数学建模(第一讲).ppt

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1、数学建模（数学建模（第一讲）-李洪明李洪明第一章第一章引言引言数学建模数学建模:用数学的方法解决实际问题；要求从世纪用数学的方法解决实际问题；要求从世纪错综复杂的的关系中找出其内在规律，然后错综复杂的的关系中找出其内在规律，然后用数字、图表、符号、和公式把他们表示出用数字、图表、符号、和公式把他们表示出来，再经过数学与计算机的处理，得出供人来，再经过数学与计算机的处理，得出供人们进行分析、决策、预报或者控制的定量结们进行分析、决策、预报或者控制的定量结果。我们把这种将实际问题进行简化归结为果。我们把这种将实际问题进行简化归结为数学问题并求解的过程称为建立数学模型，数学问题并求解的过程称为建立数

2、学模型，简称数学建模或建模。简称数学建模或建模。数学模型也可以简单的理解为：用数学模型也可以简单的理解为：用数学的方法解决实际问题。数学的方法解决实际问题。实例实例1 1 室内温度应调节在什么温度室内温度应调节在什么温度值时为最佳？值时为最佳？答：人的正常体温是答：人的正常体温是36.536.5度，度，36.536.5o o 0.618=22.557 0.618=22.557o o ，这个温度最佳。这个温度最佳。实例实例2张阿婆携一篓鸡蛋到集市上张阿婆携一篓鸡蛋到集市上去出售，若个一堆则余个，若去出售，若个一堆则余个，若个一堆则余个，问共有鸡蛋个一堆则余个，问共有鸡蛋多少个？多少个？解：设鸡蛋

3、分成个一堆共解：设鸡蛋分成个一堆共x堆堆,12个一堆共个一堆共y堆堆则则9x+2=12y+7解得解得x=19,y=13张阿婆共携鸡蛋张阿婆共携鸡蛋9*19+2=173个个原型：原型：原型是指人们在现时世界里关心、研原型是指人们在现时世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。究或者从事生产、管理的实际对象。模型：模型：模型是指为了某个目的，将原型的某一模型是指为了某个目的，将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型的替代部分信息减缩、提炼而构成的原型的替代物。物。实例实例3 3 古古 题题枯木周四尺、高九尺；枯木周四尺、高九尺；葛藤经三周而达其顶；葛藤经三周而达其顶；藤长几何也藤长几何也?要

4、解决这道古题，让我们先从一要解决这道古题，让我们先从一道现代简单问题入手，寻找思路，探索道现代简单问题入手，寻找思路，探索求解方法。求解方法。实例实例4 4 一只圆柱形油罐的底圆周为长一只圆柱形油罐的底圆周为长4 4米，米，高高3 3米；一只蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到米；一只蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到达罐的顶部，求蛐蛐的爬行距离。达罐的顶部，求蛐蛐的爬行距离。C=4mh=3m4m3mL=42+321/2=5(m)高高9尺尺周周4尺尺高高3尺L=3*42+321/2=15古古题题周周4尺尺模型模型数学模型是模型的一种形式，属理数学模型是模型的一种形式，属理想模型（又称为抽象模型），是将现实想模型（又

5、称为抽象模型），是将现实事物设定在一种理想状态，依据对事物事物设定在一种理想状态，依据对事物所关心的目标，找出相关的主要因素，所关心的目标，找出相关的主要因素，分析其内在联系，将目标及全部相关因分析其内在联系，将目标及全部相关因素符号化、数量化；用数学的方法把这素符号化、数量化；用数学的方法把这种关系表述出来（图形、图像、数表、种关系表述出来（图形、图像、数表、解析式），这种数学表述形式就是数学解析式），这种数学表述形式就是数学模型。模型。一般地说，数学模型可以描一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象，为了一个特定目的，

6、根据特有的内在规律，做出一些必要特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用一些适当的数的简化假设，运用一些适当的数学工具，得到的一个数学结构。学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的过程就称为建模。建立数学模型的过程就称为建模。实例实例5 5 人人口口模模型型某某市市2005年年初初有有常常住住人人口口100万万，流流动动人人口口20万万，已已知知流流动动人人口口的的年年增增长长率率为为1%，常常住住人人口口的的年年增增长长率率为为0.5%,请请你你预预测测到到2055年初该市拥有的人口数。年初该市拥有的人口数。解：解：2050年初该市拥有的人口数为年初该市拥有的人口数为S=100(1+0

