《2022年《概率论与数理统计》习题及答案第四章 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《概率论与数理统计》习题及答案第四章 .pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载概率论与数理统计习题及答案第四章1一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y的分布列 . 解(,)X Y的分布列为123111061211126661130126其中(1,1)(1)(1 |1)P XYP XP YX(1,2 )(1)(2 |P XYP XP YX121436余者类推。2将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y的分布列及边缘分布列。解一 枚 硬 币 连
2、掷 三 次 相 当 于 三 重 贝 努 里 试 验 ， 故1(3,).2XB331()( ) ,0,1,2,32kP XkCk，于是(,)X Y的分布列和边缘分布为X Y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载012333610088811230088813318888jipp其中(0 ,1)(0 )(1 |0 )P XYP XP YX，13313(1,1)(1) (1|1)(
3、)128P XYP XP YXC，余者类推。3设(,)X Y的概率密度为1(6),02,24,( , )80,.xyxyf x y其它又 （1）( , )|1,3Dx yxy；（2）( , )|3Dx yxy。 求( , )P X YD解（ 1）13021(, )(6)8Px yDxy dxdxy1194368228；（ 2）13021(,)(6)8xPX YDxy dxdy11200113(1)(3)482xx dxxdx524. 4设(,)X Y的概率密度为22222(),( ,)0,.C RxyxyRfx y其他求（ 1）系数C； （2）(,)X Y落在圆222()xyrrR内的概率 .
4、 解（1）22222232001()RxyRCRxydxdyC RCr drdY X x x+y=3 4 2 2 y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载333233RRCRC，33CR. （2）设222( , ) |Dx yxyr，所求概率为2222233(, )()xyrPX YDRxydxdyR322323232133rrrRrRRR. 5已知随机变量X和Y的联合概率密度
5、为4,01,01( , )0 ,.xyxyf x y其它求X和Y的联合分布函数. 解1设(,)X Y的分布函数为( ,)F x y，则(,)(,)xyF x yf u v dudv001001000 ,00,4,01, 01,4,01,1,4,1, 01,1 ,1,1.xyxyxyuvdudvxyuydudyxyxvdxdvxyxy或22220,00,01, 01,01,1,1, 01,1 ,1,1.xyx yxyxxyyxyxy或解2由联合密度可见，,X Y独立，边缘密度分别为2 ,01,( )0 ,;Xxxfx其他2,01,( )0 ,.Yyyfy其它边缘分布函数分别为( ),( )XYF
6、xFy，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载20,0,( )( ),01,1 ,1.xXXxFxfu duxxx20,0,( )( ),01,1 ,1.yYXyFyfv dvyyy设(,)X Y的分布函数为( ,)F x y，则22220,00,01, 01( , )( )( ),01,1,1, 01,1 ,1,1.XYxyx yxyF x yFxFyxxyyxyxy或6设二
7、维随机变量(,)X Y在区域:01Dx，|yx内服从均匀分布，求边缘概率密度。解(,)X Y的概率密度为1,( , ),( , )0,.x yDf x y其他关于X和Y的密度为0 ,01()(,),01,xXxxxfxf x y dydyx或2 ,01,0 ,.xx其他110 ,1,10 ,()(,),01,0 ,1.yYyyd xyfyfx y d xd xyy1,10 ,1,01,0,.yyyy其他1 |,| 1,0,.yy其他7设(,)X Y的概率密度为y x 1 0 D x+y=1y x 0 x=y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
8、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,0,( ,)0 ,.yexyf x y其他求边缘密度和概率(1)P XY解0,0 ,0 ,0 ,()(,),0.,0 ;Xxyxxxfxfx y d yexe dyx00 ,0 ,0 ,0 ,()(,),0.,0 ;yYyyyyfyfx y d xy eyed xy111122001(1)( , )()xyxxxxyP XYf x y dxdye dy dxee e dx11212ee. 8一电子仪器由两个部件组成，以X和Y
9、分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0( , )0,.xyxyeeexyF x y其他（1）问,X Y是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过100 小时的概率 . 解（1）先求边缘分布函数：0.51,0,( )lim( , )0,0.xXyexFxF x yx0.51,0,( )lim( , )0,0.yYxeyFyF x yy因为( , )( )( )XYF x yFxFy，所以,X Y独立 . （2）(0.1,0.1)(0.1) (0.1) 1(0.1)1(0.1)P XYP XP YP XPY0.050.050.1ee
10、e. 9设(,)X Y的概率密度为(),0,0,( , )0,.xyexYf x y其他间,X Y是否独立？解边缘密度为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载00,0,0 ,0,( )( ,),0.,0;Xxxyxxfxf x y dyexe e dyx0 ,0,( ),0.Yyyfyey因为(,)()()XYf x yfxfy，所以,X Y独立 . 10设(,)X Y的概率密度
