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1、第一讲 什么是数学建模第1页，共36页，编辑于2022年，星期一例例1 1 高跟鞋问题高跟鞋问题女孩子都爱美，你知道你穿鞋跟多高的女孩子都爱美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起来最美吗？鞋子看起来最美吗？第2页，共36页，编辑于2022年，星期一穿高跟鞋是为了身高在视觉上得到增加，但是身穿高跟鞋是为了身高在视觉上得到增加，但是身高越高看起来越美吗？高越高看起来越美吗？理解问题理解问题第3页，共36页，编辑于2022年，星期一由黄金分割原理，我们不妨假定，当人的下肢由黄金分割原理，我们不妨假定，当人的下肢和身高的比为和身高的比为0.6180.618时，看起来最美。时，看起来最美。合理化假设合理化假设
2、设某人身高为设某人身高为h h厘米，下肢长厘米，下肢长l l厘米，高跟鞋的鞋厘米，高跟鞋的鞋跟为跟为x x厘米。厘米。第4页，共36页，编辑于2022年，星期一转化为数学问题转化为数学问题穿上高跟鞋后，身高为穿上高跟鞋后，身高为h+xh+x厘米，下肢长厘米，下肢长l+xl+x厘米。厘米。得到一个关于得到一个关于x x的一次方程：的一次方程：第5页，共36页，编辑于2022年，星期一问题的求解问题的求解解该一次方程，得：解该一次方程，得：第6页，共36页，编辑于2022年，星期一问题的检验问题的检验以身高以身高168CM168CM，下肢长为，下肢长为102CM102CM的人为例，其所的人为例，其
3、所穿鞋的鞋跟高度与好看程度的关系可由下表说穿鞋的鞋跟高度与好看程度的关系可由下表说明：明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值第7页，共36页，编辑于2022年，星期一问题的检验问题的检验又如，按照上述模型，身高又如，按照上述模型，身高153CM153CM，下肢长为，下肢长为92CM92CM的女士，应穿鞋跟高为的女士，应穿鞋跟高为6.6CM6.6CM的高跟鞋显的高跟鞋显得比较美。得比较美。第8页，共36页，编辑于2022年，星期一评价和应用评价和应用由此看来，女孩们爱穿高跟鞋是有科学依由此看来，女孩们爱穿高跟鞋是有科学依据的，也使人联想到为什么人们观看芭蕾据的，也使人联想到为什么人
4、们观看芭蕾舞的时候有一种美的感受，可当你看踩高舞的时候有一种美的感受，可当你看踩高翘表演时就没有这种感觉。翘表演时就没有这种感觉。这下女生知道应该如何选择合适的高跟鞋这下女生知道应该如何选择合适的高跟鞋了吧！了吧！第9页，共36页，编辑于2022年，星期一例例2 2 乌鸦能喝到水吗？乌鸦能喝到水吗？小学课文：一只乌鸦口渴了，到处找水喝。小学课文：一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，怎么办呢？怎么办呢？乌鸦看见旁边有许多小石子，乌鸦看见旁边有许多小石子，想出办法
5、来了。乌鸦把小石子一个一个地想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里。瓶子里的水渐渐升高，乌鸦放进瓶子里。瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。就喝着水了。可是，乌鸦真的能喝到水吗？可是，乌鸦真的能喝到水吗？第10页，共36页，编辑于2022年，星期一第11页，共36页，编辑于2022年，星期一显然水的体积大于空隙的体积，乌鸦才能喝到水。显然水的体积大于空隙的体积，乌鸦才能喝到水。因此我们可以从几何体积计算的角度，重新认识因此我们可以从几何体积计算的角度，重新认识乌鸦喝水问题。乌鸦喝水问题。理解问题理解问题不难想象，当乌鸦把各种各样的小石子扔到不难想象，当乌鸦把各种各样的小石子扔到瓶子里时
6、，石子之间是不可能没有空隙的。瓶子里时，石子之间是不可能没有空隙的。如果石子之间的空隙较大，而瓶子里的水又如果石子之间的空隙较大，而瓶子里的水又较少，那么乌鸦即使将瓶子填满也无法喝到较少，那么乌鸦即使将瓶子填满也无法喝到水。那么瓶子里到底应当有多少水，乌鸦才水。那么瓶子里到底应当有多少水，乌鸦才能喝到水呢？能喝到水呢？第12页，共36页，编辑于2022年，星期一 显然该问题与瓶子和石子的形状及其排显然该问题与瓶子和石子的形状及其排列方式有关，为简单起见我们假设：列方式有关，为简单起见我们假设：合理化假设合理化假设图图1 1瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。乌鸦