7、.5%)50+20(1+1%)50利用二项式定理可得利用二项式定理可得(1+0.5%)501.293，(1+1%)501.628故故S1001.293+201.628=161.82（万）万）建立数学模型来解决实际问题建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业、各科技领域的过程，是各行各业、各科技领域大量需要的，做这样的事情远不只大量需要的，做这样的事情远不只是数学知识和解数学题目的能力，是数学知识和解数学题目的能力，而需要多方面的综合知识与能力。而需要多方面的综合知识与能力。因此，学校应当努力培养和提高学因此，学校应当努力培养和提高学生在这方面的能力生在这方面的能力。正是由于认识到培养应用型

8、、研究正是由于认识到培养应用型、研究型科技人才的重要性，而传统的数学型科技人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务，从竞赛不能担当这个任务，从1983年起，年起，美国就有一些有识之士探讨组织一项美国就有一些有识之士探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资金等过程，论证、争论、争取资金等过程，1985年举行了美国第一届大学生数学建模年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛。竞赛。简称简称MCM竞赛由美国工业与用数竞赛由美国工业与用数学学会和美国运筹学学会联合主办。学学会和美国运筹学学会联合主办。从从1985年起每年举行一届，时间年起每年举行

9、一届，时间定为每年的二月下旬或三月初的星期定为每年的二月下旬或三月初的星期五到星期日举行。五到星期日举行。这项竞赛的宗旨是鼓励学生运用所这项竞赛的宗旨是鼓励学生运用所学的知识（数学及其各门科学的知识）学的知识（数学及其各门科学的知识）去参与解决实际问题的全过程。这些实去参与解决实际问题的全过程。这些实际问题并不限于某个固定领域，可以涉际问题并不限于某个固定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围和领域。及非常广泛的、并不固定的范围和领域。美国的美国的MCM虽然只是美国的国内虽然只是美国的国内赛，赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且越来越多国家的大学参加这

10、一竞赛，因此，越来越多国家的大学参加这一竞赛，因此，在某种意义上它已经是国际比赛。我国最在某种意义上它已经是国际比赛。我国最早由北京三所大学组队参加美国的早由北京三所大学组队参加美国的MCM竞赛，继后我国参加此项比赛的大学越来竞赛，继后我国参加此项比赛的大学越来越多。越多。我国大学生数学建模竞赛（我国大学生数学建模竞赛（CUMCM）1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月)2008年有年有31省省(市、区）的市、区）的1022所学校所学校12836队参加队参加网址

11、：网址：http:/奖励：全国一等奖（约奖励：全国一等奖（约2%）、全国二等奖（约）、全国二等奖（约7%）教育部高教司和）教育部高教司和CSIAM共同签章共同签章1999年起竞赛分为甲组年起竞赛分为甲组(本科本科)、乙组、乙组(高职高专组高职高专组)优秀论文刊登于次年优秀论文刊登于次年工程数学学报工程数学学报（2000年前为年前为数学的实践与认识数学的实践与认识）内容内容赛题：工程、管理中经过简化的实际问题赛题：工程、管理中经过简化的实际问题答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解解(通常用计算机通常用计算机)、结果分析和检验等的论文、结果分析和检

12、验等的论文形式形式3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛可使用任何可使用任何“死死”材料材料(图书图书/互联网互联网/软件等软件等),但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。结果的正确性，表述的清晰性。数学建模竞赛内容与形式数学建模竞赛内容与形式年份年份A题题B题题C题题D题题2003SARS的传播的传播露天矿生产的露天矿生产的车辆安排车辆安排SARS的传的

13、传播播抢渡长江抢渡长江2004奥运会临时超奥运会临时超市网点设计市网点设计电力市场的输电力市场的输电阻塞管理电阻塞管理饮酒驾车饮酒驾车公务员招聘公务员招聘2005长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测DVD在线租赁在线租赁 雨量预报方雨量预报方法的评价法的评价DVD在线租在线租赁赁2006出版社的资源出版社的资源配置配置艾滋病疗法的艾滋病疗法的评价和疗效的评价和疗效的预测预测易拉罐形状易拉罐形状和尺寸的最和尺寸的最优设计优设计煤矿瓦斯和煤矿瓦斯和煤尘的监测煤尘的监测与控制与控制2007中国人口增长中国人口增长预测预测 乘公交，看奥乘公交，看奥运运手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 体能测试

