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1、第四章 随机变量的数字特征注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、 解 每次抽到正品的概率为：，放回抽取，抽取次，抽到正品的平均次数为：2、方案一：平均年薪为3万方案二：记年薪为X，则，故应采用方案二3 、解 由于：所以的数学期望不存在。4、，。5、 解 每次向右移动的概率为，到时刻为止质点向右移动的平均次数，即的期望为：时刻质点的位置的期望为：6、不会7 、解 方法 1：由于，所以为非负随机变量。于是有：方法二：由于，所以，可以求出T的概率函数：于是8、，（1）（2）（3） 。9解 设棍子上的点是在0,1之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从0,1的均匀分布。于是
2、：包含Q点的棍子长度为T，则：，于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：10、，即先到的人等待的平均时间为20分钟。11、解 (I)每个人化验一次，需要化验500次（II）分成k组，对每一组进行化验一共化验次，每组化验为阳性的概率为：，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为：。将（II）的次数减去（I）的次数，得：于是：当时，第二种方法检验的次数少一些；当时，第一种方法检验的次数少一些；当时，二种方法检验的次数一样多。12、。13、解 由题意知：，（1） 计算可得（2） A的位置是（x，y），距中心位置（0，0）的距离是：，于是所求的平均距离为： 14、（1）
3、时，时，由得，。（2） ，。15、解 于是：16、记为进入购物中心的人数，为购买冷饮的人数，则 故购买冷饮的顾客人数服从参数为的泊松分布，易知期望为。17、解：由题意知 ，其中。于是从而于是：又从而18、 .19、解 20、 ，21、解 (1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：，用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有：（参考77页的例4.2.5）（3） 用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是22、 （1） （2） 23、解 证明：24、 （1）故服从参数为的指数分布，故，。故。（2），故。（3) ，25、解（1）由相关系数的定义，得
4、：，其中通过计算得，即，从而说明是不相关的。（2）很显然，不是相互独立的。26、(1)，同理，故和正相关。又，故和不独立。（2）故，即和不相关。又 所以，故和相互独立。27、解（1）由题意得：，结合已知条件，可求出：，由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为： A B P(A=i) 1/16 1/8 1/16 1/4 1/8 1/4 1/8 1/2 1/16 1/8 1/16 1/4（2）（3），其中所以：，说明A和C是负相关的。28（1）不会写（2）（3） ，。29.解 （1）证明：由于X和Y相互独立，于是由题意得从而有（2）当时，和是不相关的；当，即时，说明和是正相关的当，即
5、时，说明和是负相关的显然，和是 不独立的30 （1），故和不独立。（2） 故和正相关。31、解 （1）泊松分布的表示式为：，于是通过计算有：故：因此若为正整数，则众数为和-1；当不为正整数时，则众数为的整数部分。32 （1）由知，和不相关，等价于和相互独立。，和分别为和的标准化变量。 （2) 时，则（3） 因，故定义知的中位数为，众数为。（4）故或时，和不相关。又正态分布的独立性与相关性相同，故或时，和独立且不相关，否则不独立且相关。33、解 （1）由题意可知：，说明 ，说明 ，说明 （2）对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立。由于，所以与相关且不独立 由于，所以与相关且不独立由于，所以与不相关且独立从而（由88页性质4）可以判断出，与不相互独立（3）计算有，于是，其中，