数学建模公选课第一讲精品文稿.ppt

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1、数学建模公选课第一讲数学建模公选课第一讲第1页，本讲稿共50页 高技术的出现把我们的社会高技术的出现把我们的社会推进到数学技术的新时代。在经推进到数学技术的新时代。在经济竞争中济竞争中,数学是不可少的数学是不可少的,数学数学科学是一种关键性的科学是一种关键性的,普遍的能普遍的能够实行的技术。够实行的技术。第2页，本讲稿共50页l数学这门历史悠久的科学，在第二次世界大战以来的半个世纪中出现了空前的繁荣。l在各分支的研究取得许多重大突破的同时，数学各分支之间、数学与其它学科之间的新的联系不断涌现，从而显著地改变了数学科学的面貌。l而意义最为深远的，则是数学在社会生活中的作用已经发生了革命性的变化。

2、第3页，本讲稿共50页当前突飞猛进发展的数学应用:l数学和各门学科的发展,高技术的出现.l经济的快速发展,社会的飞跃进步.l计算机的发展和普及,人类进入了数字化的时代.第4页，本讲稿共50页玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一

3、部分特征中人们需要的那一部分特征我们常见的模型我们常见的模型 一.从现实对象到数学模型第5页，本讲稿共50页你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第6页，本讲稿共50页l 数学模型（Mathematical Model）对于现实世界的一个对于现实世界的一

4、个特定对象特定对象,为了一个为了一个特定目的特定目的,根据特有根据特有的的内在规律内在规律,做出一些必要的做出一些必要的简化假设简化假设,运用适当的运用适当的数学工具数学工具,得到的一个得到的一个数学结构数学结构.l 数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程过程。（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）二.数学模型与数学建模 第7页，本讲稿共50页模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准

5、备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题 三.数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用第8页，本讲稿共50页航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,

6、y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。第9页，本讲稿共50页数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)现实世界数学世界表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践第10页，本讲稿共50页 四.数学建模的常用软件常见的通用数学软件包包括Matlab和Mathematica、WQSB、S

7、AS、LINDU、LINGO和Maple。其中Matlab是一个高性能的科技计算软件，广泛应用于数学计算、建模、仿真和数据分析处理及工程作图，Mathematica 是数值和符号计算的代表性软件，Maple以符号运算、公式推导见长。第11页，本讲稿共50页 1.电电子子计计算算机机的的出出现现及及飞飞速速发发展展,数数学学以以空空前前的的广广度度和和深深度度向向一一切切领领域域渗渗透透。2.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视到人们的重视,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大

8、有用武之地；3.在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。4.帮助同学进一步地了解数学的广泛应用性为实际问题提供帮助同学进一步地了解数学的广泛应用性为实际问题提供分析分析,预报预报,决策或控制决策或控制5.数学建模顺应了当前的教育改革的需要数学建模顺应了当前的教育改革的需要 五.数学建模的重要意义第12页，本讲稿共50页 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼 六.数

9、学建模的具体应用第13页，本讲稿共50页模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点 七.数学模型的特点和分类第14页，本讲稿共50页数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱

10、黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续第15页，本讲稿共50页分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生 态系统模型、交通流模型、经 济模型、基因模型等第16页，本讲稿共50页数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍

11、适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目 八.怎样学习数学建模第17页，本讲稿共50页数学建模实践的数学建模实践的 每一步中都每一步中都 蕴含着能力上的蕴含着能力上的 锻炼，在调查研锻炼，在调查研究阶段，需究阶段，需 要用到要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理能力数据处理能力等。在等。在提出假设提出假设 时，又需要用到时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归纳 简化能力。简化能力。在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人在真正

12、开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工的工作，使自己的工 作成为别人研究工作作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内内查到并学会查到并学会我想应用的知识我想应用的知识的本领。的本领。还需要你多少要有点还需要你多少要有点 创新的能力创新的能力。这种能力不是生来就有。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。的，建模实践就为