14、时体能测试时间安排间安排 2008数码相机定位数码相机定位高等教育高等教育收费收费标准探讨标准探讨地面搜索地面搜索NBA赛程的赛程的分析与评价分析与评价数学建模竞赛数学建模竞赛CUMCM近年题目近年题目CUMCM题目特点题目特点题目来源题目来源:实际研究课题的简化、改编；有实际背实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算

15、等基本课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容方法；专科题目力求少用大学数学内容解题所用的数学方法尽量多元化、综合化解题所用的数学方法尽量多元化、综合化可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献兼顾数据的处理与数据的收集兼顾数据的处理与数据的收集竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力际的学风和实践能力解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研

16、究的能力能力没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神挥聪明才智和创造精神综合运用学过的数学知识和计算机技术综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的选择合适的数学软件数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力通过数学建模分析、解决实际问题的能力三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力时间内获取与赛题有关知识的能力分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力同学的团队精

17、神和组织协调能力完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力技论文，培养同学的文字表达能力竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神和自律精神数学建模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次数学建模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次“真刀真枪真刀真枪”的训练，相当程度上模拟了学生毕业的训练，相当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况后工作时的情况u丰富、活跃了广大同学的课外生活丰富、活跃了广大同学的课外生活u为优秀学生

18、脱颖而出创造了条件为优秀学生脱颖而出创造了条件竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 数学建模竞赛的赛后效果数学建模竞赛的赛后效果竞赛三阶段竞赛三阶段:赛前培训、三天竞赛、赛后继续赛前培训、三天竞赛、赛后继续2004年的年的“饮酒驾车饮酒驾车”赛题是让学生分析、估计司赛题是让学生分析、估计司机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇

19、事血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇事若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度该成果参加第九届该成果参加第九届“挑战杯挑战杯”全国大学生课外学全国大学生课外学术科技作品竞赛并获奖术科技作品竞赛并获奖实例实例6建建筑筑问问题题房房屋屋建建筑筑成成本本由由土土地地使使用用权权取取得得费费和和材材料料工工程程费费两两部部分分组组成成。某某市市今今年年的的土土地地使使用用权权取取得得费费为为2000元元/m2；材材料料工工程程费费在在建建造造第第一一层层时时为为400元元/m2，以以后后每每增增加加一一层层费费用用增增加加40元元/m2，请请你你帮帮

20、助助设设计计学学校校科科技技综综合合大大楼楼的的层层数数，使使每每层层每每平平方方米米建建筑筑面面积积的的平平均均成成本本费费最最节省节省(成本最低成本最低)?解解：设设学学校校科科技技综综合合大大楼楼共共有有n层层，底底层层的的建建筑筑面面积积为为s，则则总总成成本本费费为为F=2000s+400s+440s+480s+400+（n-1）40s=(20n2+380n+2000)s故每层每平方米建筑面积的平均成本费为故每层每平方米建筑面积的平均成本费为f=（20n2+380n+2000）s（ns）=20n+380+2000/n400+380=780当且仅当当且仅当20n=2000/n,即即n=

21、10时等号成立。时等号成立。当当学学校校科科技技综综合合大大楼楼建建造造10层层时时，每每层层每每平平方方米米建建筑筑面面积积的的平平本本费费最最低低为为780元元/m2.数学建模的常用方法：数学建模的常用方法：1 1、机理分析法。、机理分析法。2 2、构造分析法、构造分析法3 3、直观分析法。、直观分析法。4 4、数值分析法。、数值分析法。5 5、数学分析法。、数学分析法。数学本领高了，参与数学建模工作就更数学本领高了，参与数学建模工作就更得心应手了，兴趣更浓。得心应手了，兴趣更浓。著名德国数学家著名德国数学家H.G.Grassmann认为：认为：“数学除了锻炼敏锐的理解能力，发现真数学除了

