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1、 1“哥尼斯堡七桥问题教学实录 一、创设情境，激趣引思 1.故事引入 师：这节课，我们先来听一个数学小故事吧。课件播放，如图 1，教师相机板书课题 师：这个问题困扰了当地居民很长时司，大家纷纷来到小岛上试图找到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七座桥的所有走法共有5040 种，这么多怎么走得完呢?后来有人写信向当时公认的“天才数学家欧拉请教。欧拉亲自来到小岛上实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过年的研究，终于解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为一笔画问题，才顺利找到答案的。(教师板书：一笔画)2释疑。师：谁能根据你的理解，来说一说什么是一笔画？(教师请一个学生
2、上台画图说明)师：利用课件动态演示 像长方形、正方形、三角形等都能够一笔画出。并结合长方形介绍：两条线相交的点，叫做交点。如图 2 师：哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有点复杂。我 们先从简单的图形人手，来探究一笔画中的学问。二、自主探究，合作交流 ()探究活动一。1探究。师：下面请二人小组合作，共同完成探究记录单，首先请看活动要求。(课件出示记录单和活动要求)图2交点交点交点交点 2 活动要求：1)试一试，在空白处画一画，判断图形能否一笔画出，并在相应的口里打“。2对于能够一笔画出的图形，请沿不同交点出发，探索它有几种不同的画法。(学生探究，教师巡视指导)2交流。师：很多小组都已经有答案了，谁
3、来汇报一下你们探究的结果？生 1：1 号图是不能一笔画出的，因为它们是分开的。师：谁听懂了他的意思？生 2：他是说 1 号图中的三个“口没有连通起来。师：是啊，像 1 号图这样，各个局部没有连通起来，就不可能一笔画出。这说明要能够一笔画出，它各个局部之间必须是连通的。只有连通图才有可能一笔画出。(板书：必须是连通图)接下来，谁继续汇报?生 3：2 号图是可以一笔画出的。师：是吗？你能到黑板上画一下吗?(学生上台画图，教师提示他在起点处标上字母“A，如图 3)图 3 师：很好！他刚刚是从 A 点出发，一笔画出了这个平行四边形。那么，只能从 A 点出发吗？生 4：从其他交点出发也可以。(大家纷纷赞
4、同)师：你们都实验过吗？确实，这个平行四边形无论从哪个交点出发，都可以一笔画出来。那么 3 号图可以一笔画出来吗?生 5：可以的。(教师请生 5 上台画图，教师给生 5 画的图各交点标上字母，如图4)师：真厉害，他确实是一笔画出的。我发现他是从 E 点出发画的。那么这幅图还能从其他交点出发画出来吗？生 6：我还可以从 F 点出发，也可以一笔画出。师：还有其他画法吗?生 7：我还可以从 A 点出发。(教师请生 7 上台画，生 7 尝试了多种路径，均未成功)师：(摸着生 7 的头)我很佩服他，虽然他最后没有成功，但是他这种执着探索的勇气还是可嘉的。从 A 点出发不可以，还有哪些点也会出现这样的状况
5、呢?生 8：我认为，从 B、C、D 点出发也是不能一笔画成的，因为它们和A 点所处的位置是相似的。师：很好，你真是善于观察！那你们有没有想过，虽然 2 号图和 3 号图都能一笔画成，但是 2 号图可以从任意一点出发，而 3 号图只能从 E 点和 F 点出发AADCBEF 3 才可以一笔画出，这里面有没有什么奥秘呢?学生陷入沉思。片刻之后，渐渐地有几只小手举起来 生 9：因为那个日字形状的图形里面多了一横。师：(装糊涂)什么意思？你能具体解释一下吗?生 9：就是说本来画那个“日字周围边框的时候，是可以一笔成功的：但是中间多了那个一横，就必须从这一横出发才可以成功。师：你很有数学家的潜质！你的发现
6、对我们接下来的研究意义重大。大数学家欧拉就是这样发现规律的，连通图能否一笔画出。与图中各个交点的连线条数有关。(二)探究活动二：1介绍。师：出示课件，如图 5像下面的 A 点和 B 点，连线条数是 1、3、5、7 等奇数的点，叫作奇点；像下面的 C 点和 D 点，连线条数是 2、4、6、8 等偶数的点，叫作偶点。2研究。师：大家回过头来观察 2 号、3 号图形，看看各点的情况。生：2 号图形全部是偶点：师：欧拉发现，像三号图中全是偶点，不仅可以一笔画，而且沿着任意一点都可以画出。这里的“任意是什么意思?生：就是随便从哪个点出发都可以。师：是的，例如我们很多人都会画的五角星图案(课件出示 图 6
7、)，它的各交点也都是偶点，所以也可以从任意一点出 发一笔画出：你们不妨试一试。学生尝试 师：那 3 号图形呢?生：它有两个交点的连线条数是3，其余各交点都是偶点。师：3 号图形中只有两个奇点，其他都是偶点，欧拉发现这样的图形虽然能够一笔画出，但是 生：必须，从奇点出发。师：你和欧拉真是心有灵犀！确实必须从奇点出发。那么大家看，这个图形能不能一笔画出呢？课件出示图7 生：它也可以一笔画出，但是必须从那两个奇点出发才行。师：你们都能学以致用了，真好!三思维训练，学以致用。师：下面我们来轻松一下，玩一次智慧大闯关好不好？偶点CD奇点BA 4 1夺宝小奇兵：藏宝庄园里有 10 个百宝箱如图 8)，每次
8、可以翻开宝盒取宝 1 个。但是不能走重复路线，否那么就会触动机关取宝失败。现在蚂蚁宝宝和贝贝站在不同的起点准备出发了，你认为谁能全部取宝成功?为什么?2、小设计师。如图 9)小朋友，妙妙游乐园即将开放了。要让游客一次不重复地沿着路线走，游完每一个游乐工程，游乐场的出口和入口应该设在 A、B、C 哪两个点上?3生活中的应用。以游乐园出口和入口的设置以及快递叔叔送快件的例子，说明一笔画能够解决生活中的实际问题。四探究活动三。师：那么，是不是所有的连通图都能一笔画呢？我们继续探究。请大家看这幅图(课件出示图 10)，数一数，标出它的奇点和偶点，并判断它能否一笔画出。生：我试了好屡次，它不能一笔画出。
9、师：其他同学有没有不同的看法？生：我也试了很屡次，不能一笔画出。我猜测可能和 它的奇点多了有关系。师：你很善于推理，欧拉花了一年多时间发现的秘密，你们居然 很快能领悟。欧拉发现，连通图中，如果奇点超过了 2 个，它就不能一笔画出了。三、文化渗透，深刻理解 师：现在我们回到之前的“哥尼斯堡七桥问题，它跟一笔画知识有什么关图10 5 系呢?让我们来了解一下。(教师利用课件动态演示由“七桥图变成“抽象图的过程，如图 11)师：欧拉认为：能否一次不重复地走过这七座桥，与桥的长短、岛的大小无关，所以岛和岸都可以看作一个点，而桥可以看作连接这些点的线。所以他将七桥问题抽象成这样的一笔画图形。现在你能用今天
10、学到的知识来解释为什么不能不重复地一次走遍这七座桥吗？生：因为把它变成这样的图形后，这个连通图中有 4 个奇点，就不可能一笔画出了。师：是啊，就在“山重水复疑无路的时候，欧拉是怎样实现“柳暗花明又一村的？生：他将复杂的问题简单化了。师：确实，欧拉是将这个问题转化成了一笔画问题。板书：转化转化是我们学习数学的一个好方法。利用课件介绍欧拉生平，如图 12 师：想想看，欧拉能够发现这一重要规律，是因为他很幸运吗？还是有别的原因？生：我认为他很执着，坚持不懈，并用科学的方法找到结果。师：是啊，这里面有他对真理的执着追求，更有化难为易的“转化思想。师：今天我们只是初步了解了一笔画知识，以后我们升人七年级还将继续深 6 入学习。四、拓展延伸，回忆总结(略)设计思考：“知识课堂谓之器，文化课堂谓之道数学文化博大精深，作为古代数学名题，“哥尼斯堡七桥问题蕴含着丰富的数学文化背景和数学思想。而五年级学生的思维正由形象向抽象转变，具备了一定的探索与发现能力。本课旨在让学生经历“发现问题探究问题 总结规律运用规律的活动过程，并感受数学文化，开展数学思维。本文摘自?小学教学 2021 年第 3 期?万里春