概率论与数理统计答案第四章.pdf

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1、第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设D(x)为退化分布：1x 0D(x) 0 x 0讨论以下分布函数列的极限是否仍是分布函数？11(1)D(x n); (2)D(x ); (3)D(x 0,其中n 1,2,nn解： 1 2不是； 3是。4.2 设分布函数Fn(x)如下定义：x n 0 x nFn(x) n x n2nx n1F(x) lim Fn(x)n问是分布函数吗？解：不是。Fn(x)弱收敛于分布函数F(x)， 且F(x)为连续函数， 则Fn(x)在(,)上一致收敛于F(x)。证：对任意的 0，取M充分大，使有1 F(x) ,x M;F(x) ,x M对上述取定的M， 因为F(x)在M

2、,M上一致连续， 故可取它的k分点：x1 M x2 xk1 xk M，使有F(xi1)F(xi),1ik，再令x0 ,xk1，则有F(xi1) F(xi) ,0 i k 11这时存在N，使得当n N时有| Fn(xi) F(xi)|,0 i k 12成立，对任意的x(,)，必存在某个i(0 i k)，使得x(xi,xi1)，由2知当n N时有Fn(x) Fn(xi1) F(xi1) 3Fn(x) Fn(xi) F(xi)4由1 ， 3 ， 4可得Fn(x) F(x) F(xi1) F(x) F(xi1) F(xi) 2，Fn(x) F(x) F(xi) F(x) F(xi) F(xi1) 2即

3、有Fn(x) F(x) 2成立，结论得证。，4.5 设随机变量序列n同时依概率收敛于随机变量与， 证明这时必有P() 1。n2，故证：对任意的 0有0 P Pn Pn 0,n 022即对任意的 0有P 0成立，于是有11P PP 0kk1kk1从而P() 1成立，结论得证。4.6 设随机变量序列证明：PP 。nn1n； 2nn，n分别依概率收敛于随机变量与，证：1因为nnnn22故0 P(nn) Pn Pn 0,n 22P 成立。nn即P22 n2先证明这时必有。对任给的 0, 0取M足够大M 11P M2，使有成立， 对取定的M， 存在N， 当n N时Pn1 PnM有 成立这时有Pn M P

4、n 2 Mn 2 Mn1 P(|n| | 2| M)(|n|1) P P(| 2| M 1) P(|n|1) 2从而有P(|n22|) P(|n|n|) P(|n|n|)(|n| M) P(|n|n|)(|n| M) P(|n|M) P(|n| M) 32nP22nP2,由的任意性知，同理可证，由前述1有2nn (nn) ()22 2P 故nn，结论成立。P a，a 0是一个常数，且n 0，证明n4.7 设随机变量序列22n2nP1nP 1a。证 ： 不 妨 设a 0对 任 意 的0 a， 当na 时 有na a2 a(n a) a2 a，n an a 2aa a。于是有n因而110 Pnan

5、 an a Pn a Pn a nanana Pa2a Pna 0,n 。结论成立。4.9 证明随机变量序列n依概率收敛于随机变量的充要条件为：nE 0,n 1n1xf (x) 0,x 0f (x) 2(1 x)1 x，x 0，证：充分性，令则，故f (x)是nnx(x 0)的单调上升函数，因而1 |n|1，于是有nPn P11nnE 0,n 1n1对任意的 0成立，充分性得证。PA:n ，故存 0n必要性，对任给的，令，因为在充分大的N使得当n N时有P(A) ，于是有Ennn EI1AE(1)IA1nnn P(A) 2，nE 0,n 1n由的任意性知，结论为真。bn b，4.10 设随机变

6、量n按分布收敛于随机变量， 又数列an a，证明annbn也按分布收敛于ab。证：先证明an按分布收敛于a。a 0时为显然，不妨设a 0a 0时的修改为显然 ，假设a，an，n的分布函数分别记作Fa， x xFFFanFn，与， 则Fax=a， 当x是Fa的连续点时，a是F的连续点，于是有 x xlimFan(x) limFn limF Fa(x)nnanan(an a)0PP，再由4.6(1)知n(an a) bnbnanbn an(ana)nbn按分布收敛于ab，结论得证。n按分布收敛于随机变量，随机变量序列n依概率收敛于常数a，证明nn按分布收敛于 a。证：记,n的分布函数 分别 为F(

7、x),Fn(x)，则 a的分 布函 数为F(x a)，设x是F(x a)的连续点，则对任给的 0，存在 0，使当0 时有| F(x a ) F(x a) |1现任取0 12， 使得x a 1,x a 2都是F()的连续点， 这时存在N1，当n N1时有| F(x a 1) Fn(x a 1)|2| F(x a 2) Fn(x a 2)|3对取定的1，存在N2，当n N2时有P(|na |1) 4于是当n max(N1,N2)时，由1 ， 2 ， 4式有P(nna) x a) P(nna x a)(|na |1) P(nna x a)(|na |1) P(n x a 1) P(|na |1) F

8、(x a)3(5)又因为P(n x a 2) Pnn(na) x 2(|na |2) P(n x a 2)(|na |2)于是由1 ， 3 ， 4式有P(nna x a) Pnn(na) x 2(|na |2) P(n x a 2) P(|na |2 F(x a)36由5 ， 6两式可得| P(nna x a) F(x a)| 3由的任意性即知nn按分布收敛于 a，结论得证。n按分布收敛于，随机变量序列n依概率收敛于0，证明nn0.P证：记,n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，对任给的 0，取a 0,b 0足够大，使 a,b是F(x)的连续点且1 F(b) ,F(a) 因为Fn(x)F(x

9、)，故存在N1，当n N1时有1 Fn(b) 2,Fn(a) 2W令M max(a,b)，因为n0，故存在N2，当n N2时有P(|n|PM) 而P(|nn|) P(|nn|)(a n b)(|n| P(|nn|)(a n b)(|n|M)M) I1 I2其中I1 0，当n max(N1,N2)时有P(|nn|)(a n b) P(a n b) P(n a)(n b) Fn(a)1 Fn(b) 4P因而P(|nn|) I2 5，由的任意性知nn0，结论为真。4.13 设随机变量n服从柯西分布，其密度函数为pn(x) n(1 n2x2)P证明n0,n 。证：对任意的 0，有P(|n|) Pnn1

10、dx n(1t2)dt1,n (1 n2x2)故n0,n 。4.14 设n为一列独立同分布随机变量，其密度函数为1p(x) 00 x 其它P1,2,n)，证明n。其中 0为常数，令n max(证：对任意的n，0 n为显然，这时有nnx1xP(n x) P(i x) dx (i1)n,0 x i10P(n x) 0,x 0;P(n x) 1,x 对任意的 0()，有P(|n|) P(n) ()n 0,n P故n成立，结论得证。4.15 设n为一列独立同分布随机变量，其密度函数为e(xa)p(x) x a0 x aP令n min(1,2,n)，证明na。证：设i的分布函数为F(x)，有1e(xa)

11、F(x)x a0 x a这时有nP(n x) P()i) 1 F(x)n en(xa,x ai1对任意的 0，有P(|na |) P(na ) en 0,n P故na成立，结论得证。n为一列独立同分布随机变量，都服从(0,1)上的均匀分布，假设n1n (k)nPk1，证明nc(c为常数），并求出c。证：这时lnn也是独立同分布随机变量序列，且E1n0lnxdx 1P1nlni1lnnn服从大数定理，即有i1由辛钦大数定律知，令f (x) ex，则f (x)(i) ei1n1n1nlnini1e1 cP结论成立。n为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为a，且方差nP2kkan(n 1)k

12、1存在，证明。n2nkk2E an(n 1)k1证：已知n，记Dn，令，则n2Enka an(n1)k14Dn2n (n1)242kn1k1n22对任给的 0，由契贝晓夫不等式有1 42P(|n a |) 2Dn2 0,n n 11故na，结论得证。n为一列独立同分布随机变量，且Dn2存在，数学期望为零，1n2P2kn证明k1。222E D ，由辛钦大数定律nnn证：这时仍独立同分布，且P知结论成立。4.21 设随机变量序列n按分布收敛于随机变量， 又随机变量序列n依概率收敛于常数a(a 0),n 0，则nn按分布收敛于a。1n1P11Pn 0n() 0ana，而a按分布收敛于a 11nnnn

13、naa按分布收敛于a，结论成立。为独立同N(0,1)分布的随机变量序列， 证明2nnn1k1n2k的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。22E1，由辛钦大数nn证：这时也为独立同分布随机变量序列，且1n2Pi 1定律知ni1，又n1服从N(0,1)分布，当然弱收敛于N(0,1)n按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证。1nDk 02nk14.23 如果随机变量序列n，当n 时有，证明n服从大数定律马尔柯夫大数定律证：由契贝晓夫不等式即得。4.26在 贝 努 里 试 验 中 ， 事 件A出 现 的 概 率 为p， 令n1,若在第n次及第n1次实验中A出现0，其它证明n服从大数定律。22E E pn

14、nn证 ：为 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ， 且， 因 而Dn p2(1 p2) 1，又当|i j | 2时，i与jn服从大数定律，结论得证。n为一列独立同分布随机变量， 方差存在， 又n1an为绝对收敛级数，令n nii1，则ann服从大数定律。22E 0 EEnnnnnn证： 不妨设。 否则令， 并讨论即可。 记，nninn又c | an| n1。因为i1aa (iiii1k1k) k(ai)k1ik，故有nnn1122D(aii) 2Ek(ai) 22nnni1k1ikc22(ai) 0,n nk1iknn2ann服从大数定律，结论得证。n为一列独立同分布随机变量，共同分布为2k

15、1P(n2) k,k 1,2,k2试问n是否服从大数定律？答：因为En存在，由辛钦大数定律知n服从大数定律。n为一列独立同分布随机变量，共同分布为P(n k) c,k 2,3,22k log k其中c (11)22k2k log k，问n是否服从大数定律？答：因为En存在，由辛钦大数定律知n服从大数定律。4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有 95%以上的把握保证所观察到的频率与概率少次试验？解：令上1第n次试验时图钉的尖头朝n其它0pp的差小于10，问至少应该做多据题意选取试验次数n应满足由中心极限定理有P(|i1nin p |p) 0.9510，因为n比较大，P(|i1n

16、in p |12ep) P(|10 x22(i1n p)|npq1np)10q1np10q1np10qdx 0.951npq 2n 400p，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断故应取10q，即p 12，因而有q1p，故可取n 400。4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为 0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为 0.9，求在校对后错误不多于 15 个的概率。解：令i对后仍错误1第i个印刷符号被排错且校其它0因为排版与校对是两个独立的工序，因而p P(i1) 0.00010.1105,P(i 0) q 1 pi是独立同分布随机变量序列，Ei p，令nii1n，其

17、中n 10，6由中心极限定理有P(n15) P(n npnpq15 npnpq b) 12bex22dx其中b 5101.58，查N(0,1)分布表即可得P(n15) 0.94，即在校对后错误不多于 15 个的概率。4.34 在一家保险公司里有 10000 个人参加保险， 每人每年付 12 元保险费，在一年里一个人死亡的概率为 0。006，死亡时家属可向保险公司领得 1000 元，问：1保险公司亏本的概率多大？2保险公司一年的利润不少于40000 元，60000 元，80000 元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为 120000 元，这时假设一年中死亡人数120，则公司亏本；假设一年中

18、死亡人数 80，则利润中死亡人数 40000元；假设一年中死亡人数 60，则利润中死亡人数 60000元；假设一年中死亡人数 40，则利润中死亡人数 80000元；令i1第i个人在一年内死亡0第i个人在一年内活着则P(i1) 0.006 p， 记ni,n 10000i1n已足够大， 于是由中心极限定理可得欲求事件的概率为1P(n120) 1 P(n npnpq120 npnpq b) 112bex22dx （其中0b 60)7.723同理可求得2P(n 80) 0.995(对应的b 2.59)P(n 60) 0.5(对应的b 0)P(n 40) 0.005(对应的b 2.59)1 14.35

19、有一批种子，其中良种占6 6相差多少？解：令i第i粒为良种10第i粒不是良种n11p ,niP(i1) 66，记i1则，其中n 6000，据题意即要求使满足n1q 1 p,b P(|) 0.99npqn6。令，因为n很大，由中心极限定n理有P(|nn np1|) P(b n b) 6npq12bbex22dx 0.99由N(0,1)分布表知当b 2.60时即能满足上述不等式，于是知b1npq 1.25104n6相差不超过1.25104。4.36 假设某产品的不合格率为 0.005，任取 10000 件，问不合格品不多于 70 件的概率等于多少？解：令1第i件为不合格品i第i件为合格品0则p P

20、(i1) 0.005， 记由中心极限定理有P(n 70) P(q 1 p,nii1nb 70npnpq， 其中n 10000， 记，n npnpq b) 12bex22dx 0.998即不合格品不多于 70 件的概率约等于 0.998。4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为 0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有 100 只合格品的概率不小于 0.95？解：令第i只是合格品1i0第i只是不合格品则p P(i1) 0.99， 记q 1 p,b 100npnpq,nii1n， 其中n尚待确定，它应满足P(n100) 0.05，由中心极限定理有P(n100) P(n npnpq b) 12be

21、x22dx 0.05查N(0,1)分布表可取b 1.65，由此求得n 103，即在一盒中应装 103只螺丝钉才能使其中含有 100 只合格品的概率不小于 0.95。4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。ni证：设1in独立同二项分布，即P(in1) pn,P(in 0) qn1 pn,1 i n的特征函数为(qn pne )，记niitnin,ni1n的特征函数记作n(t)，因为npn，故pn11 o( ),qn1 o( )nnnn，于是有n(t) (qn pneit)n (1nnniteito(1)n11(eit1)(eit1(e 1)o( )nn e(ei

22、t1)1),n 而e(eit1)是参数为的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限定理即知定理成立，证毕。4.40 设随机变量服从-分布，其分布密度为1xxep(x) ()0 x 0 x 0( 0, 0)的分布函数弱收敛于N(0,1)分布。证：当 时，证：的特征函数为g(t) eit(t) (1itln(1itit)的特征函数为，易知(1it) e)而1 t21 it2t3ln(1) o()23 )itit因而有t21 it3t3t2it ln(1) o() , 232 itlim g(t) et22故， 所以相应的分布函数弱收敛于N(0,1)分布， 命题得证。设n为一列独立同分布随机变量，且

23、n服从(n,n)上的均匀分布，证明对n成立中心极限定理。x2n2En 0,Dn Edx n2n3，于是证：易知2nnk21B Dkn(n 1)(2n 1)18k1k132nnnn3 2nBn1 0Nn N33故，对任意的，存在，使当时有，因而B n，从而当n N，n|x|Bnx2dFk(x) 0，假设k n，由此知1lim2nBnk1n|x|Bnx2dFk(x) 0即林德贝尔格条件满足，所以对n成立中心极限定理，结论得证。4.42 设n,n皆为独立同分布随机变量序列， 且n与n独立， 其En 0,Dn1;P(n 1) 1sn,n 1,2,2，证明：1中nii1ni的分布函数弱收敛于正态分布N(

24、0,1)。证：这时nn仍是独立同分布随机变量序列，易知有E(nn) 0,D(nn) E(nn)2 En21sn由林德贝尔格-勒维中心极限定理知：弱收敛于正态分布N(0,1)，结论得证。4.45 利用中心极限定理证明：1nii1ni的分布函数nnkn1k!e2,n k0证：设n是独立同分布随机变量序列，共同分布为1的 Poisson分布，故En Dn1,B Dk n2nk1n，由林德贝尔格-勒维中心极限定理知n( E)kkn1k1P(k n) P 0 e0t221dt ,n k1Bn22由 Poisson 分布的可加性知nkk1服从参数为n的 Poisson 分布，因而nn1P(nkennnk n) en 0(n )k1k0k!，但n!，所以nnnknnnn1k0k!e P(k n)n!e2,n k1成立，结论得证。