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1、习题 4-1 1.设随机变量X的分布律为X-2 0 2 P0.4 0.3 0.3 求()E X；E(23 X);2()E X；2(35)EX.解由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(XE;(23)23()23(0.2)2.6EXE X;8.23.023.004.0)2()(2222XE;4.1358.235)(3)53(22XEXE.2.设随机变量X的概率密度为,0,()0,0.xexf xx求XeZXY22和的数学期望.解0()(2)2()22xE YEXE Xxxe d,2201()()3XxxE ZE eee dx.3.游客乘电梯从底层到电视塔顶观光,电梯于每个整
2、点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处,且 X 在区间 0,60上服从均匀分布.求该游客等候电梯时间的数学期望.解已知 X在0,60 上服从均匀分布,其概率密度为1,060,()600,.xf x 其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.XXXXYg XXXXX因此,6001()()()()()60E YE g Xg x f x dxg x dx52555600525551(5)(25)(55)(65)60 x dxx dxx dxx dx=11.67(分钟).14.某保险公司规定,如果
3、在一年内顾客的投保事件A 发生,该公司就赔偿顾客a 元.若一年内事件A 发生的概率为p,为使该公司受益的期望值等于a 的 10,该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费c元.引入随机变量.A,0,A1不发生事件发生事件，X则1,01P XpP Xp.保险公司的受益值1,0.caXYcX，于是()()10E YcaP XcP Xapc.据题意有10%apca,因此应要求顾客角保费(0.1)cp a.习题 4-2 1.选择题(1)已知(1,(3)EDXX则23(2)()EX.(A)9.(B)6.(C)30.(D)36.解223(2)3(44)EXE XX23()4()4E XE
4、X23()()4()4D XE XE X3(3144)36.可见，应选(D).(2)设(,),(6,(3.6)B n pEDXXX,则有().(A)10,0.6np.(B)20,0.3np.(C)15,0.4np.(D)12,0.5np.解因为(,),B n pX所以 E(X)=np,D(X)=np(1-p),得到 np=6,np(1-p)=3.6.解之,n=15,p=0.4.可见，应选(C).(3)设 X与 Y相互独立，且都服从2(,)N,则有().(A)()()()E XYE XE Y.(B)()2E XY.(C)()()()D XYD XD Y.(D)2()2D XY.解注意到0)()(
5、)(YEXEYXE.由于 X 与 Y 相互独立,所以22)()()(YDXDYXD.选(D).(4)在下列结论中,错误的是().(A)若(,),().XB n pE Xnp则(B)若1,1XU，则()0D X.(C)若 X 服从泊松分布,则()()D XE X.(D)若2(,),XN则(0,1)XN.解)1,1(UX,则3112212)()(22abXD.选(B).2.已知 X,Y 独立,E(X)=E(Y)=2,E(X2)=E(Y2)=5,求 E(3X-2Y),D(3X-2Y).解由数学期望和方差的性质有E(3X-2Y)=3E(X)-2 E(Y)=32-22=2,(32)9()4()DXYD
6、XD Y)()(4)()(92222YEYEXEXE13)45(4)45(9.3.设 随 机 变 量X1,X2,X3相 互 独 立,其 中X1服 从 区 间 0,6 上 的 均 匀 分 布,220,2XN（）,33XP（）,记12323YXXX,求 E(Y)和 D(Y).解由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12E XD XE XD X3321111(),()39E XD X.由期望的性质可得123123()(23)()2()3()132034.3E YE XXXE XE XE X又123,XXX相互独立,所以123123()(23)()4()9()1344920.9D
7、YD XXXD XD XD X4.设两个随机变量X 和 Y 相互独立,且都服从均值为0,方差为12的正态分布,求|XY的的期望和方差.解记UXY.由于11(0,),(0,)22XNYN,所以()()()0,E UE XE Y()()()1D UD XD Y.由此(0,1)UN.进而222222001222(|)(|)|22xxxE XYE Uxedxxedxe;2222(|)()()()101E UE UD UE U.故而22222(|)(|)(|)(|)11DXYD UE UE U.5.设随机变量2,1UX,随机变量.0,1,0,0,0,1XXXY求期望()E Y和方差)(YD.解因为 X的
8、概率密度为1,12,()30,.Xxfx 其它于是 Y的分布率为00-111031()dd3XP YP Xfxxx,000P YP X,+20021031()dd3XP YP Xfxxx.因此121()1001333E Y,222212()(1)001133E Y.故有2218()()()199D YE YE Y.6.设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布,随机变量1,1,1,1.UXU若若1,1,1,1.UYU若若求 E(X+Y),D(X+Y).解(1)随机变量(X,Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).1,1P XYP U1,U-1-211141d4P
