吐出的一页页精美 随进度板书标题、提纲，定理定义用PPT 演示，定理证明讲解板书。时间分配随课堂情况调整。第 1 讲 第 2 页（共 12 页）的作品时，你若问他们现在最想干的事情是什么，他们都会异口同声地回答“睡觉”。这像是考场吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是互相讨论，到处跑来跑去，没人管，哪里还有一点考试的体验呢？不像考试像什么？也许同学们会想到这有点像一个科研课题组在突击完成一项任务，这就对了，

4、参加过竞赛的选手们也这样说过，“这不像是在考试，而像是在干活儿”。但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且叫做干活的考试吧，就是考一考谁的活干的更好。（2）、数学建模 什么是数学建模？我们来看看几道题目吧：例一、节水洗衣机模型 我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国已相当普及，为节约洗衣机用水，要求设计一个洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，使得总用水量最少。已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然后重复加水漂洗脱水过程。例二、DNA 序列的分类 2000年 6月，人类基因组计划中将 DNA全序列草图完成，预计 2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录自身生老病

5、死及遗传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由 4 个字符 A、T、C、G 按一定顺序排成的长约 30 亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这 4 个字符表示 4 种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究 DNA全序列具有什么结构，由这 4 种字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课题之一。虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了 DNA序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些是用于编

6、码蛋白质的序列片段，即由 4个字符组成的 64 种不同的 3 字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的 20 种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A和 T的含量特别多些，于是以某些 PPT 演示。PPT 演示。第 1 讲 第 3 页（共 12 页）碱基特别丰富作为特征去研究 DNA序列的结构也取得了一些成果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全局的结构，充分发掘序列的结构对理解 DNA全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普遍的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒

7、化和模型化的方法往往有助于研究 DNA序列的规律性和结构。作为研究 DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题：有40 个序列（见附件），请从中提取特征，构造分类方法进行分类，把结果用序列标号（按从小到大的顺序）标明它们的类别：A 类：；B 类：；非 A、B 类：。请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法也要将方法名称准确注明。附件-DNA序列 1 aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgac

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10、taaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaatggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg 第 1 讲 第 4 页（共 12 页）8 atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttgtcgacaaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg 9 atggctgaaaaaggaaatgtttggcatcggtgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcgaaaatcgtgggcggcggcagc

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21、ccccagctttagccccagagtcgacg 第 1 讲 第 6 页（共 12 页）37gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcccaaaggaggccaccgggtagatgcca?agtgcaccgt 38aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgttacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac 39ttagggccaagtcccgaggcaggaat

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23、汇成大河，中间是岛区，河上有7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图 1 所示。由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7 座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。图 1 这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到 答案。下面请同学做一个游戏：一笔画出如图2 的图形来。规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。这就是古老的民间游戏一笔画。图 2 你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图3 能不能一笔

24、画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！PPT 演示。讲解、板书。第 1 讲 第 7 页（共 12 页）为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图 3。我们把图 3看成是由点和线组成的一种集合。图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个 图 3 奇点的图形。有六个奇点，四个偶点，当然不能一 笔画出来了。由于找不

25、到答案，因此，一群大学生就写信给当时年仅 20 岁的大数学家欧拉。欧拉从千百人次的失败中，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成 4 个点，7 座桥表示成 7 条连接这 4 个点的线，如图4 所示。图 4 图 5 于是“七桥问题”就等价于图5 中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”画的时候要经过它。现在看“过路点”具有什么性质。它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一

26、条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个 板书。PPT 与板书结合。讲解、板书。第 1 讲 第 8 页（共 12 页）图肯定不能一笔画成。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。今天学习欧拉的成果不应是

27、单纯把它作为数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题不应该为“抽象而抽象”，抽象的目的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习的一个样板。那究竟什么是数学建模呢？通俗地讲就是利用数学知识来解决实际问题，严格一点就是：根据对象的不同特点，运用数学所提供的概念、理论、方法和技巧进行数量和结构关系方面的分析、描述、推导、运算和判断，揭示对象规律的一种方法。数学建模不仅要用到数学知识，更要用到计算机，甚至离不开计算机，但又不是纯粹的计算机竞赛，它涉及到物理、化学、生物、医药、电子、农业、管理等各学科各领域的知识，但也不是这些学