11、为8,01,( , )0 ,.xyxyf x y其他问,X Y是否独立 . 解边缘密度210 ,01,4 (1),01,( )( , )0,8, 01.Xxxxxxxfxf x y dyxydyx或其他;304 , 01,8, 01,( )( , )0 ,0 ,yYyyxydxyfyf x y dx其他;其他;因为( , )( )( )XYf x yfxfy，所以,X Y不独立。11设(,)X Y的概率密度为1,| 1, | 1,( , )40,.xyxYf x y其他试证明X与Y不独立，但2X与2Y是相互独立的。证先求,X Y的联合分布函数( , )F x yy=x 1y x 0 y x 0
12、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载111111110,11,1,| 1, | 1,41( , ),| 1,1,41,1, | 1,41,1,1;xyxyxyuvdudvxyuvF x ydudvxyuvdudvxyxy或220,1111(1)(1)(1)(1),| 1,4161(1),1, | 121(1),| 1,1,21,1,1.xyxyxyxyxyxxyxy或关于X的
13、边缘分布函数为0 ,1,1( )lim( , )(1),11,21 ,1.XyxFxF x yxxx关于Y的边缘分布函数为0,1,1( )(1),11,21,1.YyFyyyy因为(, )( )( )XYF X YFxFy，所以,X Y不独立 . 再证2X与2Y独立：设22,XY的联合分布函数为1( , )Fz t，则0 ,0221( , )(,),ztFz tP Xz YtPzxztYt名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - -
14、- - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载(,)(,)(,)(,)FztFztFztFzt0 ,00,01, 01,1, 01,01,1,1 ,1,1.zttzzttztzztzt或关于22()XY的边缘分布函数分别为210 ,0,( )lim( , ),01,1 ,1.XtzFzFz tzzz20,0,( ),01,1 ,1.YtFtttt因为221( , )( )( )XYFz tFzFt，所以2X与2Y独立 . 证2利用随机向量的变换（参见王梓坤概率基础及其应用83 页）设22,ZXTY. 函 数2zx的 反 函 数 为212,;xzxzty的 反 函 数 为12,.ytyt111
15、11110,12140,2xxzztJztyytzt，221112211,4JJJJzt；于是22(,)XY的概率密度函数为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载22111( , )(,) |ijijijfz tf xyJ111111, 01, 01,440 ,.ztztztztztzt其他1,01, 01,40,ztzt其它.关于2X的边缘密度为211,01,( )( , )2
16、0,.Xzfzfz t d tz其它关于2Y的边缘密度为21,01,( )20,.Ytftt其他因为221( , )( )( )XYfz tfzft，所以22,XY独立 . 12设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处 . YX1y2y3yiiP Xxp1x182x18()ijPYyp161 解设(,)1,2,1,2,3.ijijP XxYypij由联合分布和边缘分布的关系知11124p名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
17、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载由独立性1 11 11 311()68ppp，即131114248p，故13112p，11111248124p，234p222213()84pp，所以2238p，212p31111623p231113124p所以(,)X Y的分布为YX1y2y3yiiP Xxp1x12418112142x18381434()ijP Yyp1612131 13已知随机变量1X和2X的概率分布为1101111424X，2011122X而且12(0)1P X X（1）求1X
18、和2X的联合分布；（2）问1X和2X是否独立？为什么？解（1）12(0) 1P X X知1212(1,1)(1,1)0P XXP XX，再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)XX的分布为1X2X10122()iP Xx014014121012012名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载11()iP Xx1412141 （ 2）因1212111(1,0)(1)(0)442P X
19、XP XP X，所以,XY不独立 . 14设随机变量,X Y相互独立，且都服从(,)b b上的均匀分布，求方程20ttXY有实根的概率 . 解设A方程有实根 ，则A发生240XY即224()(4 )( ,)xyP AP XYf x y dxdy2242211()444xbbbbbxdxdybdxbb32211246242bbbb，4b. 当4b时，图形如下：222221(4 )1()44bbxP XYbdxb332221114(88)412b bbbb213 b15已知随机变量X和Y的联合分布为( , )(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(,)0.100.150.25
20、0.200.150.15x yP Xx Yy试求： （1）X的概率分布； （2）XY的概率分布解（1）X的分布为0120.250.450.30XP（2）XY的分布为2()2xyy x b b y x 2b2 b名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载01230.100.40.350.15XYP16 设X与Y为 独 立 同 分 布 的 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 分