9、Ux,1,1P XYP U1,U10,1,11P XYP U,U111121d4x,2111,11,141d4P XYP UUx.于是得 X和Y的联合密度分布为X Y-1 1-1 14121 0 14(2)YX和2)(YX的概率分布分别为X+Y-2 0 2 P X+Y =k 141214(X+Y)20 4 P(X+Y)2=k 1212由此可见22()044E XY;2()()2D XYEXY.习题 4-3 1.选择题(1)在下列结论中,()不是随机变量X 与 Y 不相关的充分必要条件(A)E(XY)=E(X)E(Y).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C)Cov(X,Y)=0.(D)X
10、 与 Y 相互独立.解X 与 Y 相互独立是随机变量X 与 Y 不相关的充分条件,而非必要条件.选(D).(2)设随机变量X和 Y都服从正态分布,且它们不相关,则下列结论中不正确的是().(A)X 与 Y 一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X 与 Y 未必独立.(D)X+Y 服从一维正态分布.解对于正态分布不相关和独立是等价的.选(A).(3)设(X,Y)服从二元正态分布,则下列说法中错误的是().(A)(X,Y)的边缘分布仍然是正态分布.(B)X 与 Y 相互独立等价于X 与 Y 不相关.(C)(X,Y)是二维连续型随机变量.(D)由(X,Y)的边缘分布可完全确定(X,Y)的
11、联合分布.解仅仅由(X,Y)的边缘分布不能完全确定(X,Y)的联合分布.选(D)2 设 D(X)=4,D(Y)=6,XY=0.6,求 D(3X-2Y).解(32)9()4()12Cov(,)DXYD XD YX Y)()(126449YDXDXY727.24626.0122436.3.设随机变量X,Y 的相关系数为5.0,0)()(YEXE22()()2E XEY,求2()EXY.解222()()2()()42Cov(,)()()E XYE XE XYE YX YE X E Y42()()420.526.XYD XD Y4.设随机变量(X,Y)的分布律为X Y 1 2 0 1 0.4 a0.2
12、 b若 E(XY)=0.8,求常数 a,b 和协方差 Cov(X,Y).解首先由111ijijp得4.0ba.其次由0.8()1 00.4201 1 0.22 10.22E XYabb得3.0b.进而1.0a.由此可得边缘分布律X12Y01 iXP0.6 0.4 jYP0.5 0.5 于是4.14.026.01)(XE,5.05.015.00)(YE.故Cov(,)()()()0.81.40.50.1X YE XYE X E Y.5.已知随机变量(,)(0.5,4;0.1,9;0)X YN,Z=2X-Y,试求方差D(Z),协方差Cov(,)X Z,相关系数XZ.解由于 X,Y 的相关系数为零,
13、所以 X 和 Y 相互独立(因 X 和 Y 服从正态分布).因此25944)()(4)2()(YDXDYXDZD,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08X ZXXYX XX YD X.因此Cov(,)80.825()()XZX ZD XD Z.6.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布:2(1,3)XN,2(0,4)YN;X 与 Y 的相关系数1,232XYXYZ.求:(1)E(Z),D(Z)；(2)X 与 Z 的相关系数XZ;(3)问X 与 Z 是否相互独立?为什么?解(1)由于)3,1(2NX,)4,0(2NY,所以16)(,0)(,9)(,1)(YDYEXDXE,而
14、1Cov(,)()()3462XYX YD XD Y.因此31021131)(21)(31)23()(YEXEYXEZE,1111()()()()2Cov(,)329432XYD ZDD XD YXY111916Cov(,)943X Y3)6(3141.(2)由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9(6)0,323232XYX ZXD XX Y所以Cov(,)0()()XZX ZD XD Z.(3)由0XZ知 X 与 Z 不相关,又 X 与 Z 均服从正态分布,故知 X 与 Z 相互独立.7证明:对随机变量(X,Y),E(XY)=E(X)E(Y)或者 D(XY)=D(X)+D(Y
15、)的充要条件是X与 Y 不相关.证首先我们来证明)()()(YEXEXYE和()()()D XYD XD Y是等价的.事实上,注意到()()()2Cov(,)D XYD XD YX Y.因此()()()D XYD XD YCov(,)0()()()X YE XYE X E Y.其次证明必要性.假设 E(XY)=E(X)E(Y),则Cov(,)()()()0X YE XYE X E Y.进而Cov(,)0()()XYX YD XD Y,即 X 与 Y 不相关.最后证明充分性.假设 X 与 Y 不相关,即0XY,则Cov(,)0X Y.由此知)()()(YEXEXYE.总习题四1.设X 和 Y 是
