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1、2019-2020 学年北京 161 中八年级第二学期期中数学试卷一、选择题1下列根式中，不是最简二次根式的是（）ABCD2下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A2，2，3B3，4，5C5，12，13D1，3要使二次根式有意义，那么x 的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx24下列计算正确的是（）A2+2B55+5CD5 45如图，矩形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O若 AOB60，BD 6，则 AB 的长为（）A4B4C3D56下列式子不一定是二次根式的是（）ABCD7从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135，则此四边形的四个内角依次
2、为（）A45，135，45，135B50，135，50，135C45，45，135，135D以上答案都不对8矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相平分D两组对角分别相等9 在菱形 ABCD 中，A：B1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A2B4C1D210在类比探究菱形的有关问题这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）A四条边都相等的四边形是菱形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形C两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形D两组对边分别平行的四边形是平行
3、四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分）11如果+0，那么 xy 的值为12计算2等于13下列四组数：0.6，0.8，1：5，12，13；8，15，17；4，5，6其中是勾股数的组为14如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点 O，ABAC若 AB12，AC10，则 BD 的长为15已知菱形的两条对角线长分别为6 和 8，则菱形的周长是，面积是16九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺折者高几何？意思为：一根竹子，原高一
4、丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有尺竹子（请直接写出答案，注：1 丈10 尺）17图中每个小方格的边长是l，若线段 EF 能与线段AB、CD 组成一个直角三角形，则线段 EF 的长度是18在 RtABC 中，C90，若 a，A45，则 c 边长为19如图，将两条宽度都为3 的纸条重叠在一起，使ABC60，则四边形ABCD 的面积为20如图，矩形ABCD 中，AB8，BC4，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是三、解答题（共40 分）21计算：（1）；（2）22已知：如
5、图，在ABC 中，B30，C45，AC22，AC2，求（1）AB 的长；（2）SABC23如图，在ABC 中，ABAC，DAC 是 ABC 的一个外角实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作 DAC 的平分线AM；（2）作线段 AC 的垂直平分线，与AM 交于点 F，与 BC 边交于点E，连接 AE，CF猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明24如图，E、F 分别为平行四边形ABCD 的边 BC、AD 上的点，且1 2，求证：AECF25若 ABC 的三边长a、b、c 满足 6a+8b+10c 50a2+b2+c2，试判断 ABC 的形
6、状26如图，长方形ABCD 中，AB8，BC 10，在边 CD 上取一点E，将 ADE 折叠后点D 恰好落在BC 边上的点F 处（1）求 CE 的长；（2）在（1）的条件下，BC 边上是否存在一点P，使得 PA+PE 值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由27 CDE 和 AOB 是两个等腰直角三角形，CDE AOB90，DC DE1，OAOBa（a1）（1）将 CDE 的顶点 D 与点 O 重合，连接AE，BC，取线段BC 的中点 M，连接 OM 如图 1，若 CD，DE 分别与 OA，OB 边重合，则线段OM 与 AE 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；如图 2，若 CD
7、在 AOB 内部，请你在图2 中画出完整图形，判断OM 与 AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；将 CDE 绕点 O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 式子表示）；（2）是否存在边长最大的AOB，使 CDE 的三个顶点分别在AOB 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a 的值；如果不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分）1下列根式中，不是最简二次根式的是（）ABCD【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则