22、锻炼敏锐的理解能力，发现真理外，它还有另一个训练全面考虑科学系理外，它还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。统的头脑的开发功能。”数学建模不同于数学建模不同于其他数学分支，从教学的角度来看，重点其他数学分支，从教学的角度来看，重点不是学习理解数学知识本身，而是在于数不是学习理解数学知识本身，而是在于数学方法的掌握、数学思维的建立。学方法的掌握、数学思维的建立。实例实例7 7商品调价问题商品调价问题 若若将将某某商商品品先先涨涨价价1010，然然后后再再降降价价1010，所所得得的的价价格格与与原原先先的的价价格格相相比比有有无无变变化化？不不少少同同学学会会不不加加思思索索脱脱口口而

23、而出出：那那还还用用问问吗吗？肯肯定不变！果真如此吗？定不变！果真如此吗？比如设这种商品原价为比如设这种商品原价为100100元，元，则涨价则涨价1010后价格为后价格为10010010=11010=110元，元，再降价再降价1010就是就是110-11=99110-11=99元，可见元，可见比原先的价格便宜了。所以很多事情比原先的价格便宜了。所以很多事情不能想当然贸然下结论，还是动笔算不能想当然贸然下结论，还是动笔算一算为好，才能做到心中有一算为好，才能做到心中有“数数”。请请研研究究下下例例：某某商商品品拟拟作作两两次次调调价价，设设p pq q0 0，有下列六种方案供选择：有下列六种方案

24、供选择：(A)(A)选涨价选涨价p%p%，再降价再降价q%;q%;(B)(B)选涨价选涨价q%q%，再降价再降价p%;p%;(C)(C)选涨价选涨价(p+q)/2%(p+q)/2%，再降价再降价(p+q)/2%;(p+q)/2%;(D)(D)选涨价选涨价(p*q)(p*q)1/21/2%，再降价再降价(p*q)(p*q)1/21/2%;%;(E)(E)选涨价选涨价(p+q)/2%(p+q)/2%，再降价再降价(p*q)(p*q)1/21/2%;%;(F)(F)选涨价选涨价(p*q)(p*q)1/21/2%，再降价再降价(p+q)/2%;(p+q)/2%;若规定两次调价后该商品的价格若规定两次调

25、价后该商品的价格最高的方案称为好方案。请判断最高的方案称为好方案。请判断其中哪一个是好方案？其中哪一个是好方案？方案（方案（A）是好方案。是好方案。数学建模的基本步骤：数学建模的基本步骤：1 1、问题分析、问题分析2 2、模型假设模型假设3 3、模型建立模型建立4 4、模型求解模型求解5 5、分析检验分析检验6 6、论文写作、论文写作7 7、应用实际、应用实际二十一世纪的工作者二十一世纪的工作者需要具有以下能力需要具有以下能力1.抽象思维能力抽象思维能力2.逻辑推理能力逻辑推理能力3.数学运算能力数学运算能力4.空间想象能力空间想象能力5.数学建模能力数学建模能力6.数值计算与数据处理能力数值

26、计算与数据处理能力7.使用数学软件的能力使用数学软件的能力8.更新知识的能力更新知识的能力主要学习内容：主要学习内容：1 1、量纲分析。、量纲分析。2 2、集合分析。、集合分析。3 3、微分方程。、微分方程。4 4、差分方程。、差分方程。5 5、差值与拟合。、差值与拟合。6 6、层次分析。、层次分析。7 7、概率分布。、概率分布。8 8、数理统计。、数理统计。9 9、回归分析。、回归分析。1010、线性规划。、线性规划。1111、整数规划。、整数规划。1212、非线性规划。、非线性规划。1313、动态规划。、动态规划。MATLAB、LINDO等内容。等内容。第二章第二章 两种初等分析方法两种初

27、等分析方法初等分析方法：所用的数学知识和方法都是初等的，所用的数学知识和方法都是初等的，在解决实际问题的过程中，往往主要是在解决实际问题的过程中，往往主要是看解决问题的效果和应用的结果如何，看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方而不在于用了初等的方法还是高等的方法。法。初等分析建模方法初等分析建模方法 常用的方法有：类比分析法、几何分析法、类比分析法、几何分析法、逻辑分析法、量纲分析发、逻辑分析法、量纲分析发、集合分析法等。集合分析法等。(一一)、量纲分析法、量纲分析法 量纲量纲：对物理概念进行定量描述时所对物理概念进行定量描述时所 用的基本表述，如：质量用的基本

