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1、2019-2020 学年北京师大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10 个小题）1下列各式：3a，7ab，2212xy，5，11x，8x，其中分式有()A1 个B2 个C3 个D4 个2已知35aba，那么ab等于()A25B52C25D523如图，/AEDF，AEDF，要使EACFDB，需要添加下列选项中的()A ABCDB ECBFCADD ABBC4使分式12xx有意义的 x 的取值范围是()A0 xB1xC1xD2x5如图，ABCD，ADCB，判定ABDCDB 的依据是()A SSSB ASAC SASD AAS6下列各式中最简分式是()AabbaB22xyxyC32abaD2
2、2211xxx7如图，RtABC 中，90C，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D，若4CDcm，则点 D到 AB 的距离 DE 是()A 5cmB 4cmC 3cmD 2cm8若分式方程13224axx有增根，则a的值是()A1B2C1D29如图，下列条件中，不能证明ABCDCB 的是()A ABDC，ACDBB ABDC，ABCDCBC BOCO，ADD ABDC，DBCACB10如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，ABC 和CDE 都是等边三角形BE 交 AC于 F，AD 交 CE 于 G 则下列结论中错误的是()A ADBEB BEACCCFG 为等边三角形D/FGBC二、填
3、空题（每小题3 分，共 24 分）11用科学记数法表示：0.0000010812小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4 的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块13若3(25)x有意义，则x 满足的条件是14计算：21xxxg15如果多项式2(1)1ymy是完全平方式，那么m 的值为16当 x时，分式22121xxx的值为 017如图为6 个边长相等的正方形的组合图形，则12318已知：21(1(1)nann，2，3，)，记112(1)ba，2122(1)(1)baa，122(1)(1)(1)nnbaaa，则通过计算推测
4、出nb 的表达式nb（用含 n 的代数式表示）三、解答题（本题共46 分）19分解因式：（1）2249xy（2）3222aa bab20计算：（1）20190(1)(22)|12|（2）2222()()33aaabbbg（3）2243164mm21先化简2211121xxxxx，再任取一个你喜欢的x 的值，代入求值22解方程：22124xxx23已知：如图，D 是 BC 上一点，ABBD，/DEAB，ADBE 求证：ACBE 24北京时间2015 年 7 月 31 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022 年第 24届冬季奥林匹克运动会举办权北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举
5、办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180 千米按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5 倍，用时比普通快车用时少了 20 分钟，求高铁列车的平均行驶速度25阅读下面的材料，解决问题例题：若2222690mmnnn，求 m 和 n的值解：2222690mmnnnQ，2222690mmnnnn，22()(3)0mnn，0mn，30n，3m，3n问题：（1）若2224240 xxxyy，求yx 的值；（2）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足2210841abab，
6、求 c 的取值范围26一块含45 的直角三角板ABC，ABAC，90BAC，点 D 为射线 CB 上一点，且不与点 C，点 B 重合，连接 AD 过点 A 作线段 AD 的垂线 l，在直线 l 上，截取 AEAD（点E与点 C 在直线 AD 的同侧），连接 CE（1）当点 D 在线段 CB 上时，如图1，线段 CE 与 BD 的数量关系为，位置关系为；（2）当点 D 在线段 CB 的延长线上时，如图2，请将图形补充完整；（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由二、附加题（共20 分）27【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图 1
7、可以得到222()2abaabb，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10abc，35abacbc，则222abc（3）小明同学用图3 中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张宽、长分别为a、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)ab ab 长方形，则xyz【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：28 我们知道，任意一个正整数n都可以进行
8、这样的分解：(npq p，q 是正整数，且)pq,，在 n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq 是 n的最佳 分 解 并 规 定：()pF nq 例 如12 可 以 分 解 成 1 12，26 或 34，因 为1216243，所以 34 是 12 的最佳分解，所以3(12)4F（1）如果一个正整数a 是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a 是完全平方数求证：对任意一个完全平方数m，总有()1F m；（2）如果一个两位正整数t，10(19txyx y剟?，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t
9、为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中()F t 的最大值29已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以AC、BC 为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE，且 CACD，CBCE，ACDBCE，直线 AE 与 BD 交于点 F（1）如图 1 所示，求证 AEBD 求AFB（用含的代数式表示）（2）将图1 中的ACD 绕点 C 顺时针旋转某个角度（交点F 至少在 BD、AE 中的一条线段上），得到如图2 所示的图形，若150AFB，请直接写出此时对应的的大小（不用证明）参考答案一、选择题（每小题3 分，共 30 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1下列各式：3a，7ab，2212xy，
10、5，11x，8x，其中分式有()A1 个B2 个C3 个D4 个解：3a，11x这 2 个式子分母中含有字母，因此是分式其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式故选：B 2已知35aba，那么ab等于()A25B52C25D52解：由原式子可得出：5()3aba，即：25ab；所以52ab，故选：B3如图，/AEDF，AEDF，要使EACFDB，需要添加下列选项中的()A ABCDB ECBFCADD ABBC解：/AEDFQ，AD，AEDFQ，要使EACFDB，还需要ACBD，当 ABCD 时，可得ABBCBCCD，即 ACBD，故选：A 4使分式12xx有意义的 x 的取值范围是()
11、A0 xB1xC1xD2x解：Q 使分式12xx有意义，20 x，解得：2x故选：D 5如图，ABCD，ADCB，判定ABDCDB 的依据是()A SSSB ASAC SASD AAS解：在ABD 和CDB 中，ABCDADCBBDDB，()ABDCDB SSS故选：A 6下列各式中最简分式是()AabbaB22xyxyC32abaD22211xxx解：A、原式1，不是最简分式；B、22xyxy是最简分式；C、原式22ba，不是最简分式；D、原式2(1)1(1)(1)1xxxxx，不是最简分式；故选：B 7如图，RtABC 中，90C，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D，若4CDcm，则
12、点 D到 AB 的距离 DE 是()A 5cmB 4cmC 3cmD 2cm解：90CQ，BD 是ABC 的平分线，DEAB，DECD，4CDcmQ，点 D 到 AB 的距离 DE 是 4cm 故选：B 8若分式方程13224axx有增根，则a的值是()A1B2C1D2解：程13224axx方成左右同时乘2(2)x，得26(2)xa解得：106ax2xQ是分式方程的增根，1026a2a故选：B 9如图，下列条件中，不能证明ABCDCB 的是()A ABDC，ACDBB ABDC，ABCDCBC BOCO，ADD ABDC，DBCACB解：根据题意知，BC 边为公共边A、由“SSS”可以判定AB
13、CDCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定ABCDCB，故本选项错误；C、由 BOCO 可以推知ACBDBC，则由“AAS”可以判定ABCDCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定ABCDCB，故本选项正确故选：D 10如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，ABC 和CDE 都是等边三角形BE 交 AC于 F，AD 交 CE 于 G 则下列结论中错误的是()A ADBEB BEACCCFG 为等边三角形D/FGBC解：A、ABCQ和CDE 均为等边三角形，ACBC，ECDC，60ACBECD，ACDECB，在ACD 与BCE 中，QACBCACDBCECDCE，()ACDBCE
14、SAS，ADBE，正确，故本选项错误；B、根据已知不能推出F 是 AC 中点，即 AC 和 BF 不垂直，所以ACBE 错误，故本选项正确；C、CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACGBCAQ，ACDBCEQ，CBECAD，在ACG 和BCF 中QCAGCBFACBCBCFACG，()ACGBCF ASA，CGCF，又60ACGQCGH 是等边三角形，正确，故本选项错误；D、CFGQ是等边三角形，60CFGACB，/FGBC，正确，故本选项错误；故选：B 二、填空题（每小题3 分，共 24 分）11用科学记数法表示：0.0000010861.0810解：60.000001081
15、.08 10故答案为：61.08 1012小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4 的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第2块解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第 2 块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的故答案为：213若3(25)x有意义，则x 满足的条件是52x解：3(25)xQ有意义，250 x，x满足的条件是52x故答案为：52x14计算：21xxxg1解：原式11xxg故答案为115如果多项式2(1)1ymy是完全平方式，那么
16、m 的值为3 或1解：Q 多项式2(1)1ymy是完全平方式，12m，解得：3m或1，故答案为：3 或116当 x1时，分式22121xxx的值为 0解：依题意，得210 x，且2210 xx，(1)(1)0 xx且2(1)0 x，解得，1x故答案是：117如图为6 个边长相等的正方形的组合图形，则123135解：观察图形可知：ABCBDE，1DBE，又390DBEQ，1390 245Q，1231329045135 故答案为：13518已知：21(1(1)nann，2，3，)，记112(1)ba，2122(1)(1)baa，122(1)(1)(1)nnbaaa，则通过计算推测出nb 的表达式n
17、b21nn（用含 n 的代数式表示）解：根据以上分析1222(1)(1)(1)1nnnbaaan三、解答题（本题共46 分）19分解因式：（1）2249xy（2）3222aa bab解：（1）原式22()()33xyxy；（2）原式222(2)()a aabba ab20计算：（1）20190(1)(22)|12|（2）2222()()33aaabbbg（3）2243164mm解：（1）原式1 1(21)22112；（2）原式2422493aaabbbg2224943abababgg34ab；（3）原式24312(4)(4)(4)(4)mmmmm3(4)(4)(4)mmm34m21先化简221
18、1121xxxxx，再任取一个你喜欢的x 的值，代入求值解：2211121xxxxx2(1)(1)1(1)1xxxxxg11xx11xxx11x，当2x时，原式1121322解方程：22124xxx解：去分母得：2(2)24x xx，去括号得：22224xxx，解得：1x，经检验1x是分式方程的解23已知：如图，D 是 BC 上一点，ABBD，/DEAB，ADBE 求证：ACBE【解答】证明：/DEABQ，EDBCBA，而ADBE，ABBD，()ABCBDE ASA，ACBE 24北京时间2015 年 7 月 31 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022 年第 24届冬季奥林匹克运动