7、投进的石子是大小相同的球体。乌鸦投进的石子是大小相同的球体。瓶子中摆放的方法如图瓶子中摆放的方法如图1 1所示所示第13页，共36页，编辑于2022年，星期一瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨设瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨设为为n n倍（显然，如果不是整数倍的话，那石倍（显然，如果不是整数倍的话，那石子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝到水）子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝到水）石头内部渗进的水忽略不计。石头内部渗进的水忽略不计。合理化假设合理化假设第14页，共36页，编辑于2022年，星期一转化为数学问题转化为数学问题一个边长为一个边长为n*an*a的正方体中放入的正方体中放入n n3 3个边
8、长个边长为为a a的球，求其空隙部分的体积占总体积的的球，求其空隙部分的体积占总体积的比例。比例。第15页，共36页，编辑于2022年，星期一问题的求解问题的求解下面我们首先证明球体的大小与球体占据下面我们首先证明球体的大小与球体占据正方体空间的总和无关，为此我们设瓶中正方体空间的总和无关，为此我们设瓶中仅放入一个最大的球体（假如能放入的话）仅放入一个最大的球体（假如能放入的话）如图如图2 2所示。所示。图图2第16页，共36页，编辑于2022年，星期一由于图由于图1 1中有中有n n3 3个小正方体，而每个小正方个小正方体，而每个小正方体与图体与图2 2的情况相同，每个小球都内切于一个的情况
9、相同，每个小球都内切于一个小正方体小正方体。设大立方体的体积为设大立方体的体积为V V，其内切球体积为，其内切球体积为V V球球，小立方体的体积为，小立方体的体积为V Vi i，小球的体积为，小球的体积为V Vi i球球，显然：显然：由等比定理得：由等比定理得：第17页，共36页，编辑于2022年，星期一由此可知球的大小与所占空间总和无关，由此可知球的大小与所占空间总和无关，于是容易计算出球体所占空间体积与瓶子于是容易计算出球体所占空间体积与瓶子体积比为体积比为 即空隙部分的体积与瓶子体积比约为即空隙部分的体积与瓶子体积比约为48%48%。这表明，按上述条件，当瓶中的水不足瓶这表明，按上述条件
10、，当瓶中的水不足瓶子容积的子容积的48%48%时，乌鸦将难以喝到水时，乌鸦将难以喝到水。第18页，共36页，编辑于2022年，星期一评价和应用评价和应用假如乌鸦聪明得很，能使石子彼此之间挨得更假如乌鸦聪明得很，能使石子彼此之间挨得更紧密些，那么空隙部分也得占瓶子紧密些，那么空隙部分也得占瓶子1/31/3左右左右（只是计算麻烦些，读者可举一实例验证之）（只是计算麻烦些，读者可举一实例验证之）上述计算尽管只是对特殊情况的一种粗略计算，上述计算尽管只是对特殊情况的一种粗略计算，但这也实在难为乌鸦了，不过这不能不使我们考但这也实在难为乌鸦了，不过这不能不使我们考虑这样一个事实，在日常生活中，应当怎样地
11、充虑这样一个事实，在日常生活中，应当怎样地充分利用空间，减少浪费，获得更高的效益，这正分利用空间，减少浪费，获得更高的效益，这正是数学所需要解决的问题。是数学所需要解决的问题。第19页，共36页，编辑于2022年，星期一第20页，共36页，编辑于2022年，星期一例例3 3 航行问题航行问题用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少
12、?x=20y=5求解求解第21页，共36页，编辑于2022年，星期一基本步骤基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。第22页，共36页，编辑于2022年，星期一我们用数学方法解决以上我们用数学方法解决
13、以上3个实际问题个实际问题的过程，其实就是数学建模的过程的过程，其实就是数学建模的过程对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模第23页，共36页，编辑于2022年，星期一 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设建立模型建立模型模型求解模型求解模型分析模型分
14、析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题第24页，共36页，编辑于2022年，星期一模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中建建立立模模型型用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤第25页，共36页，编辑于2022年，星期一
15、模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤第26页，共36页，编辑于2022年，星期一数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)现现实实世世界界数数学
16、学世世界界表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践第27页，共36页，编辑于2022年，星期一本课程的任务和内容本课程的任务和内容 生活中的数学智慧用尽量简单的数学知识，生活中的数学智慧用尽量简单的数学知识，通过建立数学模型，来解决大家生活中的一些经常通过建立数学模型，来解决大家生活中的一些经常碰到的实
17、际问题，从而开拓大家善于发现问题的数碰到的实际问题，从而开拓大家善于发现问题的数学眼光和培养善于思考问题的数学大脑。在本课程学眼光和培养善于思考问题的数学大脑。在本课程里你将接触到以下问题：里你将接触到以下问题：用一定量的水，怎样洗衣服才能洗得更干净？用一定量的水，怎样洗衣服才能洗得更干净？外出的时候，关掉饮水机更省电吗？外出的时候，关掉饮水机更省电吗？刚烧开的水在室温下过多久能喝？刚烧开的水在室温下过多久能喝？为什么北方人家的窗户要用双层玻璃？为什么北方人家的窗户要用双层玻璃？第28页，共36页，编辑于2022年，星期一怎样分配代表席位最合理？怎样分配代表席位最合理？怎样计算每月房贷的还款数
18、额？怎样计算每月房贷的还款数额？你有一笔钱，怎样储蓄可以获得最大利益？你有一笔钱，怎样储蓄可以获得最大利益？家具怎样才能搬进门？家具怎样才能搬进门？怎样设计最佳的电梯运行方案？怎样设计最佳的电梯运行方案？怎样布置输油管道最合理？怎样布置输油管道最合理？怎样让有限的资源发挥最大的作用？怎样让有限的资源发挥最大的作用？怎样减肥效果好？怎样减肥效果好？等诸如此类的问题。等诸如此类的问题。第29页，共36页，编辑于2022年，星期一全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 为了锻炼大学生应用数学解决问题的能力，为了锻炼大学生应用数学解决问题的能力，我国每年举办全国大学生数学建模竞赛。我国每年举办全
19、国大学生数学建模竞赛。竞赛每年九月举行，在指定网站公布竞赛题，参竞赛每年九月举行，在指定网站公布竞赛题，参赛选手届时通过网络下载并完成题目。赛选手届时通过网络下载并完成题目。三人一组报名参加，三人一组报名参加，7272小时合作完成一个题目。小时合作完成一个题目。共四题，本科共四题，本科A A、B B中选中选1 1题，专科题，专科C,DC,D中选中选1 1题。题。解答过程写成论文提交。解答过程写成论文提交。一般要用计算机软件编写程序计算出结果。一般要用计算机软件编写程序计算出结果。可以查阅图书及网络等资料，但要保证自己的独创性，可以查阅图书及网络等资料，但要保证自己的独创性，不能与他人雷同。不能
20、与他人雷同。第30页，共36页，编辑于2022年，星期一我院从我院从20062006年开始参加全国大学生数学建模竞赛，共年开始参加全国大学生数学建模竞赛，共获得江苏省赛区一等奖获得江苏省赛区一等奖1 1项，二等奖项，二等奖2 2项，三等奖项，三等奖3 3项。项。20062006年年 刘万里、胡刘万里、胡 育、仇唐兵育、仇唐兵 省二等奖省二等奖20072007年年 仇唐兵、李兆兵、万丽娜仇唐兵、李兆兵、万丽娜 省三等奖省三等奖20082008年年 万丽娜、潘才林、许万丽娜、潘才林、许 磊磊 省二等奖省二等奖20082008年年 冯士霞、祁金花、赵日亮冯士霞、祁金花、赵日亮 省三等奖省三等奖200
21、92009年年 王宏之、缪振中、皋王宏之、缪振中、皋 乾乾 省三等奖省三等奖20102010年年 周周 洁、钟阳阳、陈荣荣洁、钟阳阳、陈荣荣 省一等奖省一等奖生活中的数学智慧成绩优秀者，可参加全国大学生生活中的数学智慧成绩优秀者，可参加全国大学生数学建模竞赛。数学建模竞赛。第31页，共36页，编辑于2022年，星期一题题目目：四四月月是是菠菠萝萝上上市市的的季季节节，大大家家都都知知道道，吃吃菠菠萝萝前前要要削削皮皮去去籽籽。削削皮皮去去籽籽的的方方法法有有多多种种，有有些些人人从从菠菠萝萝上上部部削削到到下下部部，有有些些人人从从左左往往右右一一圈圈一一圈圈地地削削，水水果果店店的的人人一一
22、般般是是斜斜着着削削，削削完完后后菠菠萝萝上上留留下下的的是是一一条条条条螺螺线线，这这是是一一个个很很有有艺艺术术性性的的刨刨削削过过程程。你你认认为为哪哪种种削削菠菠萝萝的的方方法法最最好好，能能否否从从数数学学角角度度证证明明你你的的结结论论？请请写写出出你你的的结结论论，并并尽尽量量详细地将自己的思考过程以及问题解答过程书写下来。详细地将自己的思考过程以及问题解答过程书写下来。数学建模水平测试数学建模水平测试第32页，共36页，编辑于2022年，星期一 各位同学，本次调查是匿名的，不作为课程成绩的依据，下面各题没有各位同学，本次调查是匿名的，不作为课程成绩的依据，下面各题没有对错之分，
23、请你根据自己在数学学习中的真实情况，选择合适的选项，谢对错之分，请你根据自己在数学学习中的真实情况，选择合适的选项，谢谢你的配合。谢你的配合。1 1你认为学习高等数学很重要吗你认为学习高等数学很重要吗?（）A.A.非常重要非常重要 B.B.比较重要比较重要 C.C.一般一般 D.D.学不学无所谓学不学无所谓 2 2你认为数学与你的日常生活联系有多大你认为数学与你的日常生活联系有多大?（）A A密切相关密切相关 B B比较密切比较密切 C C一般一般 D.D.没联系没联系 3.3.你认为数学与专业课有多大联系你认为数学与专业课有多大联系?（）A A密切相关密切相关 B.B.比较密切比较密切 C.