28、表述，如：质量MM、长度长度LL、速度、速度V=LTV=LT-1-1、力、力F=MLTF=MLT-2-2 等。等。Buckingham PiBuckingham Pi定理定理：设设m m个物理量个物理量q q1,1,q q2,2,q qm m满足定律：满足定律：f(qf(q1 1,q,q2 2,q,qm m)=0,)=0,X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是基本量纲是基本量纲(nm)(nm)。q qj j的量纲可的量纲可以表示为以表示为qqj j=X Xi iaijaij。矩阵。矩阵A=(aA=(aijij)n nm m称为称为量纲矩阵，若量纲矩阵，若A A的秩的秩rank(A)=r,r

29、ank(A)=r,可设线性齐可设线性齐次方程组次方程组AY=0(YAY=0(Y是是m m维向量维向量),),有有m-rm-r个基本解个基本解Y Yk k=(y=(yk1k1,y,yk2k2,y,ykmkm)T T(k=1,2,(k=1,2,m-r),m-r),则有则有m-rm-r个相互独立的无量纲的量。个相互独立的无量纲的量。量纲分析法的一般步骤：量纲分析法的一般步骤：1 1、将于问题有关的物理量（变量和常量）、将于问题有关的物理量（变量和常量）收集起来，记为收集起来，记为q q1 1,q,q2 2,q,qm m,根据问题的物根据问题的物理意义确定基本量纲，记为理意义确定基本量纲，记为x x1

30、 1,x,x2 2,x,xn n(n(nm)m)。2 2、写书、写书q qj j的量纲的量纲qqj j=X=Xj jaijaij(j=1,2,(j=1,2,m),m)。3 3、设、设q q1 1,q,q2 2,q,qm m满足关系满足关系=q=qj jyjyj,其中其中y yj j为待定的，为待定的，为无纲的量。为无纲的量。4 4、解方程组解方程组a aijijy yj j=0 (i=1,2,=0 (i=1,2,n),n),系系数矩阵数矩阵A=(aA=(aijij)n nm m,rank(A)=r,rank(A)=r,则方程组有则方程组有m-rm-r个基本个基本,y,yk k=(y=(yk1k

31、1,y,yk2k2,y,ykmkm)T T,（k=1,k=1,m-r,m-r）。）。5 5、记、记k k=q=qj jykj ykj,则则k k(k=1,2,(k=1,2,m-r),m-r)为为无量纲的量。无量纲的量。6 6、由、由 F(F(1 1,2 2,m-rm-r)=0)=0 解出物理解出物理规律。规律。建模实例：空间点热源的扩散问题。建模实例：空间点热源的扩散问题。一、问题的提出一、问题的提出设初始时刻设初始时刻(t=0)(t=0)在空间中有一热量为在空间中有一热量为e e的的瞬时热源位于原点处瞬时热源位于原点处(r=0),(r=0),热量通过介质热量通过介质向无穷远空间扩散，试研究点

32、热源的扩散向无穷远空间扩散，试研究点热源的扩散规律。规律。二、模型假设二、模型假设1.1.任意时刻任意时刻t,t,空间任意一点空间任意一点(径向距离为径向距离为r)r)的温度是的温度是u u。2 2、介质的初始温度为、介质的初始温度为0 0。3 3、问题的基本量纲为长度、质量、时、问题的基本量纲为长度、质量、时间和温度的量纲；即间和温度的量纲；即L,M,T,u=L,M,T,u=。三、模型的建立三、模型的建立 空间任意一点的温度为空间任意一点的温度为u=u(r,t,e,c,k)u=u(r,t,e,c,k)其中其中c c为介质的体积比热，即单位体积的介为介质的体积比热，即单位体积的介质温度升高一度

33、所需热量。质温度升高一度所需热量。K K为介质的热扩为介质的热扩散系数，即由散系数，即由q=-kq=-ku/ru/r确定（确定（q q是单位时是单位时间通过单位面积的热量）。间通过单位面积的热量）。据据Buckingham PiBuckingham Pi定理设定理设f(u,r,t,e,c,k)=0f(u,r,t,e,c,k)=0r=l,t=T,e=Lr=l,t=T,e=L2 2MTMT-2-2为热量为热量e e的量纲，的量纲，c=e/Lc=e/L3 3uu =L =L-1.-1.M M.T T-2.-2.-1-1 k=Lk=L.M M.T T-3.-3.-1-1于是，量纲矩阵为：于是，量纲矩阵