28、科领域里的纯知识，它要用到各方面的综合知识，或者换个讲法，就是从不同的角度，思考同一问题，想尽所有影响结果的可能，然后再建模，这就是数学建模。二、参加数学建模竞赛的意义 5 分钟 1 对同学们的责任心，竞争意识的一种培养；2 对同学们所学知识综合运用能力的培养；3 对同学们的创新意识，创新能力的培养；4 对同学们的互相协作的集体主义精神的培养。三、数学建模答题的特点与评判标准 10 分钟 1、竞赛特点 （1）时间有限；（2）科学分工要各取所长；（3）密切合作良好的合作是通向成功的钥匙，每一个人都应该倾听他人的意见，哪怕听起来不顺耳，这特别是对那些满脑子充满了新鲜主意的学生尤其重要；（4）组长得

29、力组长是全队的核心；（5）竞赛结果一篇完整的参赛论文。2、评判标准 讲解。PPT、讲解。PPT、讲解。第 1 讲 第 9 页（共 12 页）数学建模论文评判标准和数学竞赛不完全一样，专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种计分，而只是将论文分成一些等级，同一考题的一些优秀论文，甚至连答案都不一样，都同样优秀，优秀论文甚至被专家们的评阅意见提出一大堆毛病，都仍不失为优秀，在这里正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的，但它的评判标准又是什么呢？以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和表述的清晰性为主要标准，概括这四性就是八个字：准确假设合理，原理科学 清晰条理清晰、

30、简洁，逻辑性强 创新知识的不重合性，有自己的闪光点 实用能解决实际问题 四、数学建模论文写作的基本步骤 30 分钟（一）论文的主要组成部分 1 题目 论文题目是一篇论文展现给读者的涉及论文范围及水平的第一个重要信息，题目应简短精练，高度概括、准确得体、恰如其分。2 摘要 摘要是论文内容的简短陈述，在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分。近几年来竞赛组委会明确提出要加大摘要在评比中的分量，并规定论文的第一页全部用来写摘要，对字数无明确限制。故数学建模竞赛论文的摘要与一般刊物发表的学术论文的摘要不一样。参赛者必须十分重视摘要的撰写。摘要应包含以下内容：建模思路，用什么样的方法建立了怎样的模型、求

31、解模型的方法、获得的主要结果（一定要明确地写明结果）。尤其要突出论文的优点和长处，有什么特色。让别人看了摘要以后能明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有怎样的特点。因第一页全部用作摘要，故在摘要中也可适当出现反映结果的图、表和数学公式。3 问题的提出 数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定的问题（可以用“问题的重述”作为段落标题）。不必照抄原题，而应把握住问题的实质，再用较 PPT 与板书结合。第 1 讲 第 10 页（共 12 页）精练的语言叙述问题。4 模型假设 要根据问题的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的假设，并用精练

32、、准确的语言列出。5 问题的分析 这是很重要的部分，它体现了参赛者的思路，以及建立模型的依据，应当根据自己对问题的理解和解决问题的思路，完整地说清楚对问题的思考，写出条理清晰、层次分明、语言流畅的分析。6 建立模型 根据假设条件和自己采用的数学方法，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立数学模型。建模时应采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解。在撰写这一部分时，对所用的变量、符号、计算单位应做出解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致。为使模型易懂，可借助于适当的图形、表格来描述问题或数据。7 模型求解 使用各种数学方法、数学软件或编程计算，求解数学模型。此部分应包括求解过程的公式

33、推导，算法步骤及计算结果。请论文作者一定要对计算机软件的计算结果作再加工，提炼出关键性的结果（或重要结果），并醒目地表达出来，做到一目了然。8 模型检验 把求解和分析结果与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，应对模型进行修改、补充和完善。9 模型推广 将自己建立的模型推广，用来解决其它类似问题。对模型作出适当评价，或讨论给出该模型的更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一步研究的建议。10、参考文献 引用别人的成果或其他公开的资料（不含非公开出版的内部资料和教材），在正文引用处用上标方式注明，并在参考文献中明确列出。第 1 讲 第 11 页（共 12 页