13、你提供了一个培养创新能力的机会。九.数学建模与能力的培养 开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 题的本领。第18页，本讲稿共50页例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？十.一些简单实例 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。第19页，本讲稿共50页请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？第20页，本讲稿共50页 显然是由于节省了从相遇点到约

14、会点，又从约会点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到约会点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达约会点，故相遇时他已步行了二十五分钟。第21页，本讲稿共50页 换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往约会地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？第22页，本讲稿共50页例2 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。第23页，本讲稿共50页不难看出，是水 的温

15、度在决 定洗盘子的数量。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为 水不够热了。第24页，本讲稿共50页 那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？第25页，本讲稿共50页盘子有大小吗盘子有大小吗?是什么样的盘是什么样的盘子？盘子是怎样的子？盘子是怎样的?不不妨妨假设假设我们了解到：盘子大小我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一一清洗

16、。然后一一清洗。第26页，本讲稿共50页不妨可以提出以下不妨可以提出以下 简化假设简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑水池、空气吸热不计，只考虑 盘盘子吸热，盘子的大小、材料相同子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度水池中的水量为常数，开始温度为为T1，最终换水时的温度为，最终换水时的温度为 T2（4）每个盘子的洗涤时间每个盘子的洗涤时间 T是一个是一个常数。（常数。（这一假设甚至可以去掉这一假设甚至可以去掉 不要不要）第27页，本讲稿共50页根据上述简化假设，利用热

17、量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。第28页，本讲稿共50页可见，假设条件 的提出不 仅和你 研究的问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。第29页，本讲稿共50页例3 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重心重心在中点在中点1/21/2砖长处，现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。Zn(n1)n

18、(n1)由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，第30页，本讲稿共50页故砖块向右可叠至 任意远，这一结果多少有点出人意料。第31页，本讲稿共50页系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%）比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 结果10.815 6.615 3.570 21.000 21例例4:席位席位分配问题分配问题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），），代表会

19、议共代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增若增加为加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%）比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%）比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6

20、丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21第32页，本讲稿共50页“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n

21、1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平程的不公平程度已大大降低度已大大降低!虽二者的绝对不虽二者的绝对不公平度相同公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5第33页，本讲稿共50页公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对，即对A不公平不公平 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性

22、的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义，定义第34页，本讲稿共50页1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B第35页，本讲稿共50页当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B

23、定义该席给Q值较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法计算，第36页，本讲稿共50页三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法分值方法分配结果配结果公平吗？公

24、平吗？Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系第37页，本讲稿共50页进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2,nm(自自然应有然应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是应是 N和和 p1,pm 的函数，即的函数，即ni=ni(N,p1,pm)若若qi 均为整数

25、，显然应均为整数，显然应 ni=qi 第38页，本讲稿共50页 qi=Npi/P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi=floor(qi)向向 qi方向取整；方向取整；qi+=ceil(qi)向向 qi方向取整方向取整.1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni 必取必取qi,qi+之之一一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足 2）,但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令

26、人遗憾！第39页，本讲稿共50页例例5:商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一岸在河的任一岸,一旦随从一旦随从的人数比商人多的人数比商人多,就杀人掠货就杀人掠货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使经有限步使全体人员过河全体人员过河

27、.河小船(至多2人)第40页，本讲稿共50页模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态过程的状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策决策D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律状态转移律求

28、求dk D(k=1,2,n),使使sk S,并按并按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策问多步决策问题题第41页，本讲稿共50页模型求解 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y)16个格点个格点 10个 点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格;k奇奇,左下移左下移;k偶偶,右上移右上移.d1,，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况xy3322110s1sn+1d1d11允许状态允许状态S=(x,y)x=0,y=0,1

29、,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2第42页，本讲稿共50页背景背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长例6 如何预报人口的增长第43页，本讲稿共50页指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出(17

30、98)常用的计算公式常用的计算公式x(t)时刻时刻t的人口的人口基本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长第44页，本讲稿共50页指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预

31、测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第45页，本讲稿共50页阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第46页，本讲稿共50页dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(

32、t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第47页，本讲稿共50页参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第48页，本讲稿共50页模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0第49页，本讲稿共50页谢 谢！第50页，本讲稿共50页