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1、 第二练 一、选择题 1.已知双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,其中一条渐近线的倾斜角为 ,则双曲线C 的离心率为()A.2 或 B.2 或 C.D.2 答案 D 设双曲线C 的方程为 -=1(a0,b0),则不妨令一条渐近线方程为y=x,则有 =tan =,所以e2=1+3=4,所以双曲线C 的离心率为2,故选D.2.已知向量a=(2,3),b=(6,m),且 ab,则向量a 在 a+b 方向上的投影为()A.B.-C.D.-答案 A 因为ab,所以a b=12+3m=0,解得m=-4,所以b=(6,-4),所以a+b=(8,-1),所以向量a在 a+b 方向上的投影为 =.3.已知函
2、数f(x)=sin (xR,0)的最小正周期为,将 y=f(x)的图象向左平移|个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则 的一个值是()A.B.C.D.答案 D 由题意知,=,=2,f(x)=sin ,将 y=f(x)的图象向左平移|个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin ,因为g(x)的图象关于y 轴对称,故2|+=+k,kZ,故|=+,kZ,结合选项可知,的一个值是 ,选 D.4.已知函数f(x)=(ex+e-x)ln-1,若 f(a)=1,则 f(-a)=()A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案 D 解法一:由题意得f(a)+f(-a)=(ea+e-a)ln-1+(e-
3、a+ea)ln -1=(ea+e-a)-2=-2,所以f(-a)=-2-f(a)=-3,故选D.解法二:令 g(x)=f(x)+1=(ex+e-x)ln-,则 g(-x)=(e-x+ex)ln -=-(ex+e-x)ln-=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以f(-a)=g(-a)-1=-g(a)-1=-f(a)-2=-3,故选D.二、填空题 5.设 Sn是数列an的前n 项和,若 an+Sn=2n,=2an+2-an+1,则 +=.答案 解析 因为an+Sn=2n,所以an+1+Sn+1=2n+1,-得2an+1-an=2n,所以2an+2-an+1=2n+1,又 =2an+2-an+1=
4、2n+1,所以bn=n+1,=-,则 +=1-+-+-=1-=.6.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,ED平面ABCD,FB平面ABCD,且 ED=FB=1,G为线段EC 上的动点,则下列结论中正确的是 .(只填序号)ECAF;该几何体外接球的表面积为3;若G 为 EC 的中点,则 GB平面AEF;AG2+BG2的最小值为3.答案 解析 如图所示,将该几何体补形为正方体,以 D 为坐标原点,DA,DC,DE 所在直线分别为x轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.由正方体的性质易得ECAF.该几何体的外接球与正方体的外接球相同,外接球半径为 ,故外接球的表面积为3.易知A(1,0,0),E
5、(0,0,1),F(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),则 =(-1,0,1),=(0,1,1).设平面AEF 的法向量为n=(x,y,z).由 得 -令 z=1,得 x=1,y=-1,则 n=(1,-1,1).当 G 为 EC 的中点时,G ,则 =-,所以 n=0,所以GB平面AEF(也可以由面面平行来证明线面平行).设G(0,t,1-t)(0t1),则 AG2+BG2=4t2-6t+5=4 -+,故当t=时,AG2+BG2的最小值为 .三、解答题 7.已知ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 asin A+bsin B+bsin A=csin C.(1)求
6、C;(2)若 a=2,b=2 ,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D,求 CD 的长.解析(1)因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,所以a2+b2+ab=c2,又 cos C=-=-,又 0C,所以C=.(2)由(1)知 C=,所以c2=a2+b2-2abcos C=22+(2 )2-222 -=20,所以c=2 .由 =,得 =,解得sin B=,从而cos B=.设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E,因为在RtBDE 中,cos B=,所以BD=,因为点D 在线段BC 的垂直平分线上,所以CD=BD=.8.某医药公司研发生产一种新的保健产品,从一批产品中随机抽取2
7、00 盒作为样本测量产品的一项质量指标值,已知该指标值越高越好.由测量结果得到如下的频率分布直方图:(1)求 a,并试估计这200 盒产品的该项指标值的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由样本估计总体,结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值 服从正态分布N(,102),计算该批产品的该项指标值落在(180,220上的概率;国家有关部门规定每盒产品的该项指标值不低于150 均为合格,且该项指标值从低到高依次分为:合格、优良、优秀三个等级,其中(180,220为优良,不高于180 为合格,高于220 为优秀,在的条件下,设该公司生产该产品1 万盒的成本为15 万元,市场
8、上各等级的每盒该产品的售价(单位:元)如下表,求该公司每万盒的平均利润.等级 合格 优良 优秀 售价 10 20 30 附:若 N(,2),则 P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5.解析(1)由 10(20.002+0.008+0.009+0.022+0.024+a)=1,解得a=0.033,则平均值=100.002170+100.009180+100.022190+100.033200+100.024210+100.008220+100.002230=200,即这200 盒产品的该项指标值的平均值约为200.(2)由题意可得=200,=10,则 P(-2+2)=P(180220)0.954 5,则该批产品的指标值落在(180,220上的概率为0.954 5.设每盒产品的售价为X 元,由可得X 的分布列为 X 10 20 30 P 0.022 75 0.954 5 0.022 75 则每盒该产品的平均售价为E(X)=100.022 75+200.954 5+300.022 75=20,故每万盒该产品的平均售价为20 万元,故该公司每万盒的平均利润为20-15=5(万元).