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1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第二十一章“一元二次方程简介 课程教材研究所 章建跃 一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。一元二次方程的解法和实际 应用是初中阶段的核心内容。前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个根本问题判别式与方程的根、根与系数的关系等，在此根底上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习根底，在学生的“四基、“四能的开展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。本章教学时间约需 13 课时，具体分配如下仅供
2、参考：211 一元二次方程 1 课时 212 解一元二次方程 7 课时 213 实际问题与一元二次方程 3 课时 数学活动 小结 2 课时 一、教科书内容和本章学习目标 1.本章知识构造 现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和
3、实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元上的推广。自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。类比二三元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次降为“一次，这是本章学习的另一条主线。与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进展求解。这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机。根据?课程标准2021 年版?的规定，教科书着重介绍了配方
4、法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程。解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。具体地，根据平方根的意义，可得出方程 x2=p 和(x+n)2=p 的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p 的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程 ax2+bx+c=0 配方后得出的如能将 ax2+bx+c 分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为 0 来解 一元二次方程的三种解法配方法、公式法和因式分解法各有特点 一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具掌握了公式法，就可以直接用
5、公式求一元二次方程的根了 当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性 配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它在推导求根公式的过程中，从 x2=p 到(x+n)2=p 再到 ax2+bx+c=0，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想。显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。与?课程标准实验稿?相比，?课程标准2021 年版?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式
6、判别方程是否有实根和两个实根是否相等，“了解一元二次方.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。程的根与系数的关系，这是需要注意的一个变化。这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底。教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念。在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学
7、问题的一般方法；一般形式 ax2+bx+c=0 也是对具体方程从“元 未知数的个数、“次数和“项数等角度进展归纳的结果；a0 的规定是由“二次所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机。一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一。教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为 x2=p，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基。接着，教科书安排“探究栏目，自然引出解(x+3)2=5 并总结出“降次的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做
8、好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=p 后的解的情况。以配方法为根底，教科书安排了“探究栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，得到求根公式。最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法而到达“降次目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等。上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解。这是具有普适性的数学思想方法。由于限定在实
9、数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式=b24ac 的讨论。这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机。另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定系数 a，b，c 确定，方程就.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。确定，其根自然就唯一确定，而且也反映了根与系数的联系。这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁。教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程(xx1)(xx2)=0 化为 x2+px+q=0 的形式，x1，x2与 p，q 之间的关系，在“x1+x2=p，x1x2=q的启发下，利用求根公式求 x1+x2和 x1x2，进而得到根与系数的关系。
10、让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机。根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要。所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度。前已述及，用一元二次方程解决实际问题是本章内容的一条主线。为了更好地表达这一思想，教科书除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，在第三节还专门安排了三个“探究，让学生建立一元二次方程模型解决实际问题，再一次经历如下过程：最后，在本章小结中，
11、教科书通过知识构造图，再次强调建立一元二次方程模型解决实际问题的根本过程，并在“回忆与思考中梳理了“降次的根本思路、过程以及具体方法。3.本章学习目标 1理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。2会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。3了解一元二次方程的根与系数的关系。4能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。5能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。二、编写时考虑的几个问题 1注重联系实际，表达建模思想，开展应用意识 一元二次方程是初中数学中最
12、重要的数学模型之一，它有丰富的实际背景。通过建立一元二次方程模型解决实际问题，可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系，开展学生应用意识。因此，本章的编写，自始至终都注重联系实际，从实际问题中引出一元二次方程的有关知识，并最终回到建立一元二次方程模型解决实际问题中去。本章开篇，教科书利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要。接着，通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数和“最高次数两个方面进展归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示一元二次方程的一般形式。在讨论一元二次
13、方程的解法时，教科书又通过简单的实际问题，引导学生分析其中的量、未知量和等量关系，建立一元二次方程，得出方程的解，并检验所得的结果是否符合实际，最终将问题推广，得出具有一般意义的一元二次方程的解法。在掌握解法的根底上，专门安排了“实际问题与一元二次方程，以“探究的方式提出问题，使学生完整地经历“问题情境建立模型求解验证的数学活动过程。这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生在学会一元二次方程解法的过程中，体验运用数学知识解决实际问题的根本过程，积累数学活动经历，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。2重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解方程的
14、根本策略 对于方程及其解法，学生从小学就开场接触。进入初中后，学生又学习了一元一次方程、二元一次方程组以及可化为一元一次方程的分式方程。因此，学生对于解方程涉及的数学思想化归、理论依据等式的性质、运算律以及根本思路通过恒等变形，把方程逐步化为的形式等都已比拟熟悉。对于一元二次方程的解法，根本思路仍然是“设法把方程化为的形式，而一元二次方程与熟悉的方程比拟，差异在“次数。因此，将“二次降为“一次就.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。能使“新方程转化为“旧方程，这样就明确了解一元二次方程的关键问题如何降次。教科书采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从熟悉的方程 x2=p 出发，经过不断推广
15、而得到一般的 ax2+bx+c=0；探究解法时，那么利用“配方法，把“新方程化归为已解决的形式。具体过程如下：首先，根据平方根的意义，通过直接开平方得到方程 x2=25 的解，再推广到求方程 x2=p 的解，引导学生对 p0，p0 和 p0 三种情况进展讨论。然后，通过分析变式(x+3)2=5 的解决过程，归纳出“把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程的思路，再给出(x+3)2=5 的等价形式 x2+6x+4=0，并用框图表示将 x2+6x+4=0 转化为(x+3)2=5 的过程，最后归纳出“配方法。在此根底上，引导学生讨论通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=m 的形式后的解，让
16、他们再次经历分类讨论过程。接着，再通过“探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a0)，能否也用配方法得出它的解呢？让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经历，自主推导出求根公式。上述过程，让学生反复经历了“具体抽象、“配方分类讨论的过程，不仅获得了求根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形式的一元二次方程的配方，分类讨论。再接着，通过实际问题得到方程 10 xx2=0，学生很容易想到，这个方程不需要通过配方、开平方降次，只要通过因式分解，将方程化为 x(10 x)=0，就能实现降次。然后再进展归纳，得出针对某些方程的简便解法 因式分解法。实际上，这是一个“从一般到
17、特殊的过程，针对某些特殊形式的一元二次方程的特殊解法。数学中，一般都要在研究一般情况后，再看看有什么特殊情况。考察“特例也是数学研究的根本思路之一。最后进展根与系数关系的研究。从“发现和提出数学问题的角度看，研究一元二次方程的解法是“给定方程的系数，求未知数的值。另一方面，我们也可以这样提出问题：一元二次方程的两个根，能否求出它的系数的值？事实上，方程 ax2+bx+c=0(a0)总可以化为 x2+px+q=0 的形式。如果 x2+px+q=0 的两个根为 x1，x2，那么有(xx1)(xx2)=0，展开并比拟方程的系数，就容易得到 p=.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。(x1+x2)
18、，q=x1x2。由此得到启发，利用求根公式求 x1+x2和 x1x2，可得到根与系数的关系。教科书在一定程度上表达了上述逻辑思考过程。3注重培养发现和提出问题、分析和解决问题的能力 因为学生已经具备研究一元二次方程的概念、解法的知识根底，只要他们能把这些知识调动起来，应用到研究中去，他们就能独立地发现解法，所以教科书注重通过栏目和“边空设问等方式启发学生的思维，为他们提供独立探究的时机。例如：1引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空中屡次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？再在“思考栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什
19、么规定 a0？引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念作判断。这样安排，表达了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进展独立思考与发现。2 在探索一元二次方程解法的过程中，教科书在讨论了“方程 x2=p 的解以后，循序渐进地安排了如下栏目：探究 对照上面解方程 x2=p 的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5 的解？探究 怎样解方程 x2+6x+4=0？在上述两个“探究的根底上，讨论“如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p 的形式，那么它的解有哪些情形？。探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+
20、c=0a0。能否也用配方法得出它的解？思考 除配方法和公式法以外，能否找到更简便的方法解方程 10 xx2=0？上述过程中，教科书通过“一般化、“推广、“特殊化等，引导学生不断地发现问题、解决问题。3在“实际问题与一元二次方程中，教科书以“探究栏目的方式给出例题，在分析题意、解决问题的过程中，通过“边空提问提示学生思考数学结论的现实意义，并通过“思考栏目进一步提出拓展性、开放性问题。例如，解决了“探究 1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？以后，教科书提出了两个问题：.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。通过对这个问题的探究，你对
21、类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？对这些问题的思考，可以加深学生对“传播问题的认识，感受与“增长率相关的数学模型中的数量关系，同时还能培养学生用数学模型解释现实问题的能力，这就是一个培养分析和解决问题能力的过程。三、对教学的几个建议 1为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程 宏观而言，学生已具备解一元二次方程的根本思想化归，即把方程转化为一次方程，最终化为 x=a；而且也具有将一元二次方程转化为一次方程所需要的平方根、配方、因式分解等知识根底。问题在于学生在面对解一元二次方程的任务时，不知道该用这些知识及其思想方法，也就是说他们“
22、不是做不到，而是想不到。因此，教学的关键是要通过适当的问题提示，把这些知识调动起来，联系起来，使它们在研究解法中发挥作用。具体而言，可以按如下线索安排：实际背景引入如章引言中的方程从已有经历中总结解方程的一般思想方法化归为一元一次方程类比二元一次方程组的“消元，得到解一元二次方程的思路“降次从简单、具体、特殊的一元二次方程如 x2=25，x2=p；(x+3)2=5，x2+6x+4=0，(x+n)2=p 等探索“降次的方法直接开平方、配方法用配方法推导求根公式公式法针对特殊的一元二方程的特殊解法因式分解法。教学过程中，要注意整体性，让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，防止不同解法之间的割裂
23、。其中，方程 x2=p 的解具有奠基作用，特别是对 p 的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程(x+3)2=5 与 x2+6x+4=0 是获得配方法的载体；配方法是公式法的根底；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。为了让学生获得解一元二次方程的方法，教学中应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。2注重模型思想、应用意识的培养，特别是数量关系的分析和数学模型的选择.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比拟，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学
24、生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体。教科书充分考虑到一元二次方程的这一地位，教学中要表达好这一编写意图，注意让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意义，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处。在建立数学模型解决实际问题的过程中，难点在于数量关系的分析和数学模型的选择，本章也不例外。教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观
25、方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出符合实际的结果等。3严格控制根的判别式、一元二次方程根与系数等内容的教学要求 学习本章的主要目的是让学生掌握一元二次方程模型并能灵活用于解决问题。其中，学习根与系数的关系的目的在于使学生更深入地体会根与系数确实定性关系，更全面地认识一元二次方程。传统上，针对判别式、根与系数的关系等往往要进展大量的形式化训练，这对锻炼学生的思维有一定好处，但复杂的代数变形对提高学生的数学能力特别是数学建模能力没有多大帮助。因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形式化训练的难度，特别是不要搞用根与系数的关系解决其他问题的训练。为了提高学生的发现和提出问题的能力，可以把“根与系数的关系设置为一个研究性学习课题。例如，引导学生思考“系数 a，b，c 确定，那么方程ax2+bx+c=0 确定，它的两个根也唯一确定。反之，如果一元二次方程的两个根，系数是否也唯一确定？然后展开研究。进一步地还可以让学生思考几个独立条件确定一个一元二次方程、方程 ax2+bx+c=0 的两个根与二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解等问题。