16、相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知X 的分布律为1,1,2,33P Xii.又设max,min,UX YVX Y.(1)写出二维随机变量(U,V)的分布律;(2)求()E U.解(1)下面实际计算一下1,3P UV.注意到max,min,UX YVX Y,因此1,31,33,1 P UVP XYP XY1 33 1P XP YP XP Y9231313131.类似地计算,可得(,)U V的分布律如下表U V 123119292920192930019(2)由(,)U V的分布律可得关于U 的边缘分布律U 123P Ui193959所以13522()1239999E U.2.从学校乘汽车
17、到火车站的途中有3 个交通岗.假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率是25.设 X为途中遇到红灯的次数,求随机变量 X 的分布律、分布函数和数学期望.解令 X 表示途中遇到红灯的次数,由题设知2(3,)5XB.即 X 的分布律为X0 1 2 3 P 2712554125361258125从而3127543686()01231251251251255kE XkP Xk.3.设随机变量),(YX的概率密度为212,01,(,)0,.yyxf x y 其它求22(),(),(),()E XE YE XYE XY.解11240004()(,)1245xE Xxfx y dxdydxxy
18、dyx dx.11240003()(,)1235xE Xyfx y dxdydxyy dyx dx.112500031()(,)12362xE XYxyf x y dxdydxxyy dyx dx.1222222200()()(,)()12xE XYxyf x y dxdydxxyy dy155012423216(4)5653015xxdx.4.设随机变量(X,Y)的概率密度为1sin(),0,0,222(,)0,.其它xyxyf x y求 E(X),D(X),E(Y),D(Y),E(XY)和 Cov(X,Y).解22001()(,)sin()24E Xxf x y dxdyxxy dxdy.
19、22222200()(,)1sin()2.282E Xx f x y dxdyxxy dxdy于是有2216)()()(222XEXEXD.利用对称性,有2216)(,4)(2YDYE.又()(,)E XYxyf x y dxdy22001sin()2xyxy dxdy220022001sin()21sincoscos sin 2xdxyxy dyxdxyxyxy dy12.所以协方差2Cov(,)()()()1216X YE XYE X E Y.5.设随机变量X 与 Y独立,同服从正态分布1(0,)2N,求(1)();()E XYDXY；(2)(max,);(min,)EX YEX Y.解(
20、1)记YX.由于)21,0(),21,0(NYNX,所以,0)()()(YEXEE1)()()(YDXDD.由此)1,0(N.所以2222012(|)(|)|22xxEXYExedxxedx22022xe,101)()()()|(|2222EDEE.故而2121|)(|)|(|)(|)(|222EEDYXD.(2)注意到2|)(),max(YXYXYX,2|),min(YXYXYX.所以21221|)()(21),max(YXEYEXEYXE,21221|)()(21),min(YXEYEXEYXE.6.设随机变量),(YX的联合概率密度为,02,02,8(,)0,.xyxyf x y 其它求
21、:E(X),E(Y),Cov(X,Y),XY,D(X+Y).解注意到),(yxf只在区域20,20:yxG上不为零,所以()(,)8GxyE Xxf x y dxdyxx yd d222000117()(1)846dxx xy dyx xdx,22()(,)E Xx f x y dxdy222232000115()()843dxxxy dyxxdx,因而36116735)()()(2222XEXEXD.又()(,)E XYxyf x y dxdy22220001144()()8433dxxy xy dyxx dx.由对称性知2275()(),()()63E YE XE YE X,3611)()
22、(XDYD.这样，4491Cov(,)()()()33636X YE XYE X E Y,Cov(,)111()()XYX YD XD Y,5()()()2Cov(,)9D XYD XD YX Y.7.设 A,B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P AP B AP A B,令10AXA，发生,，不发生,10BYB，发生,，不发生.求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(2)X 与 Y 的相关系数XY.解由1()(|)3()P ABP BAP A得1111()()33412P ABP A,进而由1(|)2P A B()()P ABP B得1()2()6P BP AB.在此基础
23、上可以求得(1)11,1()12P XYP AB,1110,1()()()61212P XYP ABP BP AB,1111,0()()()4126P XYP ABP AP AB,0,0()1()1 ()()()P XYP ABP ABP AP BP ABU1112146123.故(X,Y)的概率分布为Y X0 1 0 231121 16112(2)由(1)易得关于 X和 Y的边缘分布律X0 1 PX=k 3414Y0 1 PY=k 5616因此211(),(),44E XE X22113()()()41616D XE XE X,22211115(),(),()()()6663636E YE YD YE YE Y.又由(X,Y)的分布律可得21111()0001101 1312121212E XY.故111()()()1246()()3516361515XYE XYE X E YD XD Y.