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1、1 2019-2020 年高考数学大题综合练习（三）1.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3cos3bAac（1）求 cosB；（2）如图， D 为ABC外一点，若在平面四边形ABCD 中，2DB，且1AD，3CD，6BC，求 AB 的长【解析】解：（ 1）在ABC中，由正弦定理得3sincossinsin3BAAC，又()CAB，所以3sincossinsin()3BAAAB，故3sincossinsincoscossin3BAAABAB，所以3sincossin3ABA，又(0,)A，所以sin0A，故3cos3B（2）2DBQ，21cos2cos13DB又在ACD
2、中，1AD，3CD由余弦定理可得22212cos1923 ()123ACADCDAD CDD，2 3AC，在ABC中，6BC，2 3AC，3cos3B，由余弦定理可得2222cosACABBCAB BCB，即23126263ABAB，化简得22 260ABAB，解得3 2AB故AB的长为3 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 2.已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为正方形，且 PA底面 ABCD，过 A
3、B的平面与侧面PCD 的交线为 EF，且满足:1: 3PEFCDEFSS四边形(PEFS表示PEF的面积 ). （1）证明： PB平面 ACE；（2）当PAAB时，二面角CAFD的余弦值为55，求的值. 【解析】（1）证明：由题知四边形ABCD为正方形/ /ABCD,又CD平面PCD,AB平面PCD/ /AB平面PCD又AB平面ABFE,平面ABFE平面PCDEF/ /EFAB,又/ /ABCD/ /EFCD, 由:1: 3PEFCDEFSS四边形知,E F 分别为,PC PD 的中点连接BD交AC与G,则G为BD中点，在PBD中FG为中位线， / /EGFB/ /EGFB,EG平面ACE,P
4、B平面ACE/ /PB平面ACE. （2）底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD. ,PA AB AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系Axyz . 设2 ,2ABADa APb ，则0,0,0 ,0,2 ,0 ,2 ,2 ,0 , ,0 ,0,0,2, ,ADaCaaG a aPbF a a b ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 PA底面ABCD,DG底面ABCD,DGPA，四边形ABCD为正方形 A
5、CBD,即,DGAC ACPAADG平面CAF, 平面CAF的一个法向量为,0DGaauuur. 设平面AFD的一个法向量为, ,mx y zu r，而0,2,0 , ,ADaAFa a buu u ruu u r由00m ADm AFu ruu u ru ruu u r得02000 xayzaxaybz取 za 可得,0,mbau r为平面AED的一个法向量，设二面角CAFD的大小为则22225cos5DG mabDGmaaabuu ur uruuu ru r得63ba又2 ,2PAb ABa ，63当二面角CAFD的余弦值为55时63. 3.在数列 an中，11a，23a，2132nnna
6、aa，*nN。（1）证明数列1nnaa是等比数列，并求数列 an的通项公式；（2）设22log11nnba，1132?nnnncbanb，求数列 cn的前 n 项和 Sn. 【解析】（1）由2132nnnaaa，得2112nnnnaaaa，又11a，23a，所以212aa，所以1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列所以12nnnaa，所以1211211122221nnnnnaaaaaaLL. （2）21nnaQ,22log21 1121nnbn，2221132nnncnn，又12222121221213nnnncnnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
7、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 11124482222213352122121211nnnnnnSnnnL所以数列nc的前n项和为12221nn. 4.在创建 “ 全国文明卫生城 ” 过程中，某市 “ 创城办 ” 为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）.通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分（满分 100分）统计结果如下表所示：组别30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100频数2 15 20
8、 25 24 10 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布,198N，近似为这 100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(3779PZ；（2）在（ 1）的条件下， “ 创城办 ” 为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2040概率3414现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望 . 附：参考数据与公式：19814. 若2,XN:，则