19、会举办权北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180 千米按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5 倍，用时比普通快车用时少了 20 分钟，求高铁列车的平均行驶速度解：设普通快车的平均行驶速度为x 千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x 千米/时根据题意得：18018011.53xx，解得：180 x，经检验，80 x是所列分式方程的解，且符合题意则1.51.5180270 x答：高铁列车的平均行驶速度为270 千米/时2
20、5阅读下面的材料，解决问题例题：若2222690mmnnn，求 m 和 n的值解：2222690mmnnnQ，2222690mmnnnn，22()(3)0mnn，0mn，30n，3m，3n问题：（1）若2224240 xxxyy，求yx 的值；（2）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足2210841abab，求 c 的取值范围解：（1）2224240 xxxyyQ，2224420 xxxxyy，22(2)()0 xxy，2x，2y，21(2)4yx；（2）2210841ababQ，2210258160aabb，22(5)(4)0ab，5a，4b，19c26一块含45 的直角三角板ABC
21、，ABAC，90BAC，点 D 为射线 CB 上一点，且不与点 C，点 B 重合，连接 AD 过点 A 作线段 AD 的垂线 l，在直线 l 上，截取 AEAD（点E与点 C 在直线 AD 的同侧），连接 CE（1）当点 D 在线段 CB 上时，如图1，线段 CE 与 BD 的数量关系为CEBD，位置关系为；（2）当点 D 在线段 CB 的延长线上时，如图2，请将图形补充完整；（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由解：（1）如图 1，ABACQ，90BAC，45ABCACB，90BACEADQ，BADEAC，且 ADAE，ABAC，()ABDACE SASCEBD，
22、45ACEABC，90BCE，BDCE，故答案为：CEBD，CEBD；（2）如图 2 所示：仍成立证明：ADAEQ，90DAE，90BACDAEQ，DABEAC，且 ABAC，ADAE，()ADBAEC SAS，CEBD，ACEABD，45ABCACBQ，135ACEABD，90DCEACEACB，CEBD 二、附加题（共20 分）27【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图 1 可以得到222()2abaabb，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：2222()222abcabcabacbc（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题
23、：若10abc，35abacbc，则222abc（3）小明同学用图3 中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张宽、长分别为a、b 的长方形纸片拼出一个面积为(2)(2)ab ab 长方形，则xyz【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：解：（1）由图 2得：正方形的面积2()abc；正方形的面积222222abcabacbc，2222()222abcabcabacbc，故答案为：2222()222abcabcab
24、acbc；（2）2222()222abcabcabacbcQ，10abcQ，35abacbc，222210235abc，2221007030abc，故答案为：30；（3）由题意得：22(2)(2)ab abxaybzab，2222252aabbxaybzab，225xyz，9xyz，故答案为：9；（4）Q 原几何体的体积331 1xxxxg，新几何体的体积(1)(1)xxx，3(1)(1)xxxxx故答案为：3(1)(1)xxxxx28 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：(npq p，q 是正整数，且)pq,，在 n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq
25、 是 n的最佳 分 解 并 规 定：()pF nq 例 如12 可 以 分 解 成 1 12，26 或 34，因 为1216243，所以 34 是 12 的最佳分解，所以3(12)4F（1）如果一个正整数a 是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a 是完全平方数求证：对任意一个完全平方数m，总有()1F m；（2）如果一个两位正整数t，10(19txyx y剟?，x，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中()F t 的最大值解：（1）对任意一个完全平方数m，设2(mnn为正整数），|0nnQ，
26、nn是 m 的最佳分解，对任意一个完全平方数m，总有()1nF mn；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t，则10tyx，tQ为“吉祥数”，(10)(10)9()18ttyxxyyx，2yx，19x yQ 剟?，x，y 为自然数，“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，1(13)13F，42(24)63F，5(35)7F，2(46)23F，3(57)19F，4(68)17F，1(79)79F，Q5243211731719231379，所有“吉祥数”中，()F t 的最大值是5729已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以AC、BC 为边在线段AB 同侧作ACD
27、和BCE，且 CACD，CBCE，ACDBCE，直线 AE 与 BD 交于点 F（1）如图 1 所示，求证 AEBD 求AFB（用含的代数式表示）（2）将图1 中的ACD 绕点 C 顺时针旋转某个角度（交点F 至少在 BD、AE 中的一条线段上），得到如图2 所示的图形，若150AFB，请直接写出此时对应的的大小（不用证明）【解答】证明：（1）ACDBCEQ，ACEDCB，且 ACDC，CBCE，()ACEDCB SASAEBD，ACEDCBQ，AECDBC，180180()AFBEACDBCEACAECQ，且AECEACBCE，180AFB；（2）ACDBCEQ，ACEDCB，且 ACDC，CBCE，()ACEDCB SASAECDBC，CBCEQ，ECB，180CEBCBE；AFBAEBFBEAECCEBFBEDBCFBECEBCBECEBQ，180AFB，且150AFB，30