34、为：其中其中rank(A)=4,rank(A)=4,线性齐次方程组线性齐次方程组AY=0AY=0有有6-4=26-4=2个基本解。个基本解。u r t e c ku r t e c k于是可得两个相互独立的无量纲的量：于是可得两个相互独立的无量纲的量：根据隐函数存在定理可得：根据隐函数存在定理可得：。在此在此g g无法确定，量纲分析法只能给出无法确定，量纲分析法只能给出温度函数依赖于其他参数的关系，具体的温度函数依赖于其他参数的关系，具体的形式不能给出。因为这些函数是无量纲形式不能给出。因为这些函数是无量纲的，实际中有时可以通过实验数据进行模的，实际中有时可以通过实验数据进行模拟检验。拟检验。

35、另一方面，该问题也可用热传导方程求解，另一方面，该问题也可用热传导方程求解，得：得：注意：注意：1 1、基本量纲的选取方法不是唯一的。、基本量纲的选取方法不是唯一的。2 2、量纲分析法虽然可以得到一些重要的结、量纲分析法虽然可以得到一些重要的结果，但有很大的局限性，主要是用于对实际果，但有很大的局限性，主要是用于对实际问题的定性描述。问题的定性描述。（二）、集合分析法（二）、集合分析法 将事件发展的全过程作为一个将事件发展的全过程作为一个集合，将影响事件的各要素作为集集合，将影响事件的各要素作为集合的元素，进行整体分析的方法，合的元素，进行整体分析的方法，称为集合分析法。称为集合分析法。建模实

36、例：合理分派与会成员问题建模实例：合理分派与会成员问题 （19971997年美国大学生数学建模竞赛年美国大学生数学建模竞赛B B题）题）一、问题提出一、问题提出 AnTostalAnTostal公司的一次董事会议，公司的一次董事会议，参加者为参加者为2929位公司董事会成员，其中位公司董事会成员，其中9 9位是在职董事（即位是在职董事（即公司的雇员）。会期一天，每个小组上午开三段，下午开公司的雇员）。会期一天，每个小组上午开三段，下午开四段，每段会议开四段，每段会议开4545分钟，从上午九点到下午四点每整点分钟，从上午九点到下午四点每整点开始开会，中午开始开会，中午1212：00001212：

37、4040午餐。上午的每段会议都午餐。上午的每段会议都有六个小组开会，每个小组都由一位非董事会的资深高级有六个小组开会，每个小组都由一位非董事会的资深高级职员来主持。因此，每位资深高级职员都要主持上午的三职员来主持。因此，每位资深高级职员都要主持上午的三个不同的讨论会。这些职员不参加下午的讨论会，而且个不同的讨论会。这些职员不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议开只有四个不同的小组讨论会。下午的每段会议开只有四个不同的小组讨论会。公司董事长需要一份由公司董事参加的公司董事长需要一份由公司董事参加的7 7段段分组会议的每个小组的分配名单，这份名单要尽分组会议的每个小组的分配名单，这份名单要尽可能多

38、的把董事均匀搭配，理想的搭配应该是任可能多的把董事均匀搭配，理想的搭配应该是任意两个董事同时参加一个小组讨论会的次数相同，意两个董事同时参加一个小组讨论会的次数相同，与此同时，要使在不同时段的小组会中同在一起与此同时，要使在不同时段的小组会中同在一起开会的董事总数达到最少。开会的董事总数达到最少。名单搭配中还需满足以下两个准则：名单搭配中还需满足以下两个准则：1 1、在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由、在上午的讨论会上，不允许一位董事参加由同一位资深高级职员主持的两次会议。同一位资深高级职员主持的两次会议。2 2、每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配到、每个分组讨论会都应将在职董事均匀分配

39、到 各小组中。各小组中。给出一份给出一份1-91-9号在职董事，号在职董事，10-2910-29号董事，号董事，1-61-6号公司资深高级职员的分组搭配名单，说明该名号公司资深高级职员的分组搭配名单，说明该名单在大多程度上满足了前面提出的各种要求和规单在大多程度上满足了前面提出的各种要求和规则，因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加则，因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因会议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此，一个能使秘书能在会前一小时接到参会与否此，一个能使秘书能在会前一小时接到参会与否的通知情况下来调整搭配分组的算法定会得到赏的通知情况下来