21、 布 列 为()P Xn1()()2nP Yn，1,2,n，求XY的分布列 . 解设ZXY，Z的分布为11()()() ()kiP ZkP XYkP Xi P Yki1111( ) ( )22kikii1(1)( )2,3,2kkk17设,X Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为, n p的二项分布，证明ZXY服从参数为2 ,n p的二项分布 . 证0()()()()kiP ZkPXYkP Xi P Yki0(1)(1)kiin ikikin kinniC ppCpp2220(1)(1)kkn kik ikkn knnnippC CCpp0, 1, 2kn故ZXY服从参数为2 , np的二
22、项分布 . 注：此处用到一个组合公式：0kikikmnm niC CC此公式的正确性可直观地说明如下：从mn个不同的元素中取k个共有km nC种不同的取法。 从另一个角度看， 把mn个元素分布两部分，一部分有m个，另一部分有n个，从第一部分中取i个再配上从第二部分中取ki个， 不同的取法共ikimnC C，让i从0变到k，总的取法是0kikimniC C，这两种取法应相等. 18设,X Y相互独立，其概率密度分别为1,01,( )0,;Xxfx其他,0 ,( )0 ,0.yYeyfyy求XY的概率密度 . 解1设ZXY，由卷积分式，Z的概率密度为( )()( )ZXYfzfzy fy dy名师
23、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,0, 01,()( )0 ,.yXYeyzyfzyfy其它不等式0, 01yzy确定平面域D如图 . 当0z时，( )0Zfz当01z时，0( )zyZfze dy01zyzee当1z时，1( )(1),zyzZzfzedyee综上所述0,0,( )1,01,(1),1.zZzzfzezeez解2变量代换法：( )( )()ZXYfzfx f
24、zx dx，注意到当01x时( )Xfx=1，有110( )( )()()( )uz xzZXYYYzfzfx fzx dxfzx dxfu du令1( ),zYzfu du因0 ,0,( ),0.Yuufueu所以，当0z时，( )0Zfz，当01z时，0( )1zuzZfzedue，当1z时，1( )(1)zuzZzfze duee. 综上所述1 0 z y D 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - -
25、- - 优秀学习资料欢迎下载0,0()1,01,(1 ) ,1.zZzzfzezeez解3分布函数法：设Z的分布函数为( )ZFz，则( )()()( )( )ZXYxyzFzP ZzP XYzfx fy dxdy001000,0,01,1,zzyyzxyze dydxzedydxz当时,当时,当时0,0,1,01,1,1.zzzzzezee ezZ的概率密度为0,0( )( )1,01,(1),1.zZZzzfzFzezeez19设部件1L的寿命()XE，2L的寿命()YE，按下图联结构成系统L，即当部件1L损坏时，部件2L立即开始工作，求系统L的寿命Z的概率密度 . 解X的密度为,0,(
26、)0,.xXexfx其他Y的密度为,0,( )0,0.yYeyfyy设Z的密度为( )Zfz，则()()()ZXYfzfxfzx d x(),0,0,( )()0,.xzxXYeexzxfxfzx其他当0z时，( )0Zfzy x+y=1 1 0 x x+y=0 L2L1L X Y o zx 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载当0z时，()0( )zzxZfzeedx()0
27、1zzxee()zzee, 当时220( )zzzZfzedxze综相所述ZXY的密度为0,0( )(),0.Zzzzfzeez. 20,0,( ),0.Zzzfzzez. 20设(,)X Y的概率密度为3 ,0,01,( , )0 ,.xyxxf x y其他求ZXY的概率密度 . 解1利用ZXkY的密度公式：( )(,)Zfzf zkyy dy，取1k得( )(, ),Zfzf zy ydy其中3(),01,0,0,(, )0,.zyzyzyf zy y其他不等式01,0,0zyzy确定平面域如图当0z或1Z时( )0Zfz，当01z时，10( )3()zZfzzy dy22333 (1)(
28、1)(1).22zzzz即ozy 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载23(1),01,( )20,.Zzzfz其他解2设Z的分布函数为( )ZFz，密度为( )Zfz，则( )()()( ,)ZxyzFzP ZzP XYzf x y dxdy1000,0,33,01,1,1.zxxzxzzxdxdyxdxdyzz30,0,31,01,221,1.zzzzz于是23(1),0
29、1,( )( )20,.ZZzzfzFz其他21设随机变量(,)X Y的概率密度为222221( , ),2xyf x yexy，求22ZXY的概率密度( )Zfz. 解设Z的分布函数为( )ZFz，则22( )()()ZFzP ZzP XYz220( , )zxyzf x y dxdy222222212xyxyzedxdy222220012rzerdrdx y x-y=0 x-y=zx-y=1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 22 页
30、 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2222222001112ruruzzerdredu令故2220,0,( )1,0.2zZzfzez2222201zrzee，故2220,0,( )( )1,0.2zzzzfzFzez22设随机变量X与Y独立，2( ,)XN，,YU，试求ZXY的概率密度( )Zfz解1由卷积公式( )( )(),ZXYfzfxfzx dx其中22()21,( )()220,.xXYexzxfxfzx其它不等式,xzx确定平面区域D：当z时22()21( )22xzZzfzedx221122xttzzedt令1()() .2zz解2用变量代换：( )()
