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1、习题 4-1 数学期望 一、填空题 1若离散型随机变量 X 的分布为 P(X=k)=k21（k=1,2），则 E(X)=。答案：2 解答过程：21111xxxxxxxkxkkkk 令22112121)(,2121kkkXEx则 2已知随机变量 XB(100，21），即 P（X=k）=C100100)21(k（k=0,100）则随机变量 Y=2X+5 的数学期望 E(Y)=答案：EY=2EX+5=105 3.设（X，Y）的概率密度为：A 0 x1，0yx f(x,y)=0 其他 则 A=，E(XY)=答案：A=2 E（XY）=14 412)(010 xxydydxXYE 二、单项选择题 1设连续
2、型随机变量 X 的分布函数为：0 x0 F（x）=x3 0 x1 1 x1 则：E(X)=（）（a）0 x4dx （b）103x3dx（c）10 x4dx+1xdx （d）03x3dx 答案：b 因为10323)(,010,3)(dxxXExxxf，其他 2设 X 为随机变量，则 E（3X5）=（a）3E(X)+5 （b）9E(X)5 （c）3E(X)5 （d）3E(X)答案：c 3设随机变量 XB(n,，则 DX 满足（）（a）DXEX2 （b）DXEX2（c）DX=EX2 （d）DX=0 答案：b 4设随机变量 X 的密度函数为 2 0 x21 f(x)=0 其他 则 E（2X2+1）=（
3、）（a）0 （b）67 （c）2 （d）21 答案：c 三、计算题 1罐中有 5 颗围棋子，2 颗白子，3 颗黑子，如果有放回地每次任取一子，共取 3 次，则 3 次中取到的白子次数是一个离散型随机变量，试写出这个随机变量的概率函数，并计算它的期望 解：设 X 表示取到的白子次数，X 的概率函数为：XB（3,52）EX=np=353=56=DX=npq=35253=2518=2设随机变量 X 的概率分布为如下表所示 X 2 0 1 2 P 31 21 121 121 求E（X）E（2X2+1）解：（1）E（X）=125 （2）E（2X2+1）=29 3设连续型随机变量 X 的概率密度为：f(x
4、)=323x 0 x 0 其它 已知 P（X1）=87，试确定常数的值，并计算 E(X)。解：8711313132dxxXP 所以=2，EX=20383)(dxxdxxxf；4二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为：x+y 0 x1 0y1 f(x,y)=0 其他 求 E（X）解：E（X）127)(),(1010 dxdyyxxdxdyyxxf 习题 4-2 方 差 一、填空题 1设连续型随机变量 X 的概率密度为：f(x)=1122xxe (x+)则 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=答案：EX=1，DX=21 2设 X 为一随机变量，若 E(X)=1，D（2X）=1，则 E（X1
5、）2=。答案：4 3 设随机变量 X 的期望为 u，均方差0，则当 a=，b=时，E（a+bX）=0，D（a+bX）=1 答案：a=，b=1 4设连续型随机变量 X 的概率密度为：ax+b 0 x1 f(x)=0 其他 且 D(X)=181，则 a=b=E(X)=答案：a=2 or2，b=2 or b=0 EX=32or31 5设随机变量 X 在区间1，2上服从均匀分布，随机变量 1 X0 Y=0 X=0 1 X0 则方差 D(Y)=_ 答案：98 二、单项选择题 1设随机变量 X 的期望 EX 存在，且 EX=a，EX2=b，c 为一常数，则 D（cX）=（）(a)c(ab2)(b)c(ba
6、2)(c)c2(ba2)(d)c2(ab2)答案：c 2设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 6 和 3，则随机变量 2X3Y 的方差是（）（a）51 （b）21 （c）3 （d）36 答案：a 三、计算题 1对上节计算题的第一小题中的随机变量，计算其方差。设 X 表示取到的白子次数，X 的概率函数为：XB（3,52）EX=np=353=56=DX=npq=35253=2518=2某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆车经过，某一乘客到车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量 X，已知 X 的概率密度为：101 0 x10 f(x)=0 其他 求 X 的数学期
7、望与均方差 解：因为是均匀分布，故 EX=5 DX=325 3设连续型随机变量 X 的概率密度为：2(1x)0 x1 f(x)=0 其他 求 Y1=X3及Y2=e-X的期望与方差。解 EY1=103)1(2dxxx=，036.0)1(2)(10321dxxxYE 故 DY1=，EY2=10)1(2dxxex=,568.0)1(2)(10222dxxeYEx 故 DY2=4证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 1/4。解：随机变量 X 是 0-1 分布 412141)1()(22pppppXD 习题 4-3 协方差与相关系数 一、填空题 1.设 X、Y 是两个随机变量，已知 EX=2，EX2
8、=20，EY=3，EY2=34，XY=则 E（3X+2Y）=，D（3X+2Y）=答案：E（3X+2Y）=12 D（3X+2Y）=364 364),cov(12)(4)(9)23(10205.0)()(),cov(,25)(,16)(YXYDXDYXDYDXDYXYDXDXY 2.若随机变量 X 与 Y 相互独立，则一定有XY=。答案：XY=0 二、单项选择题 1如果随机变量 X 与 Y 满足 D（X+Y）=D（XY），则下列式子正确的是（）（a）X 与 Y 相互独立 （b）X 与 Y 不相关（c）DY=0 （d）DXDY=0 答案：b 2若随机变量 X 和 Y 的协方差 Cov（X，Y）0，则
9、XY满足（）（a）XY0 （b）XY0 （c）XY0 （d）XY=0 答案：b 3对任意随机变量 X、Y，有 D（X+Y）=（）（a）D（X）+D（Y）（b）DX+DY2Cov（X，Y）（c）D(X)+DY+2Cov（X，Y）（d）DX+DY+Cov（X、Y）答案：c 三、计算题 1设随机变量（X，Y）只能取（1，0），（1，1）和（0，1）三组数，且取这三组数的概率分别为21、31和61，计算 X、Y 的相关系数，并问 X、Y 是否不相关是否独立 解：X Y-1 0 jp 0 1/2 0 1/2 1 1/3 1/6 1/2 ip 5/6 1/6 121)()()(),cov(31)(41)(
10、,365)(21)(,65)(,21)(,65)(22YEXEXYEYXXYEYDXDYEXEYEXE XY=DYDXYXCov),(=51 即 X，Y 相关，所以 X、Y 不独立 2设（X、Y）的联合概率密度为：)(31yx 0 x1 0y2 f(x,y)=0 其他 求 X、Y 的期望与方差，协方差与相关系数。解：EX=2010)(3dxdyyxx=39.0)(3)(201022 dxdyyxxXE DX=EY=2010)(3dxdyyxy 488.1)(3)(201022 dxdyyxyYE DY=488.1)(3)(2010 dxdyyxxyXYE Cov（X、Y）)()()(YEXEX
11、YE=XY)()(),cov(YDXDYX 3设随机变量 Y 服从区间0，2上的均匀分布。令 X1=sinY ，X2=cosY ，求X1X2 解：1cossin222221YYXX 0,212121XXXXXX不相关没有线性关系，即 习题 4-4 大数定律与中心极限定理 1星期一上午来到某画展陈列室的顾客人数X是一个随机变量，其分布未知。已知18(人)，2.5(人)，试用车贝谢夫不等式估计顾客数X在 8 到 28 人之间的概率是多少 解：9375.0105.21101828822XPXP 2.设)100,2,1(iXi是相互独立的随机变量，且都服从参数01.0的泊松分布，记1001iiXY，试
12、用中心极限定理求)1(Yp.解：01.0)()(),01.0(iiiXDXEX)01.0100,01.0100(NY近似)1,1(NY近似即 5.0)0(111111 YP 3.已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是 20，标准差是 15，求在该品种 100 个麦穗中，麦粒总数在 1800 到 2200 粒之间的概率.解：215)(20)(iiXDXE，)150,2000(21001NXYii近似 816.01)34(2150200018001502000220022001800 YP 4.每次投篮命中率为，求 600 次投篮中命中次数大于 250 次的概率.解：24.0)(4.0)(),4.0,
13、1(iiiXDXEbX，)144,240(1001NXYii近似 2033.0)65(1122402501250YP 5一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取 1，（元）各个值的概率分别为,。某天售出 300 只蛋糕。1）求这天的收入至少 400 元的概率；2）求这天售出价格为元的蛋糕多于 60 只的概率。解：（1）)300,2,1(iXii只蛋糕的价格记第 iX 1 P 713.1)(,29.1)(iiXDXE 3001iiXX9.513713.1300)(,37829.1300)(XDXE 2843.09.5133874001400X
14、P（2）元的蛋糕，售出的不是元的蛋糕售出的是2.102.1,1iY)2.0,300(3001bYYii)48,60(3001NYYii近似 5.0486060160YP 6 某大型商场每天接待顾客 10000 人，设每位顾客的消费额(元)服从均匀分布100,1000U，且顾客的消费额是相互独立的。试求 1）该商场的日消费额(元)与平均日消费额之差的绝对值不超过2万(元)的概率；2)如果以95%的概率保证该商场的日消费额在400万元以上，那么光顾该商场的顾客数至少为多少 解：（1）12900)(,550)(,1000,1002iiiXDXEUX)1290010000,5500000(210000
15、1NXXii近似 56.011290010020000220000)(XEXP（2）14000000XP95.0129005504000000nn 645.112900400000550nn 故37.34 10n 第四章 复习题 一、填空题 1已知离散型随机变量 X 的概率函数为：X 2 1 0 1 P（X=xk）61 31 31 61 则 E(X)E(2X)答案：EX=21 EX2=67 2对球直径作测量，设其直径 X 服从a,b上的均匀分布，则球的体积 Y 的数学期望E(Y)=。答案：EY=24(a+b)(a2+b2)3已知 X 服从均匀分布，密度函数为：21 0 x2 f(x)=0 其他
16、 ;则 E（sinX）=答案：0 4.若有 D(X)=25，D(Y)=36，XY=，则 D(X+Y)=，D(XY)=。答案：85，37 二、单项选择题 1设随机变量 X 的期望 EX 为一非负值，且 E（22X1）=2，D（2X1）=21，则 EX=（）。（a）2 （b）1 （c）0 （d）8 答案：a 2设随机变量 X 的期望 EX，方差 DX 及 EX2都存在，则一定有（）（a）EX0 （b）EX2EX （c）（EX）2EX2 （d）DX0 答案：d 3若随机变量 X 的期望 EX 存在，则 EE（EX）=（）（a）0 （b）X （c）EX （d）3EX 答案：c 4设 X 为一随机变量，
17、若 D（10X）=10，则 DX=（）（a）101 （b）1 （c）10 （d）100 答案：a 5对任意随机变量 X、Y，有 E（XY）=（）（a）EXEY （b）EXEY+Cov（X，Y）（c）EXEYCov（X，Y）（d）EXEY2Cov（X，Y）答案：b 6设 X、Y 为随机变量，则 Cov（3X、2Y）=（）（a）Cov3X+Cov2Y （b）Cov3XCov2Y（c）36Cov（X，Y）（d）6Cov（X，Y）答案：d 三、计算题 1设随机变量 X 的概率密度为 ax2+bx+c 0 x10 f(x)=0 其它 已知 EX=DX=求 a、b、c 的值 解 因为 120()1323a
18、bcaxbxc dx 1025.0234)()(cbadxcbxaxxXE 4.0)5.0(15.0)()(345)()(2102222XEXDcbadxcbxaxxXE 解之得 3,12,12cba 2某保险公司设置某一险种，规定每一保单有效期为一年，有效理赔一次，每个保单收取保费 500 元，理赔额为 10000 元，据估计每个保单索赔概率为，设公司共卖出这种保单800 个，求该公司在该险种上获得的期望利润。解:设随机变量800,2,10,1iiiXi个保险单不索赔，第个保险单索赔第 一年索赔的保险单数80021XXXX），（05.0800 b 公司在该险种上获得的利润XL10000500
19、800 公司在该险种上获得的平均利润 005.080000000400000)(10000500800)(XELE（元）3一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 10g，标准差为 1g，100 个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少（假设每个螺丝钉的重量都不受其他螺丝钉重量的影响）解：10021XXXX 1)(,100)(iiXDXE gXXXEXE10000)()(10021 gXDgXDXDXDXD10)(100)()()()(210021 4一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，在安装机器时，从这批零件中任取 1 个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出
20、的废品数的数学期望和方差。解：X 0 1 2 3 P 3/4 9/44 9/220 1/220 32.0)()()(3.0)(22XEXEXDXE 5设随机变量 X 的分布函数为 0 x1 F（x）=a+barc(sinx)1x1 1 x1 试确定常数 a,b，并求 EX 及 DX。解：其他,011,1)(2xxbxf 11)(12arcsinlim1121bdxxbdxxfbaxbax a=21，b=1，EX=1121dxxbx0，DX=112221)(dxxbxXE21 6证明对于任何常数 c，随机变量 X 有 DX=E(Xc)2(EXc)2 证明：2222)(2)()(2)(CXCEXE
21、CXCEXE右边 左边)()()(22XDXEXE 7设随机变量 X 服从参数=1 的泊松分布，Yb（4，），已知 D（X+Y）=，计算它们的相关系数XY。解：),cov(2)()()(YXYDXDYXD 48.022.08.0416.22)()()(),cov(YDXDYXDYX 6.02.08.04148.0)()(),cov(YDXDYXXY 8两随机变量 X 与 Y 的联合分布律如下表所示，计算 X 与 Y 的相关系数XY,并判断X 与 Y 是否独立 Y X 1 0 1 1 81 81 81 0 81 0 81 1 81 81 81 证明：YX,的边缘分布律分别为 X-1 0 1 P
22、3/8 2/8 3/8 Y-1 0 1 P 3/8 2/8 3/8 0000ppp,所以X和Y不相互独立.又0)()(YEXE 81)1()1()(XYE811)1(81)1(108111 0)()()(),cov(YEXEXYEYX 0)()(),cov(YDXDYXXY于是 X和Y不相关.9设（X、Y）的联合概率密度为：kcos(x+y)0 x2，2y0 f(x,y)=0 其他 求 X、Y 的期望与均方差，协方差与相关系数。解：EX=2002)cos(dydxyxxk DX=22002222785.0)cos()()(dydxyxkxXEXE 0220)cos()(dydxyxykYE DY=20220222785.0)cos()()(dydxyxkyYEYE DX ,DY ,)()()(),cov(YEXEXYEYX 20220188.0)cos(dydxyxxyk XY)()(),cov(YDXDYX