40、调整搭配分组的算法定会得到赏识。如果算法还能用于不同水平的与会者与参加识。如果算法还能用于不同水平的与会者与参加后面会议中的每一类与会者合理搭配的话，那就后面会议中的每一类与会者合理搭配的话，那就更理想了。更理想了。二、模型假设二、模型假设1 1、各场会议间及各小组之间是相对独立的。、各场会议间及各小组之间是相对独立的。2 2、所有资深高级职员和董事会成员都严格、所有资深高级职员和董事会成员都严格遵守派遣方案。遵守派遣方案。3 3、若能够满足每位董事出席会议的次数都、若能够满足每位董事出席会议的次数都相等，则模型被认为是理想的。相等，则模型被认为是理想的。4 4、6 6位资深高级职员之间无差异

41、，同样，位资深高级职员之间无差异，同样，9 9位在职董事之间、位在职董事之间、2020位外部董事之间也是无位外部董事之间也是无差异的。差异的。5 5、引入符号：、引入符号：O=oO=oi ii=1,2,i=1,2,6,6为资深高级职员集合。为资深高级职员集合。M=mM=mi ii=1,2,i=1,2,29,29为董事会成员集合。为董事会成员集合。I(9)=mI(9)=mi ii=1,2,i=1,2,9,9为在职董事会成员集合。为在职董事会成员集合。E(20)=mE(20)=mi ii=10,11,i=10,11,29,29为外部董事会成员为外部董事会成员集合。集合。G Gn n表示在一次分组会

42、议中第表示在一次分组会议中第n(1n6)n(1n6)组的与会组的与会成员的集合。成员的集合。G Gn n(k)(k)=表示分组会议的第表示分组会议的第n(1n6)n(1n6)组经过组经过k k次分次分派派(每次分派一名成员每次分派一名成员)后的会议成员集合。后的会议成员集合。a aijij表示董事会第表示董事会第i i位成员与第位成员与第j j位成员分在同一组的次数位成员分在同一组的次数(1i,j29,ij)(1i,j29,ij)。W(k)W(k)表示两位董事会成员分在同一组时所赋予的权重。表示两位董事会成员分在同一组时所赋予的权重。b bijij表示资深高级职员表示资深高级职员o oi i(

43、i=1,2,(i=1,2,6),6)与董事会成员与董事会成员m mj j(j=1,2,(j=1,2,29),29)在此之前是否同组的指标，即当属于同在此之前是否同组的指标，即当属于同一组时取值为一组时取值为1 1，否则取值为，否则取值为0 0。R Ri i(k)(k)=G=Gi i(k)(k)I(9)I(9)表示在表示在G Gi i(k)(k)中在职董事的数量。中在职董事的数量。h hi i/2/2表示董事会两位在职董事在同一个讨论组中达到表示董事会两位在职董事在同一个讨论组中达到i i次次的对数。的对数。t ti i表示第表示第i i组中在职董事数与外部董事数之比。组中在职董事数与外部董事数

44、之比。三、模型分析三、模型分析 根据问题的具体要求，我们注意到分组工作根据问题的具体要求，我们注意到分组工作要遵循如下两个原则：要遵循如下两个原则：1 1、均衡分派原则：尽可能使得各讨论组成员人、均衡分派原则：尽可能使得各讨论组成员人数均等。数均等。2 2、分派比例原则：各讨论组的在职董事数与外、分派比例原则：各讨论组的在职董事数与外部董事的比例要大致相等。部董事的比例要大致相等。据此我们得到两种分派方案：据此我们得到两种分派方案：方案一：方案一：如果公司总裁更希望使各组的如果公司总裁更希望使各组的成员人数尽可能相等，则每场上午分组成员人数尽可能相等，则每场上午分组会议共分为会议共分为6 6组

45、，其中一组由组，其中一组由4 4名董事会名董事会成员组成，其余五组每组由成员组成，其余五组每组由5 5名董名董事会成事会成员组成。其中有三个小组每组有员组成。其中有三个小组每组有2 2名在职名在职董事，另外三组每组只有董事，另外三组每组只有1 1名在职董事，名在职董事，具体对于每组成员的分派都是随机的。具体对于每组成员的分派都是随机的。方案二：方案二：如果公司总裁更希望使各组的与会成员如果公司总裁更希望使各组的与会成员成员的比例尽可能相等，即要求各组中在职董事成员的比例尽可能相等，即要求各组中在职董事与外部董事的比例应该近似相等，大致为与外部董事的比例应该近似相等，大致为9/20=0.45:1

46、9/20=0.45:1。那么最接近的方案为：。那么最接近的方案为：上午：上午：t t1 1=1:2,t=1:2,t2 2=1:2,t=1:2,t3 3=1:2,t=1:2,t4 4=2:4,t=2:4,t5 5=2:5,t=2:5,t6 6=2:5=2:5或者上午：或者上午：t1=1:2,t2=1:2,t3=1:3,t4=2:4,t5=2:4t6=2:5t1=1:2,t2=1:2,t3=1:3,t4=2:4,t5=2:4t6=2:5下午：下午：t1=2:4,t2=2:4,t3=2:5,t4=3:7t1=2:4,t2=2:4,t3=2:5,t4=3:7四、模型建立四、模型建立模型模型：第一分派方

47、案：第一分派方案第一步：上午第一场会议的分派方案。第一步：上午第一场会议的分派方案。首先，随机的把首先，随机的把2929名董事会成员大致均匀名董事会成员大致均匀的分派成的分派成6 6组，其中一组由组，其中一组由4 4名成员组成，名成员组成，其余五个组每组由其余五个组每组由5 5各成员组成。然后，随各成员组成。然后，随机的将集合机的将集合O O中的中的6 6位资深高级职员分配到位资深高级职员分配到每一个组中，分别记为每一个组中，分别记为G Gi i(i=1,2,(i=1,2,6),6),从从而完成了第一场会议的分派。而完成了第一场会议的分派。第二步：上午第二场会议的分派方案第二步：上午第二场会议

48、的分派方案首先，任取一个首先，任取一个o oi iOO，将其分派到，将其分派到G Gi i中，中，即即o oi iGGi i(i=1,2,(i=1,2,6),6),从而使每个组从而使每个组G Gi i都都由一名资深高级职员由一名资深高级职员o oi i(i=1,2,(i=1,2,6),6)作为作为主持，然后，按下面的方法分派董事会成主持，然后，按下面的方法分派董事会成员。员。（1 1）先为每组）先为每组G Gi i分派第一名董事会成员分派第一名董事会成员若若否则，随机选择另一个否则，随机选择另一个直到直到 ，并令，并令这样，就位每一组分派了第一名董事会成员。这样，就位每一组分派了第一名董事会成

49、员。（2 2）假设已为每个组分配了）假设已为每个组分配了k-1k-1位董事即位董事即 已确定。要分已确定。要分派第派第k k位董事会成员给位董事会成员给G Gi i,即确定即确定 。任意随机选择一个任意随机选择一个 ，计算，计算或或 分别考虑。分别考虑。1 1）如果）如果 ，则考虑以下两种情况：，则考虑以下两种情况：情况情况1 1：若：若 ，即为在职董事，并确定，即为在职董事，并确定 。(a)(a)若若 ,则令集合则令集合(b)(b)若若 ,则选择另一位董事会成员则选择另一位董事会成员 ,直到直到 且且为止，则令集合为止，则令集合 。情况情况2 2：如果：如果 ，即为外部董事，记，即为外部董事

50、，记 为所有候选的外部董事的集合。对为所有候选的外部董事的集合。对计算计算 ,在集合在集合C C中求出使得中求出使得2）如果）如果 ，则可以选择另一位董事会成，则可以选择另一位董事会成员员 ，直到，直到 ，同样使用上述方，同样使用上述方法，也能确定集合法，也能确定集合 。最后，我们可以确定。最后，我们可以确定出出 从而得到第二场会议的从而得到第二场会议的分派结果。分派结果。第三步：类似上述方法分派上午第三场会议第三步：类似上述方法分派上午第三场会议的分组结果。的分组结果。第四步：下午分组会议的分派方案安排。第四步：下午分组会议的分派方案安排。（1）随机任意选取）随机任意选取 ，作，作为下午每一