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1、数学建模n数学是上帝用来书写宇宙的文字。伽利略我们的数学教育的目标n让学生在生活中有意识或无意识的应用数学分析。-Mathth一一.建模概论n原型：人们在现实世界中关心，研究或者从事生产管理的实际对象我们通常称为原型。n模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物物。二：模型的分类二：模型的分类 直观模型 1.物质模型 物理模型（形象模型）思维模型2.理想模型 符号模型 （抽象模型）数学模型数学模型数学模型（Mathematical Model）n数学模型：数学模型：对于一个现实对象，对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在为了一个特定目的，根据其内
2、在规律，作出必要的简化假设，运规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构。数学模型的分类 数学模型按照不同的分类方式可以分成不同的种类1.按照应用领域分：人口模型，交通模型，等.2.按照建立模型的数学方法分：初等模型，微分方程模型，等.数学建模数学建模Mathematical ModelingMathematical Modelingn建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验，应用等）n数学建模中常用的数学知识与软件知识数学知识n分析（微积分，泛函分析，随机分析）n代数（线性代数，抽象代数）n几何（微分几何，离散几何，）n概率
3、（概率论，随机过程）n统计（参数统计，非参数统计）n优化（组合优化）n常用软件nWord,Excel,Latex,and so onnMatlab,Mathematica.Maple,nLingo,Lindo,nSAS,Spss R语言数学建模n建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、（包括表述、求解、解释、检验等）检验等）1.1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料，做好建模的准备。必要的数据资料，做好建模的准备。2.2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对
4、资料的分析计算，对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，抽象，提出若干符合客观实际的假设。的精炼、简化，抽象，提出若干符合客观实际的假设。3.3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即即建立数学模型。建立数学模型。4.4.模型求解。模型求解。5.5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。三：三：数学建模的一般步骤数学建模的一般
5、步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题数学建模示例n椅子能在不平的椅子能在不平的地面上放稳吗？地面上放稳吗？例例1:1:椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？问题分析问题分析模模型型假假设设通常三只脚着地通常三只脚着地放稳四只脚着地放稳四只脚着地1.1.四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四四条腿一样长，椅脚与地
6、面点接触，四2.2.脚连线呈正方形脚连线呈正方形;2.2.地面高度连续变化，可视为数学上的连地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面续曲面;3.3.地面相对平坦，使椅子在任意位置至少地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。三只脚同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xB BA AD DC COOD DC C B B A A 用用(对角线与对角线与x x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函
7、数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 为为f(f()B,D B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和为为g(g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCDABCD绕绕OO点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f f(),),g g()是是连续函连续函数数对任意对任意,f f(),),g g()至少一个为至少一个为0 0数学数学问题问题已知：已知：f f(),),g g()是是连续函数连续函数 ;且且 对任意对任意
8、，f f()g g()=0;)=0;且且 g g(0 0)=0)=0，f f(0 0)0.)0.证明：存在证明：存在 0 0，使，使f f(0 0)=)=g g(0 0)=0.)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转90900 0，对角线，对角线ACAC和和BDBD互换。互换。由由g g(0 0)=0)=0，f f(0 0)0)0，知，知f f(/2/2)=0,)=0,g g(/2/2)0.)0.令令h h()=)=f f()g g()
9、,),则则h h(0)0(0)0和和h h(/2/2)0.)0.由由 f,gf,g的连续性知的连续性知 h h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质,必存在必存在 0 0,使使h h(0 0)=0,)=0,即即f f(0 0)=)=g g(0 0).).因为因为f f()g g()=0,)=0,所以所以f f(0 0)=)=g g(0 0)=0.)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键假设条件的本质与非本质假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f f(),),g g()的确定的确定例例2.2.商人们怎样安全过河商人们怎样安全
10、过河(智力游戏智力游戏)3 3名商人名商人 3 3名随从名随从随从们密约随从们密约,在河的任一岸在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策：每一步每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员船上的人员要求要求：在安全的前提下在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河.河河小船小船(至多至多2 2人人)模型构成模型构成
11、x xk k第第k k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数y yk k第第k k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数x xk k,y yk k=0,1,2,3;=0,1,2,3;k k=1,2,=1,2,s sk k=(=(x xk k ,y yk k)过程的状态过程的状态S=(S=(x x ,y,y)x x=0,=0,y y=0=0,1,2,3;,1,2,3;x x=3,=3,y y=0=0,1,2,3;,1,2,3;x x=y y=1,2=1,2S S为为允许状态集合允许状态集合U Uk k：第：第k k次渡船上的商人数次渡船上的商人数V Vk k：第：第k k次渡船上的随从数次渡
12、船上的随从数d dk k=(=(u uk k ,v vk k)决策决策D=(D=(u u ,v,v)u+vu+v=1,2 1,2 允许允许决策决策集合集合u uk k,v vk k=0,1,2;=0,1,2;k k=1,2,=1,2,状态转移方程状态转移方程求求d dk k D(D(k k=1,2,=1,2,n),n),使使s sk k S S,并并按按转移转移方程方程由由 s s1 1=(3,3)=(3,3)到达到达 s sn n+1+1=(0,0).=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解x xy y3 33 32 22 21 11 10 0 穷举法穷举法 ：编程上机：编程上
13、机 图解法图解法状态状态S S=(=(x,yx,y)16)16个格点个格点1010个点个点允许决策移动允许决策移动1 1或或2 2格格;k k奇奇,左下移左下移;k k偶偶,右上移右上移.s s1 1s sn n+1+1d d1 1,，d d11 11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4 4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d d1 1d d11 11允许状态允许状态S S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x,y=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 197
14、4 1987 19991625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 605 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长如何预报人口的增长如何预报人口的增长 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 20001908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.03.
15、0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)(1798)常用的计算公式常用的计算公式x x(t t)时刻时刻t t的的人口人口基本假设基本假设 :人口人口(相对相对)增长率增长率 r r 是常数是常数今年人口今年人口 x x0 0,年增长率年增长率 r rk k年后人口年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与1919世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于1919世纪后
16、迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数
17、量增加而变大假设假设r r固有增长率固有增长率(x x很小时很小时)x xmm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r r是是x x的减函数的减函数阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设r r固有增长率固有增长率(x x很小时很小时)x xmm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的
18、最大数量）r r是是x x的减函数的减函数dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x x(t t)S)S形曲线形曲线,x x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r r 或或 r,r,x xmm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38
19、.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算20002000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为281.4(281.4(百万百万)模型应用模型应用预报美国预报美国20102010年的人口年的人口加入加入20002000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数Logistic Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞
20、增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型)r r=0.2490,=0.2490,x xmm=434.0=434.0 x(2010)=306.0参考书目nW.F.Lucas.微分方程模型，国防科技大学出版社，1988.nW.F.Lucas.生命科学模型，国防科技大学出版社，1996.nW.F.Lucas.离散与系统模型，国防科技大学出版社，1996.nW.F.Lucas.政治及有关模型，国防科技大学出版社，1996.n叶其孝.大学生数学模型竞赛辅导教材(一)、(二)、(三)（四），湖南教育出版社，1997.n李尚志等.数学建模竞赛教程，江苏教育出版社，1996.n叶其孝.数学建模教育与国际数学建模竞赛工科数学专辑，工科数学杂志社，1994.n李大潜.中国大学生数学建模竞赛，高等教育出版社，1998.n杨启帆.数学建模，高等教育出版社，2005.n近藤次郎.数学模型,机械工业出版社，1976.