24、C.一般一般 D.D.没联系没联系 4 4你学习数学的主要目的是什么你学习数学的主要目的是什么?（）A A探索知识，充实自己探索知识，充实自己 B B掌握专业知识，谋求就业发展掌握专业知识，谋求就业发展 C C将来继续深造有用将来继续深造有用 D D毫无目的毫无目的,应付考试而已应付考试而已数学学习情况调查数学学习情况调查第33页，共36页，编辑于2022年，星期一 5.5.我认为学好数学对我来说：（我认为学好数学对我来说：（）A.A.很有价值很有价值 B B价值一般价值一般 C C价值很小价值很小 D D毫无价值毫无价值 6.6.你认为可以用数学方法、数学知识解决实际问题吗你认为可以用数学方
25、法、数学知识解决实际问题吗?（）A.A.非常同意非常同意 B.B.同意同意 C.C.有点同意有点同意 D.D.不同意不同意 7.7.你曾经用过数学方法、数学知识解决实际问题吗你曾经用过数学方法、数学知识解决实际问题吗?（）A.A.经常经常 B.B.多次多次 C.C.偶尔偶尔 D.D.从没有从没有 8.8.你觉得学了数学的收获有多大你觉得学了数学的收获有多大?（）A.A.很大很大 B.B.比较大比较大 C.C.有一点收获有一点收获 D.D.没收获没收获 9 9我的数学学习中成败的经验情况（我的数学学习中成败的经验情况（）A A成功多成功多 B B失败多失败多 C C两者差不多两者差不多 D D不
26、知道不知道 10 10我认为数学学业方面的成败主要取决于（我认为数学学业方面的成败主要取决于（）A A自身努力程度自身努力程度 B B学习任务的难度学习任务的难度 C C学校教育质量学校教育质量 D D数学学习能力数学学习能力 第34页，共36页，编辑于2022年，星期一1111我认为数学教材对我学习数学的驱动作用我认为数学教材对我学习数学的驱动作用A A显然存在显然存在 B.B.存在但不显然存在但不显然 C.C.不存在不存在 D D不确定不确定1212我认为促使我探究数学的主要原因是（我认为促使我探究数学的主要原因是（）A A爱好爱好 B B兴趣兴趣 C.C.好奇好奇 D D与原有知识矛盾与
27、原有知识矛盾1313我的数学老师对学生：（我的数学老师对学生：（）A A很关心，呵护很关心，呵护 B B比较关心比较关心 C C一点点关心一点点关心 D D漠然漠然1414我的数学老师主导情绪状态是：（我的数学老师主导情绪状态是：（）A A热情、投入热情、投入 B B平静温和平静温和 C C冷漠不悦冷漠不悦 D D易怒生气易怒生气1515我对我的数学老师是：（我对我的数学老师是：（）A A尊敬爱戴尊敬爱戴 B B敬畏敬畏 C C感情平平感情平平 D D憎恨讨厌憎恨讨厌第35页，共36页，编辑于2022年，星期一1616我在学习数学一般情绪状态为：（我在学习数学一般情绪状态为：（）A A快乐感兴
28、趣快乐感兴趣 B B不快乐不厌恶不快乐不厌恶 C C厌倦萎靡厌倦萎靡 D D无所谓无所谓1717我对数学学习产生消极情绪的主要原因是（我对数学学习产生消极情绪的主要原因是（）A A因为难因为难 B B讨厌数学老师讨厌数学老师 C C不会就不爱学不会就不爱学 D D兴趣原因兴趣原因1818我对数学学习（我对数学学习（）A.A.充满信心充满信心 B B比较有信心比较有信心 C C一点点信心一点点信心 D.D.毫无信心毫无信心19.19.当我在数学学习遇到困难时（当我在数学学习遇到困难时（）A A寻求帮助克服圈难寻求帮助克服圈难 B B退缩不前逃避困难退缩不前逃避困难 C C放一放以后再解决放一放以后再解决 D D无所谓无所谓2020我认为自己在数学学习上最缺乏的是（我认为自己在数学学习上最缺乏的是（）A A自觉性自觉性 B.B.毅力毅力 C.C.兴趣兴趣 D.D.数学基础数学基础第36页，共36页，编辑于2022年，星期一