34、）具体格式以组委会当年的正式要求为准。11、附录 附录是正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内容都收集在这里。12、论文的附件 包括编写的程序，以及论文本身的电子文档，要确保上交的程序能正常运行，运行结果与你的论文相符合。（二）写好论文的几点经验 三天的竞赛时间很紧张，要做的工作很多，哪个环节出点问题都有可能前功尽弃。根据我参加赛区专家组评阅论文得到的感受，总结以下几点如何写好竞赛论文的经验供参考。1 正确理解题意 对题目的含义以及要解决的问题仔细阅读、准确理解。如果理解发生偏差（有时出题人并没有把他的本意表达清楚，或者叙述不当，引起误解），可能造成解答错误，或者花费许多时间做了不必要的

35、工作。例如 2005B题“DVD租赁的优化管理”，有人在解答第一问时，假设会员租看碟片以后间隔多少天归还的各种可能性，然后花费许多时间来作出各种概率解答，其实对题目的要求没有吃透。2 抓住重点和关键 每个竞赛题都有其重点和关键点。例如 2005B题的重点是解决第二问：将 100种现有 DVD优化分配给 1000名会员，使总体满意度最大，关键点是模型的求解。再如 2004B题“电力市场输电阻塞管理”，重点是解决第三问：制定负荷为 982.4MW时的各机组出力分配预案，关键点是对序内容量和序外容量补偿费率的计算。如果你把握住了重点，解决了关键问题，正好是别人没有解决的或者解决得不好的，那么你就有了

36、脱颖而出的机会。反之，如果你把主要精力用在非主要问题上，重点和关键问题解决得不好，那么你大概与奖项无缘了。3 明确回答题目的所有问题 结论明了醒目，突出自己所得到的结果。要有必要的定量结果，不能只给出公式。如果软件算出来的结果很出（例如 LINGO求某个规划的计算结果），请对计算机结果再加工，提炼出关键性的结果（或重要结果），并醒目地表达出来，必要时最好设计一个表格列出主要结果，做到一目了然，千万不要让论文评阅人在你的文章中前前后后来翻找你的计算结果。第 1 讲 第 12 页（共 12 页）4 开放发散式思维 考虑问题要用开放式、发散式思维，从正面反面，简单复杂，多一些角度去考虑，不要有意或无

37、意地将简单问题复杂化，不要执著地沿着自己的初始思路走，防止钻牛角尖。例如 2004B题，利用已知数据确定 6 条线路上有功潮流关于 8 个机组出力的近似表达式，应该有常数项还是没有常数项的争论，用开放式思维，鉴于以下两条理由，不难得出正确结论：（1）近似公式是网方制定出力分配预案，判断是否发生阻塞，并进行阻塞管理的依据，不但涉及到网方和发电商的经济利益，更重要的是关系到电网的安全，故应该把近似公式的准确性放在首位。（2）近似公式表达了 0 号方案附近潮流与机组出力的统计关系，不能以此推断到远离 0 方案时的情况。5 论文要体现工作量 论文的内容应充实，体现出作者的工作量，要把问题的分析、建模思

38、路、求解方法、算法设计（程序设计）、求解过程和主要结论说明白。在模型正确、计算结果无误，论文主体完整的前提下，必要时作一些拓展研讨。总之要从论文内容的质量和数量上体现出作者所做的工作。反过来，有的参赛者模型正确，结果也不错，但是文章写得很干瘦，所以很难评上高等级奖。回顾与小结：5 分钟 1、数学建模的含义；2、参加数学建模竞赛的意义；3、数学建模答题的特点与评判标准；4、数学建模论文写作的基本步骤 作业与思考题：习题一：1、2 参考资料：1、数学建模，滕加俊主编，南京：南京出版社；2、数学建模与数学实验 赵静主编.北京：高等教育出版社出版社。本次课教学体会：处理意外情况预案：如果停电，PPT 部分用板书讲解，例题精讲。如果班车迟到（十分钟之内），部分例题略讲，迟到二十分钟以上，学生自习，内容安排在辅导时间讲。