31、( )ZXYfzfzy fy dy. 因为,YU所以当y时1( )2Yfy22()21( )()( )22zyZXYfzfzy fy dyedy22()2122uuzyzzedu令x y 0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载22()2122uzzedu1()()2zz. 23设随机变量(,)X Y的概率密度为(2)2,0,0,( , )0,.xyexyf x y其他求2Z
32、XY的分布函数( )ZFz. 解2( )()(2)( , )ZxyzFzP ZzP XYzfx y dxdy22000,0,2,0.z xzxyze edy dxz0,0,1,0.zzzezez24设二维随机变量(,)X Y在矩形( ,)|02, 01Gx yxy上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度( )f s. 解1设矩形的面积为S，则SXY，又设S的分布函数为( )SFs，则( )()()( ,).Sxy sFsP SsP XYsx y dxdy其中1,( , ),( , )20 ,.x yGx y其他( )( ,)SxysFsx y dxdy120000,0,11,02
33、,221,2.ssxssdxdydxdyss0,0,(1 ln 2ln ),02,21,2.sssssx+2y=z z00 x y x+2y=0o S xy=S,0S2x y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载于是1(ln 2ln ),02,( )( )20,.Sssf sFs其他解2利用乘积的密度公式( )(,)|sdyf syyy1,01, 02,2(,)0 ,.sys
34、yyy其他当0S或2s时( )0,f s当02s时1122111( )ln(ln 2ln )222ssf sdyysy综上所述1(ln 2ln ),02,( )20,.ssf s其他25设X和Y为两个随机变量，且340,0,(0)(0),77P XYP XP Y求max(,)0.PX Y解 m ax (,)0 (0 )(0 ) (0 )PXYPXYP XP Y44350,0.7777P XY26设,是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为1(),1,2,33Pii，又设max( , )X，min(, )Y，试写出二维随机变量(,)X Y的分布律及边缘分布列并求().P解X的可能值
35、为1,2,3，Y的可能值为1,2,3. 1(1,1)max( , )1, min( , )1 (1,1),9P XYPP依此类推可求出(,)X Y的分布列及边缘分布列如下：1 0 S y2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载YX1 2 3 ip1 1900192 29190393 29291959jp5939191 1()3P. 27假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状
36、态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布 . 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布 . 解设T的分布函数为( )TFt，第i件元件的寿命为iX，其分布函数为( )F x. 则123( )()min(,)TFtP TtPXXXt31 1( )F t31,0,0,0.tett即( 3)TE28 设 随 机 变 量1234,XXXX独 立 同 分 布 ：(0)0.6iP X，(1)0.4iP X，1,2,3, 4i. 求行列式1234XXXXX的概率分布解112142334XXXX XX XXXX的可能值为1, 0, 1. 14
37、23(1)(0,1)P XP X XX X14141423(0,1) (1,0) (0,0),(1,1)P XXXXXXXX名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载14141423 (0,1)(1,0)(0,0) (1,1)P XXP XXP XXP XX0.60.40.60.40.360.160.1344同理可求出(0)0.7312,(1)0.1344P XP X，即X的分布为
38、10100.13440.73120.1344X解2先求出14X X及23X X的分布14010.840.16X XP23010.840.16X XP1423(1)(0 ,1)0. 8 40. 1 60. 1 3 4 4 ,P XP XXX X1423(0 )()0. 8 40. 840. 1 60. 1 60. 7 3 1 2P XP XXXX，1423(1)(1,0 )0. 1 60. 8 40. 1 3 4 4.P XP XXX X即X的分布列为1010.13440.73120.1344XP29在习题 7 中求条件概率密度解,0,( , )0 ,.yexyf x y其他,0,( )0 ,0
39、.xXexfxx,0 ,( )0,0.yYyeyfyy所以|1,0,( , )( | )( )0,.X YYxyf x yyfx yfy其他|,0,( , )(| )( )0,.y xY XXexyf x yfy xfx其他30设X关于Y的条件概率密度为23|3/,0,(|)0,.X Yxyxyfx y其他而Y的密度为45,01,( )0 ,.Yyyfy其他名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载求1()2P X解(,)X Y的概率密度为2|15,01,( , )(|)( )0,.X YYx yxyf x yfx yfy其他112121()152xP Xx ydxdy2121214715.264xxdx1 1/2 y x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -