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1、【模型应用】例 1 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.（a）图：可以一笔画，因为只有两个奇点 A、B；画法为 A 头部翅膀尾部翅膀嘴。(b）图：不能一笔画，因为此图不是连通图。（c）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。（d）图：不能一笔画，因为此图不是连通图。（e）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A B C DE F G H I J B D F H J A。（f）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点。注意：在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个
2、奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。例 2 下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？一个图能否一笔画出，关键取决于这个图中奇点的个数.通过观察可以发现，上图中所有的结点都是偶点，因此，这个图可以一笔画出.画时可以任一结点作为起点。例 3 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，就可以发现：我们并不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走遍所有的门，与七
3、桥问题较为类似.因此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从 A 出发，一笔画完此图，最后再回到 A。上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以 A 作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A E B C E F C D F A。注意：本题中，必须以 A 分别作为起点和终点.这就要求图中必须没有奇点，否则，若有两个奇点，虽能一笔画出，但与从入口入、出口出（即游人的出发和终止点都在展厅外）有矛盾，其他有多个奇点的情况则根本不可能一笔画出。另外，通过前面的学习，大家已经知道：一个图如果能够一笔画出，则画的方法不止一种，但各种方法大同小异.因此，一般我们只给出一种画法。