9、)0.6826PX（，22 )0.9544PX（，33)0.9974PX（. 【解析】（1）35 0.0245 0.1555 0.2650.25 75 0.2485 0.1 950.04EZ65, 故65，19814(65146514)(5179)0.6826PZPZ，(652 14652 14)(3793)0.9544PZPZ(3793)(5179)(3751)0.13592PZPZPZ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - -
10、- - 5 综上 ,(3779)(3751)(5179)PZPZPZ0.13590.68260.8185（2）易知1()2P ZP Z获赠话费的可能取值为20，40，60，8013320248P；1113313402424432P；13111336024424416P；11118024432P的分布列为：20406080P381332316132313312040608037.58321632E5.已知抛物线24yx的焦点为椭圆 C：22221(0)xyabab的右焦点 F，点 B为此抛物线与椭圆 C 在第一象限的交点，且53BF. （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 F 作两条互相垂直的直
11、线1l，2l，直线1l与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线2l与直线4x交于点 T，求TFPQ的取值范围 . 【解析】（1）由已知，可得24yx的焦点坐标为(1,0)F，设0000(,)(0,0)B xyxy，则0513BFx，解得023x，所以2028433y. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 由点B在椭圆C上，得2200221xyab，即2248193ab. 又221ab，解得24a，23b，所以椭圆C的
12、方程为22143xy. （2）当直线2l的斜率不存在时，与直线4x无交点，故直线1l的斜率不为0. 设直线1l的方程为1xmy，11(,)P xy，22(,)Q xy，由221143xmyxy，得22(34)690mymy，则223636(34)0mm，122634myym，122934y ym，所以2121PQmyy2212121()4myyy y222269143434mmmm2212(1)34mm. 当0m时，直线2l的方程为(1)ym x，由4(1)xym x，得4x，3ym，即(4,3 )Tm，所以22(41)( 3 )TFm231m. 所以22231 34112TFmmPQm221
13、13141mm. 设21tm，则1t，则3144TFtPQt，由于3144ytt在区间(1,)内为增函数，所以31144y，则1TFPQ. 当0m时，223bPQa，(4,0)T，则3TF，所以1TFPQ. 综上，得TFPQ的取值范围是1,). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 6.设函数22( )ln()f xaxxax aR. （1）试讨论函数( )f x的单调性；（2）设2( )2()lnxxaax，记(
14、 )( )( )h xf xx，当0a时，若方程( )()h xm mR有两个不相等的实根1x，2x，证明12()02xxh. 【解析】（1）由22( )lnf xaxxax，可知2( )2afxxax222(2)()xaxaxaxaxx. 因为函数( )f x的定义域为(0,)，所以，若0a时，当(0, )xa时，( )0fx，函数( )f x单调递减，当( ,)xa时，( )0fx，函数( )f x单调递增；若0a时，当( )20fxx在(0,)x内恒成立，函数( )f x单调递增；若0a时，当(0,)2ax时，( )0fx，函数( )f x单调递减，当(,)2ax时，( )0fx，函数(
15、 )f x单调递增 . （2）证明：由题可知( )( )( )h xf xx2(2)ln(0)xa xax x，所以( )2(2)ah xxax22(2)(2)(1)xa xaxaxxx. 所以当(0,)2ax时，( )0h x；当(,)2ax时，( )0h x；当2ax时，()02ah. 欲证12()02xxh，只需证12()()22xxahh，又2( )20ahxx，即( )hx单调递增，故只需证明1222xxa. 设1x，2x是方程( )h xm的两个不相等的实根，不妨设为120 xx，则21112222(2)ln(2)lnxa xaxmxa xaxm，两式相减并整理得1212(lnln
16、)a xxxx22121222xxxx，从而221212121222lnlnxxxxaxxxx，故只需证明2212121212122222(lnln)xxxxxxxxxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 即22121212121222lnlnxxxxxxxxxx. 因为1212lnln0 xxxx，所以(*)式可化为12121222lnlnxxxxxx，即11212222ln1xxxxxx. 因为120 xx，所以1201xx，不妨令12xtx，所以得到22ln1ttt，(0,1)t. 设22( )ln1tR ttt，(0,1)t，所以22214(1)( )0(1)(1)tR tttt t，当且仅当1t时，等号成立，因此( )R t在(0,1)单调递增 . 又(1)0R，因此( )0R t，(0,1)t，故22ln1ttt，(0,1)t得证，从而12()02xxh得证 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -