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1、【小学数学】课堂实录哥尼斯堡七桥问题“哥尼斯堡七桥问题”教学实录 一、创设情境，激趣引思 1.故事引入 师:这节课，我们先来听一个数学小故事吧。(课件播放，如图 1，教师相机板书课题)师:这个问题困扰了当地居民很长时司，大家纷纷来到小岛上试图找到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七座桥的所有走法共有5040 种，这么多怎么走得完呢?后来有人写信向当时公认的“天才数学家”欧拉请教。欧拉亲自来到小岛上实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过年的研究，终于解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为一笔画问题，才顺利找到答案的。(教师板书:一笔画)2(释疑。师:谁能根据你的理解
2、，来说一说什么是一笔画,(教师请一个学生上台画图说明)师:(利用课件动态演示)像长方形、正方形、三角形等都能够一笔画出。(并结合长方形介绍:两条线相交的点，叫做交点。如图 2)交点交点 师:哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有点复杂。我 们先从简单的图形人手，来探究一笔画中的学问。二、自主探究，合作交流 交点交点()探究活动一。1(探究。图 2 师:下面请二人小组合作，共同完成探究记录单，首先请看活动要求。(课件出示记录单和活动要求)1 活动要求:(1)试一试，在空白处画一画，判断图形能否一笔画出，并在相应的口里打“?”。(2)对于能够一笔画出的图形，请沿不同交点出发，探索它有几种不同的画法。(学
3、生探究，教师巡视指导)2(交流。师:很多小组都已经有答案了，谁来汇报一下你们探究的结果,生 1:1 号图是不能一笔画出的，因为它们是分开的。师:谁听懂了他的意思,生 2:他是说 1 号图中的三个“口”没有连通起来。师:是啊，像 1 号图这样，各个部分没有连通起来，就不可能一笔画出。这说明要能够一笔画出，它各个部分之间必须是连通的。只有连通图才有可能一笔画出。A(板书:必须是连通图)接下来，谁继续汇报?生 3:2 号图是可以一笔画出的。师:是吗,你能到黑板上画一下吗?(学生上台画图，教师提示他在起点处标上字母“A”，如图 3)图 3 师:很好他刚才是从 A 点出发，一笔画出了这个平行四边形。那么
4、，只能从 A点出发吗,生 4:从其他交点出发也可以。(大家纷纷赞同)师:你们都实验过吗,的确，这个平行四边形无论从哪个交点出发，都可以一笔画出来。那么 3 号图可以一笔画出来吗?生 5:可以的。(教师请生 5 上台画图，教师给生 5 画的图各交点标上字母，如图 4)师:真厉害，他的确是一笔画出的。我发现他是从 E 点出发画的。A 那么这幅图还能从其他交点出发画出来吗,B 生 6:我还可以从 F 点出发，也可以一笔画出。EF 师:还有其他画法吗?C 生 7:我还可以从 A 点出发。D(教师请生 7 上台画，生 7 尝试了多种路径，均未成功)师:(摸着生 7 的头)我很佩服他，虽然他最后没有成功，
5、但是他这种执着探索的勇气还是可嘉的。从 A 点出发不可以，还有哪些点也会出现这样的状况呢?生 8:我认为，从 B、C、D 点出发也是不能一笔画成的，因为它们和 A 点所处的位置是相似的。师:很好，你真是善于观察那你们有没有想过，虽然 2 号图和 3 号图都能一笔画成，但是 2 号图可以从任意一点出发，而 3 号图只能从 E 点和 F 点出发 2 才可以一笔画出，这里面有没有什么奥秘呢?(学生陷入沉思。片刻之后，渐渐地有几只小手举起来)生 9:因为那个”日”字形状的图形里面多了一横。师:(装糊涂)什么意思,你能具体解释一下吗?生 9:就是说本来画那个“日”字周围边框的时候，是可以一笔成功的:但是
6、中间多了那个一横，就必须从这一横出发才可以成功。师:你很有数学家的潜质你的发现对我们接下来的研究意义重大。大数学家欧拉就是这样发现规律的，连通图能否一笔画出。与图中各个交点的连线条数有关。(二)探究活动二:1(介绍。师:(出示课件，如图 5)像下面的 A 点和 B 点，连线条数是 1、3、5、7 等奇数的点，叫作奇点;像下面的 C 点和 D 点，连线条数是 2、4、6、8 等偶数的点，叫作偶点。AA BB CD 奇点奇点偶点 2(研究。师:大家回过头来观察 2 号、3 号图形，看看各点的情况。生:2 号图形全部是偶点:师:欧拉发现，像三号图中全是偶点，不仅可以一笔画，而且沿着任意一点都可以画出
7、。这里的“任意”是什么意思?生:就是随便从哪个点出发都可以。师:是的，例如我们很多人都会画的五角星图案(课件出示 图 6)，它的各交点也都是偶点，所以也可以从任意一点出 发一笔画出:你们不妨试一试。(学生尝试)师:那 3 号图形呢?生:它有两个交点的连线条数是 3，其余各交点都是偶点。师:3 号图形中只有两个奇点，其他都是偶点，欧拉发现这样的图形虽然能够一笔画出，但是 生:必须，从奇点出发。师:你和欧拉真是心有灵犀的确必须从奇点出发。那么大家看，这个图形能不能一笔画出呢,(课件出示图 7)生:它也可以一笔画出，但是必须从那两个奇点出发才行。师:你们都能学以致用了，真好!(三)思维训练，学以致用
8、。师:下面我们来轻松一下，玩一次智慧大闯关好不好,3 1(夺宝小奇兵:藏宝庄园里有 10 个百宝箱(如图 8)，每次可以打开宝盒取宝 1 个。但是不能走重复路线，否则就会触动机关取宝失败。现在蚂蚁宝宝和贝贝站在不同的起点准备出发了，你认为谁能全部取宝成功?为什么?2、小设计师。(如图 9)小朋友，妙妙游乐园即将开放了。要让游客一次不重复地沿着路线走，游完每一个游乐项目，游乐场的出口和入口应该设在 A、B、C 哪两个点上?3(生活中的应用。以游乐园出口和入口的设置以及快递叔叔送快件的例子，说明一笔画能够解决生活中的实际问题。(四)探究活动三。师:那么，是不是所有的连通图都能一笔画呢,我们继续探究
9、。请大家看这幅图(课件出示图 10)，数一数，标出它的奇点和偶点，并判断它能否一笔画出。生:我试了好多次，它不能一笔画出。师:其他同学有没有不同的看法,生:我也试了很多次，不能一笔画出。我猜想可能和 它的奇点多了有关系。师:你很善于推理，欧拉花了一年多时间发现的秘密，你们居然 图 10 很快能领悟。欧拉发现，连通图中，如果奇点超过了 2 个，它就不能一笔画出了。三、文化渗透，深刻理解 师:现在我们回到之前的“哥尼斯堡七桥问题”，它跟一笔画知识有什么关 4 系呢?让我们来了解一下。(教师利用课件动态演示由“七桥图”变成“抽象图”的过程，如图 11)师:欧拉认为:能否一次不重复地走过这七座桥，与桥
10、的长短、岛的大小无关，所以岛和岸都可以看作一个点，而桥可以看作连接这些点的线。所以他将七桥问题抽象成这样的一笔画图形。现在你能用今天学到的知识来解释为什么不能不重复地一次走遍这七座桥吗,生:因为把它变成这样的图形后，这个连通图中有 4 个奇点，就不可能一笔画出了。师:是啊，就在“山重水复疑无路”的时候，欧拉是怎样实现“柳暗花明又一村”的,生:他将复杂的问题简单化了。师:的确，欧拉是将这个问题转化成了一笔画问题。(板书:转化)转化是我们学习数学的一个好方法。(利用课件介绍欧拉生平，如图 12)师:想想看，欧拉能够发现这一重要规律，是因为他很幸运吗,还是有别的原因,生:我认为他很执着，坚持不懈，并用科学的方法找到结果。师:是啊，这里面有他对真理的执着追求，更有化难为易的“转化”思想。师:今天我们只是初步了解了一笔画知识，以后我们升人七年级还将继续深 5 入学习。四、拓展延伸，回顾总结(略)(设计思考:“知识课堂谓之器，文化课堂谓之道”数学文化博大精深，作为古代数学名题，“哥尼斯堡七桥问题”蕴含着丰富的数学文化背景和数学思想。而五年级学生的思维正由形象向抽象转变，具备了一定的探索与发现能力。本课旨在让学生经历“发现问题探究问题 总结规律运用规律”的活动过程，并感受数学文化，发展数学思维。)本文摘自小学教学 2014 年第 3 期 作者:万里春 6