8、就不是解：C、；它不是最简二次根式故选：C2下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A2，2，3B3，4，5C5，12，13D1，【分析】欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解：A、22+2232，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、32+4252，能构成直角三角形，此选项不合题意；C、52+122132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、12+（）2（）2，能构成直角三角形，此选项不合题意故选：A3要使二次根式有意义，那么x 的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】二次根式的性质：被开方数大于等于0解：根据题意，得2x
9、40，解得，x2故选：C4下列计算正确的是（）A2+2B55+5CD5 4【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案解：A、2+，无法合并，故此选项错误；B、55+5，故此选项错误；C、，不是同类二次根式，无法合并；D、54，正确故选：D5如图，矩形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O若 AOB60，BD 6，则 AB 的长为（）A4B4C3D5【分析】先由矩形的性质得出OAOB，再证明 AOB 是等边三角形，得出ABOB3 即可解：四边形ABCD 是矩形，OAAC，OBBD 3，ACBD6，OAOB，AOB 60，AOB 是等边三角形，AB OB3，故选：C6下列式子不一定是二
10、次根式的是（）ABCD【分析】根据二次根式的定义逐一判断可得答案解：A中 a0 时式子无意义，不是二次根式；B、中 b2+11，是二次根式；C、是二次根式；D是二次根式；故选：A7从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135，则此四边形的四个内角依次为（）A45，135，45，135B50，135，50，135C45，45，135，135D以上答案都不对【分析】本题对题意进行分析，从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为135，可将两条垂线与相垂直的两边构成一个四边形，即可求出平行四边形锐角的度数，进而求出钝角的度数【解答】解：过点A 作 AECD 于
11、 E，AF BC 于 F，EAF 135，DAE EAF DAF 45，BAF EAF BAE45，BAD 45，四边形ABCD 是平行四边形，C BAD 45，ABC ADC180 BAD 135，四边形的四个内角依次为45，135，45，135，故选：A8矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行B对角线相等C对角线互相平分D两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都
12、分别相等，故本选项错误故选：B9 在菱形 ABCD 中，A：B1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A2B4C1D2【分析】由菱形ABCD 中，DAB：ABC 1：2，可求得 DAB 的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解解：如图：四边形ABCD 是菱形，AB CD，AD ABBCCD，ACBD，菱形 ABCD 的周长为8，AB 2，AD BC，DAB+ABC 180，DAB：ABC1：2，DAB 60，ABD 是等边三角形，BD AB2，在 Rt OAB 中，OABDAB 30，OB1，OAOB，AC 2OA2，22，较短的那条
13、对角线长为2，故选：D10在类比探究菱形的有关问题这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）A四条边都相等的四边形是菱形B两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形C两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形D两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判断即可解：由作图的第一步可知AD AB，由作图的第二步可知CDAB，由作图的第三步可知ADBC，四边形ABCD 是平行四边形，AD AB，四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故选：B
14、二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分）11如果+0，那么 xy 的值为6【分析】根据非负数的性质求出x、y，计算即可解：由题意得，x 30，y+20，解得，x3，y 2，则 xy 6，故答案为：612计算2等于2【分析】先化简二次根式，然后计算减法解：原式 332故答案是：213下列四组数：0.6，0.8，1：5，12，13；8，15，17；4，5，6其中是勾股数的组为2【分析】满足a2+b2c2的三个正整数，称为勾股数，依此即可求解解：0.62+0.820.82，不是整数，不是勾股数；52+122132，是勾股数；82+152172，是勾股数；42+5262，不是勾股数
15、；其中是勾股数的组为2故答案为：214如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点 O，ABAC若 AB12，AC10，则 BD 的长为26【分析】利用平行四边形的性质可知AO5，在 Rt ABO 中利用勾股定理可得BO13，即可得出BD2BO26解：四边形ABCD 是平行四边形，BD 2BO，AOOCAC5AB 作 AC，BAC 90，在 Rt ABO 中，由勾股定理可得：BO13BD 2BO26故答案为：2615已知菱形的两条对角线长分别为6 和 8，则菱形的周长是20，面积是24【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据菱形
16、的四条边都相等求解即可；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解解：菱形的两条对角线长分别为6 和 8，两对角线的一半分别为3、4，由勾股定理得，菱形的边长 5，所以，菱形的周长45 20；面积6824故答案为：20；2416九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有尺竹子（请直接写出答案，注：1 丈10 尺）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜
17、边为（10 x）尺利用勾股定理解题即可解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10 x）尺，根据勾股定理得：x2+32（10 x）2，解得：x故答案为：17图中每个小方格的边长是l，若线段 EF 能与线段AB、CD 组成一个直角三角形，则线段 EF 的长度是或【分析】根据勾股定理得出AB，CD 的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可解：AB，CD，当 EF 为斜边时，EF，当 EF 是直角边时，EF，故答案为：或18在 RtABC 中，C90，若 a，A45，则 c 边长为2【分析】根据等腰直角三角形的性质：斜边是直角边的倍求解即可解：RtABC 中，C 90，a，A 45，ab，ca2，故
18、答案为219如图，将两条宽度都为3 的纸条重叠在一起，使ABC60，则四边形ABCD 的面积为6【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是 3cm 与 ABC 60求出菱形的边长，然后利用菱形的面积底高计算即可解：纸条的对边平行，即AB CD，AD BC，四边形ABCD 是平行四边形，两张纸条的宽度都是3，S四边形ABCDAB3BC 3，AB BC，平行四边形ABCD 是菱形，即四边形ABCD 是菱形如图，过A 作 AEBC，垂足为E，ABC 60，BAE 90 60 30，A
19、B 2BE，在 ABE 中，AB2BE2+AE2，即 AB2AB2+32，解得 AB2，S四边形ABCDBC?AE23 6故答案是：620如图，矩形ABCD 中，AB8，BC4，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是5【分析】首先连接EF 交 AC 于 O，由矩形 ABCD 中，四边形EGFH 是菱形，易证得CFO AOE（AAS），即可得OAOC，然后由勾股定理求得AC 的长，继而求得OA的长，又由AOE ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案解：连接EF 交 AC 于 O，四边形EGFH 是菱形，EF
20、 AC，OEOF，四边形ABCD 是矩形，B D90，ABCD，ACD CAB，在 CFO 与 AOE 中，CFO AOE（AAS），AOCO，AC4，AOAC2，CAB CAB，AOE B90，AOE ABC，AE 5故答案为5三、解答题（共40 分）21计算：（1）；（2）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式2+42，然后合并同类二次根式；（2）先把分母利用平方差公式计算，然后约分即可解：（1）原式 2+42+2；（2）原式2+22已知：如图，在ABC 中，B30，C45，AC22，AC2，求（1）AB 的长；（2）SABC【分析】（1）过点 A 作 ADBC 于 D，根据
21、锐角三角函数的定义求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义求出AB 的长（2）利用三角形面积公式解答即可解：（1）过点 A 作 AD BC 于 DAD BC，ADC 90在 Rt ADC 中，C45，AC2，AD DC2，在 Rt ABD 中，B30，AD 2，AB 2AD4（2）在 Rt ABD 中，B 30，AD 2，AB 2AD4BDAD 2，SABC?BC?AD2（2+2）2+223如图，在ABC 中，ABAC，DAC 是 ABC 的一个外角实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作 DAC 的平分线AM；（2）作线段 AC 的垂直平分线，
22、与AM 交于点 F，与 BC 边交于点E，连接 AE，CF猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明【分析】先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由ABAC 得ABC ACB，由 AM 平分 DAC 得 DAM CAM，则利用三角形外角性质可得CAM ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OAOC，AOF COE，于是可证明 AOF COE，所以 OF OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF 的形状为菱形解：如图所示，四边形 AECF 的形状为菱形理由如下：AB AC，ABC ACB，AM 平分 DAC，DAM CAM，而 DAC ABC+ACB，CAM ACB，
23、EF 垂直平分AC，OAOC，AOF COE，在 AOF 和 COE 中，AOF COE，OF OE，即 AC 和 EF 互相垂直平分，四边形AECF 的形状为菱形24如图，E、F 分别为平行四边形ABCD 的边 BC、AD 上的点，且1 2，求证：AECF【分析】根据平行四边形的性质证明2 FCB，进而可得1 FCB，然后证明四边形 AECF 是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD CB，2 FCB，1 2，1 FCB，AE FC，四边形AECF 是平行四边形，AE CF25若 ABC 的三边长a、b、c 满足 6a+8b+10c 50a
24、2+b2+c2，试判断 ABC 的形状【分析】把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断ABC 的形状解：6a+8b+10c50a2+b2+c2，（a26a+9）+（b2 8b+16）+（c2 10c+25）0，（a3）2+（b4）2+（c5）20，（a3）20，（b4）20，（c 5）20，a30，得 a3；b 40，得 b4；c50，得 c5又 5232+42，即 a2+b2c2，ABC 是直角三角形26如图，长方形ABCD 中，AB8，BC 10，在边 CD 上取一点E，将 ADE 折叠后点D 恰好落在BC 边上的点F 处（1）求 CE
25、 的长；（2）在（1）的条件下，BC 边上是否存在一点P，使得 PA+PE 值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由【分析】（1）先判断出AFAD 8，进而利用勾股定理求出BF 6，最后在 Rt ECF，利用勾股定理，即可得出结论；（2）先作出点E 关于 BC 的对称点E，进而求出DE，再利用勾股定理即可得出结论解：（1）长方形ABCD 中，AB8，BC 10，B BCD 90，CDAB 8，AD BC10，由折叠知，EFDE，AF AD8，在 Rt ABF 中，根据勾股定理得，BF6，CF BCBF 4，设 CEx，则 EF DE CDCE8 x，在 Rt ECF 中，根据勾股定理
26、得，CF2+CE2EF2，16+x2（8x）2，x3，CE 3；（2）如图，延长EC 至 E使 CECE3，连接 AE交 BC 于 P，此时，PA+PE 最小，最小值为AE，CD8，DE CD+CE8+311，在 Rt ADE 中，根据勾股定理得，AE27 CDE 和 AOB 是两个等腰直角三角形，CDE AOB90，DC DE1，OAOBa（a1）（1）将 CDE 的顶点 D 与点 O 重合，连接AE，BC，取线段BC 的中点 M，连接 OM 如图 1，若 CD，DE 分别与 OA，OB 边重合，则线段OM 与 AE 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；如图 2，若 CD 在 AOB 内部
27、，请你在图2 中画出完整图形，判断OM 与 AE 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；将 CDE 绕点 O 任意转动，写出OM 的取值范围（用含a 式子表示）；（2）是否存在边长最大的AOB，使 CDE 的三个顶点分别在AOB 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a 的值；如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用 CDE AOB 得出 BCAE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解 作辅助线，利用COF EOA 及三角形中位线得出OM AE 分两种情况，当OC 与 OB 重合时 OM 最大，当OC 在 BO 的延长线上时OM 最小，据此求
28、出OM 的取值范围（2）分两种情况：当顶点 D 在斜边 AB 上时，设点 C，点 E 分别在 OB，OA 上 由 DM+OMOF 求出直角边a 的最大值；当顶点D 在直角边AO 上时，点C，点 E 分别在 OB，AB 上时，利用EHD DOC，得出 ODEH，在 Rt DHE 中，运用勾股定理ED2 DH2+EH2，得出方程，由判定出a 的最大值解：（1）CDE 和 AOB 是两个等腰直角三角形，CDED，AOB0，CDE AOB，在 CDE 和 AOB 中，CDE AOB（SAS），BC AEM 为 BC 中点，OMBC，OMAE 猜想：OMAE证明：如图2，延长 BO 到 F，使 OF O
29、B，连接 CF，M 为 BC 中点，OMCF，CDE 和 AOB 是两个等腰直角三角形，CDED，AOBOOF，CDE AOB，AOC+COB BOE+COB 90，AOC BOE，FOC AOE，在 COF 和 EOA 中，COF EOA，CF AE，OMAE、如图3，当 OC 与 OB 重合时，OM 最大，OM，、如图4，当 OC 在 BO 的延长线上时，OM 最小，OM1，所以 OM，（2）解：根据 CDE 的对称性，只需分两种情况：如图 5，当顶点 D 在斜边 AB 上时，设点C，点 E 分别在 OB，OA 上作 OF AB 于点 F，取CE 的中点 M，连接 OD，MD，OM AOB
30、 和 CDE 是等腰直角三角形，AOB CDE90，OAOBa（a1），DC DE1，ABa，OF ABa，CE，DM CE，在 RTCOE 中，OMCE，在 RTDOM 中，DM+OM OD，又 ODOF，DM+OM OF，即+a，a2，直角边a 的最大值为2 如图 6，当顶点 D 在直角边AO 上时，点C，点 E 分别在 OB，AB 上，作 EH AO 于点 H AOB CDE DHE 90，HED+EDH CDO+EDH 90，HED CDO，DCDE，在 EHD 和 DOC 中，EHD DOC（AAS）设 ODx，ODEH AH x，DH a2x，在 Rt DHE 中，ED2DH2+EH2，1x2+（a2x）2，整理得，5x24ax+a2 10，x 是实数，（4a）245（a21）204a20，a25，a2的最大值为5，a 的最大值为综上所述，a 的最大值为